Welcher Term ist gleich √x · ³√x (für x > 0)?

Erklärung: Als Potenzen: x^(1/2) · x^(1/3) = x^(1/2 + 1/3) = x^(5/6). x^(1/6) multipliziert die Exponenten (1/2 · 1/3), und ⁵√x macht daraus 1/5, wobei die Wurzelindizes 2 und 3 addiert wurden.

Welcher Term entsteht im ersten Schritt aus ³√(x²) · √x?

Erklärung: Zuerst werden die Wurzeln als Potenzen geschrieben: ³√(x²) = x^(2/3) und √x = x^(1/2), das Produkt bleibt ein Produkt. x^(3/2) · x² hat Zähler und Nenner vertauscht, und die Summe ändert die Rechenart.

Der abgebildete Graph gehört zum Term √x · ³√x. Welche Potenz hat denselben Graphen?

Erklärung: Bei x = 64 hat der Graph die Höhe 32, und 64^(5/6) = (⁶√64)⁵ = 2⁵ = 32. x^(2/5) wäre bei 64 nur etwa 5,3 hoch, und x^(1/6) hätte die Höhe 2.

Es gilt ³√x · ³√x = ⁶√(x²) für x > 0.

Erklärung: Als Potenzen: x^(1/3) · x^(1/3) = x^(1/3 + 1/3) = x^(2/3) = ³√(x²). ⁶√(x²) = x^(2/6) = x^(1/3) entsteht, wenn man Zähler (1 + 1) und Nenner (3 + 3) einzeln addiert.

Berechne √64 · ³√64.

Erklärung: Einzeln: √64 = 8 und ³√64 = 4, also 8 · 4 = 32. Als Potenz: 64^(1/2 + 1/3) = 64^(5/6) = 2⁵ = 32.

Es gilt ⁴√x · √x = x^k für x > 0. Bestimme k als Dezimalzahl.

Erklärung: ⁴√x = x^(1/4) und √x = x^(1/2). Die Exponenten werden addiert: 1/4 + 1/2 = 3/4 = 0,75.

Welcher Term ist gleich √(³√x) (für x > 0)?

Erklärung: Als Potenzen: (x^(1/3))^(1/2) = x^(1/6) = ⁶√x, die Exponenten werden multipliziert. ⁵√x addiert die Wurzelindizes 2 + 3, und x^(5/6) wäre das Produkt √x · ³√x.

Der abgebildete Graph gehört zum Term √(³√x). Welche Potenz hat denselben Graphen?

Erklärung: Bei x = 64 hat der Graph die Höhe 2, und 64^(1/6) = 2, denn 2⁶ = 64. Die Exponenten werden multipliziert: 1/3 · 1/2 = 1/6. x^(1/5) hätte bei 64 die Höhe 2,3, und x^(5/6) die Höhe 32.

Welchen Wert hat √(³√64)?

Erklärung: Innen zuerst: ³√64 = 4, dann √4 = 2. Der Wert 4 vergisst die äußere Wurzel, und 8 ist √64, also die innere Wurzel fehlt. Als Potenz: 64^(1/6) = 2.

Berechne ³√(√729).

Erklärung: Innen zuerst: √729 = 27, dann ³√27 = 3. Als Potenz: 729^(1/6) = 3, denn 3⁶ = 729.

Es gilt ³√(⁴√x) = ⁿ√x für x > 0. Bestimme n.

Erklärung: (x^(1/4))^(1/3) = x^(1/4 · 1/3) = x^(1/12) = ¹²√x. Die Indizes werden multipliziert: 3 · 4 = 12.

Welcher Term ist gleich ³√(x²) : √x (für x > 0)?

Erklärung: Als Potenzen: x^(2/3) : x^(1/2) = x^(2/3 − 1/2) = x^(4/6 − 3/6) = x^(1/6). x^(7/6) würde die Exponenten addieren, x^(4/3) dividiert sie (2/3 : 1/2).

Der abgebildete Graph gehört zum Term ⁴√x : √x. Welche Potenz hat denselben Graphen?

Erklärung: Der Graph fällt, der Exponent ist also negativ: 1/4 − 1/2 = −1/4. Bei x = 16 gilt 16^(−1/4) = 1/2, das passt zum Punkt P. x^(1/4) würde steigen, und x^(−1/2) hätte bei 16 nur die Höhe 1/4.

Es gilt ⁴√x : √x = x^(−1/4) für x > 0.

Erklärung: Als Potenzen: x^(1/4) : x^(1/2) = x^(1/4 − 1/2) = x^(−1/4). Die Wurzel im Nenner ist stärker, deshalb wird der Exponent negativ, das Ergebnis ist der Kehrwert von ⁴√x.

Berechne 16^(1/2) : 16^(1/4).

Erklärung: 16^(1/2) = 4 und 16^(1/4) = 2, also 4 : 2 = 2. Als Potenz: 16^(1/2 − 1/4) = 16^(1/4) = 2.

Berechne √x : ³√x für x = 729.

Erklärung: Als Potenz: x^(1/2 − 1/3) = x^(1/6) = 729^(1/6) = 3. Kontrolle: √729 = 27 und ³√729 = 9, und 27 : 9 = 3.

Fasse für x > 0 zusammen und schreibe das Ergebnis als Potenz und mit einem Wurzelzeichen: a) ³√(x²) · √x, b) √(³√x). Mache für x = 64 die Probe durch Einsetzen. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

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Erklärung: Erst alle Wurzeln als Potenzen schreiben, dann die Potenzgesetze anwenden (Produkt: Exponenten addieren, Wurzel aus Wurzel: Exponenten multiplizieren), zuletzt zurückschreiben und mit einer Zahl prüfen.

Aufgabe 1 von 17