Potenz- und Wurzelterme zusammenfassen

Simplifying terms of powers and roots

Mathematik Klasse 9 17 Aufgaben
PotenzenWurzelnTerme

Produkte und Quotienten aus Potenzen und Wurzeln fasst man in drei Schritten zusammen: alle Wurzeln als Potenzen schreiben, die Potenzgesetze anwenden, das Ergebnis bei Bedarf zurück in eine Wurzel verwandeln; bei einer Wurzel unter einer Wurzel werden die Exponenten multipliziert, und eine Probe durch Einsetzen sichert das Ergebnis. Der Abschnitt räumt aus, dass Wurzelexponenten addiert werden (√(∛x) = x^(1/5)) und dass ein Produkt aus Wurzeln mit den Zählern und Nennern einzeln gerechnet wird (Malle 1993; Kirshner und Awtry 2004). Er bereitet Terme in der Analysis (Ableitung von x^(p/q)) und die Exponentialgesetze vor.

Produkte und Quotienten aus Potenzen und Wurzeln fasst man in drei Schritten zusammen: (1) alle Wurzeln als Potenzen schreiben, (2) die Potenzgesetze anwenden, (3) das Ergebnis bei Bedarf wieder als Wurzel schreiben. Beispiel für x > 0: . Bei einem Quotienten wird subtrahiert: . Ist der zweite Exponent größer, entsteht ein negativer Exponent: . Bei mehreren Faktoren geht man Schritt für Schritt vor: . Nenne bei jedem Schritt das benutzte Gesetz. Das Ergebnis darf als Potenz oder als Wurzel stehen: und sind derselbe Term. Zum Weiterrechnen ist die Potenz bequemer, zum Vorstellen und Abschätzen oft die Wurzel.

Steht eine Wurzel unter einer Wurzel, schreibt man beide als Potenzen und multipliziert die Exponenten: , nicht . Nur Produkte und Quotienten lassen sich so zusammenfassen: bleibt stehen. Eine Probe durch Einsetzen sichert das Ergebnis: Für ist und .

Verändere x₀. Welche beiden Werte unter dem Graphen bleiben bei jedem x₀ gleich, und wie hängen sie mit den Höhen von A und B zusammen?

Voraussetzungen (1)

Potenzgesetze mit Bruchexponenten
Klasse 9
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Leicht
Multiple Choice #1 30s ▶ Testen

Welcher Term ist gleich √x · ³√x (für x > 0)?

  • ● x^(5/6)
  • ○ x^(1/6)
  • ○ ⁵√x
Als Potenzen: x^(1/2) · x^(1/3) = x^(1/2 + 1/3) = x^(5/6). x^(1/6) multipliziert die Exponenten (1/2 · 1/3), und ⁵√x macht daraus 1/5, wobei die Wurzelindizes 2 und 3 addiert wurden.
Multiple Choice #2 30s ▶ Testen

Welcher Term entsteht im ersten Schritt aus ³√(x²) · √x?

  • ● x^(2/3) · x^(1/2)
  • ○ x^(3/2) · x²
  • ○ x^(2/3) + x^(1/2)
Zuerst werden die Wurzeln als Potenzen geschrieben: ³√(x²) = x^(2/3) und √x = x^(1/2), das Produkt bleibt ein Produkt. x^(3/2) · x² hat Zähler und Nenner vertauscht, und die Summe ändert die Rechenart.
Multiple Choice #3 30s ▶ Testen

Der abgebildete Graph gehört zum Term √x · ³√x. Welche Potenz hat denselben Graphen?

  • ● x^(5/6)
  • ○ x^(2/5)
  • ○ x^(1/6)
Bei x = 64 hat der Graph die Höhe 32, und 64^(5/6) = (⁶√64)⁵ = 2⁵ = 32. x^(2/5) wäre bei 64 nur etwa 5,3 hoch, und x^(1/6) hätte die Höhe 2.
Wahr / Falsch #4 20s ▶ Testen

Es gilt ³√x · ³√x = ⁶√(x²) für x > 0.

✓ Falsch
Als Potenzen: x^(1/3) · x^(1/3) = x^(1/3 + 1/3) = x^(2/3) = ³√(x²). ⁶√(x²) = x^(2/6) = x^(1/3) entsteht, wenn man Zähler (1 + 1) und Nenner (3 + 3) einzeln addiert.
Multiple Choice #5 30s ▶ Testen

Welcher Term ist gleich √(³√x) (für x > 0)?

  • ● ⁶√x
  • ○ ⁵√x
  • ○ x^(5/6)
Als Potenzen: (x^(1/3))^(1/2) = x^(1/6) = ⁶√x, die Exponenten werden multipliziert. ⁵√x addiert die Wurzelindizes 2 + 3, und x^(5/6) wäre das Produkt √x · ³√x.
Multiple Choice #6 35s ▶ Testen

Der abgebildete Graph gehört zum Term √(³√x). Welche Potenz hat denselben Graphen?

  • ● x^(1/6)
  • ○ x^(1/5)
  • ○ x^(5/6)
Bei x = 64 hat der Graph die Höhe 2, und 64^(1/6) = 2, denn 2⁶ = 64. Die Exponenten werden multipliziert: 1/3 · 1/2 = 1/6. x^(1/5) hätte bei 64 die Höhe 2,3, und x^(5/6) die Höhe 32.
Multiple Choice #7 25s ▶ Testen

Welchen Wert hat √(³√64)?

  • ● 2
  • ○ 4
  • ○ 8
Innen zuerst: ³√64 = 4, dann √4 = 2. Der Wert 4 vergisst die äußere Wurzel, und 8 ist √64, also die innere Wurzel fehlt. Als Potenz: 64^(1/6) = 2.
Multiple Choice #8 35s ▶ Testen

Welcher Term ist gleich ³√(x²) : √x (für x > 0)?

  • ● x^(1/6)
  • ○ x^(7/6)
  • ○ x^(4/3)
Als Potenzen: x^(2/3) : x^(1/2) = x^(2/3 − 1/2) = x^(4/6 − 3/6) = x^(1/6). x^(7/6) würde die Exponenten addieren, x^(4/3) dividiert sie (2/3 : 1/2).
Multiple Choice #9 35s ▶ Testen

Der abgebildete Graph gehört zum Term ⁴√x : √x. Welche Potenz hat denselben Graphen?

  • ● x^(−1/4)
  • ○ x^(1/4)
  • ○ x^(−1/2)
Der Graph fällt, der Exponent ist also negativ: 1/4 − 1/2 = −1/4. Bei x = 16 gilt 16^(−1/4) = 1/2, das passt zum Punkt P. x^(1/4) würde steigen, und x^(−1/2) hätte bei 16 nur die Höhe 1/4.
Wahr / Falsch #10 25s ▶ Testen

Es gilt ⁴√x : √x = x^(−1/4) für x > 0.

✓ Wahr
Als Potenzen: x^(1/4) : x^(1/2) = x^(1/4 − 1/2) = x^(−1/4). Die Wurzel im Nenner ist stärker, deshalb wird der Exponent negativ, das Ergebnis ist der Kehrwert von ⁴√x.
Mittel
Zahleneingabe #1 25s ▶ Testen

Berechne √64 · ³√64.

✓ Antwort: 32
Einzeln: √64 = 8 und ³√64 = 4, also 8 · 4 = 32. Als Potenz: 64^(1/2 + 1/3) = 64^(5/6) = 2⁵ = 32.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Berechne ³√(√729).

✓ Antwort: 3
Innen zuerst: √729 = 27, dann ³√27 = 3. Als Potenz: 729^(1/6) = 3, denn 3⁶ = 729.
Zahleneingabe #3 25s ▶ Testen

Berechne 16^(1/2) : 16^(1/4).

✓ Antwort: 2
16^(1/2) = 4 und 16^(1/4) = 2, also 4 : 2 = 2. Als Potenz: 16^(1/2 − 1/4) = 16^(1/4) = 2.
Schwer
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Es gilt ⁴√x · √x = x^k für x > 0. Bestimme k als Dezimalzahl.

✓ Antwort: 0.75
⁴√x = x^(1/4) und √x = x^(1/2). Die Exponenten werden addiert: 1/4 + 1/2 = 3/4 = 0,75.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Es gilt ³√(⁴√x) = ⁿ√x für x > 0. Bestimme n.

✓ Antwort: 12
(x^(1/4))^(1/3) = x^(1/4 · 1/3) = x^(1/12) = ¹²√x. Die Indizes werden multipliziert: 3 · 4 = 12.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Berechne √x : ³√x für x = 729.

✓ Antwort: 3
Als Potenz: x^(1/2 − 1/3) = x^(1/6) = 729^(1/6) = 3. Kontrolle: √729 = 27 und ³√729 = 9, und 27 : 9 = 3.
KI-bewertete Rechnung #4 300s ▶ Testen

Fasse für x > 0 zusammen und schreibe das Ergebnis als Potenz und mit einem Wurzelzeichen: a) ³√(x²) · √x, b) √(³√x). Mache für x = 64 die Probe durch Einsetzen. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: a) ³√(x²) · √x = x^(2/3) · x^(1/2) = x^(2/3 + 1/2) = x^(7/6) = x · x^(1/6) = x · ⁶√x. b) √(³√x) = (x^(1/3))^(1/2) = x^(1/6) = ⁶√x. Probe x = 64: a) ³√(64²) · √64 = 16 · 8 = 128 und 64^(7/6) = 2⁷ = 128; b) √(³√64) = √4 = 2 und 64^(1/6) = 2.
Erst alle Wurzeln als Potenzen schreiben, dann die Potenzgesetze anwenden (Produkt: Exponenten addieren, Wurzel aus Wurzel: Exponenten multiplizieren), zuletzt zurückschreiben und mit einer Zahl prüfen.