Potenzgesetze mit Bruchexponenten
Welcher Term ist gleich x^(1/2) · x^(1/3)?
Erklärung: Gleiche Basis, also werden die Exponenten addiert: 1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6. x^(1/6) käme vom Multiplizieren der Exponenten, x^(2/5) vom getrennten Addieren von Zähler und Nenner.
Die Abbildung zeigt die Graphen von f(x) = x^(1/2) und g(x) = x^(3/2). Welchen Wert hat f(4) · g(4)?
Erklärung: Die Höhen sind f(4) = 2 und g(4) = 8, das Produkt ist 16. Zugleich gilt x^(1/2) · x^(3/2) = x^(1/2 + 3/2) = x², also 4² = 16. 10 wäre die Summe der Höhen (2 + 8), und 8 ist nur die Höhe von g.
Berechne 9^(1/2) · 9^(3/2).
Erklärung: Gleiche Basis: 9^(1/2 + 3/2) = 9² = 81. Zur Kontrolle: 9^(1/2) = 3 und 9^(3/2) = 27, und 3 · 27 = 81.
Berechne 27^(5/3) : 27^(2/3).
Erklärung: Exponenten subtrahieren: 5/3 − 2/3 = 1, also 27¹ = 27. Zur Kontrolle: 27^(5/3) = 243 und 27^(2/3) = 9, und 243 : 9 = 27.
Welcher Term ist gleich (x^(2/3))^(3/4)?
Erklärung: Bei einer Potenz von einer Potenz werden die Exponenten multipliziert: 2/3 · 3/4 = 6/12 = 1/2. x^(17/12) addiert (2/3 + 3/4), x^(8/9) dividiert (2/3 : 3/4).
(9^(1/2))³ = 27.
Erklärung: (9^(1/2))³ = 9^(3/2) = (√9)³ = 3³ = 27. Zur Kontrolle: 9^(1/2) = 3 und 3³ = 27.
Berechne (16^(3/4))^(1/3).
Erklärung: Exponenten multiplizieren: 3/4 · 1/3 = 1/4, also 16^(1/4) = ⁴√16 = 2.
Für welchen Exponenten k gilt (x^(3/2))^k = x⁶ für x > 0?
Erklärung: Es muss 3/2 · k = 6 gelten, also k = 6 : 3/2 = 6 · 2/3 = 4. Probe: (x^(3/2))⁴ = x^6.
Welcher Term ist gleich 4^(1/2) · 9^(1/2)?
Erklärung: Bei gleichem Exponenten werden die Basen multipliziert: 4 · 9 = 36, also 36^(1/2) = 6. 13^(1/2) addiert die Basen, und 36^(1/4) multipliziert zusätzlich die Exponenten.
Welche Gleichung stimmt?
Erklärung: Gleicher Exponent: 2³ · 3³ = (2 · 3)³ = 6³ = 216 = 8 · 27. Bei 2³ · 3⁴ passen weder Basis noch Exponent zu einem Gesetz (8 · 81 = 648, aber 6⁷ = 279 936), und 6⁶ addiert nur die Exponenten, ohne dass die Basis gleich ist.
Berechne 8^(1/3) · 125^(1/3).
Erklärung: Gleicher Exponent: 8^(1/3) · 125^(1/3) = 1000^(1/3) = 10. Zur Kontrolle: 8^(1/3) = 2 und 125^(1/3) = 5, und 2 · 5 = 10.
Berechne 2^(3/2) · 8^(3/2).
Erklärung: Gleicher Exponent 3/2: 2^(3/2) · 8^(3/2) = 16^(3/2) = (√16)³ = 4³ = 64.
Welcher Wert gehört zu (9 + 16)^(1/2)?
Erklärung: Zuerst die Klammer: 9 + 16 = 25, dann √25 = 5. Der Wert 7 = 3 + 4 zieht die Wurzel aus den Summanden einzeln, 25 vergisst den Exponenten.
Für a = 3 und b = 4 gilt (a + b)² = a² + b².
Erklärung: (3 + 4)² = 49, aber 3² + 4² = 9 + 16 = 25. Für Summen gibt es kein Potenzgesetz; (a + b)² = a² + 2ab + b².
Die Abbildung zeigt den Graphen von y = x^(1/2) mit den Punkten P(9 | 3), Q(16 | 4) und R(25 | 5). Die Höhe von R ist die Summe der Höhen von P und Q.
Erklärung: P und Q haben zusammen die Höhe 3 + 4 = 7, R hat nur die Höhe 5. Es gilt (9 + 16)^(1/2) = 25^(1/2) = 5, aber 9^(1/2) + 16^(1/2) = 7: Aus der Summe der Basen wird nicht die Summe der Potenzen.
Berechne 9^(1/2) + 16^(1/2).
Erklärung: 9^(1/2) = 3 und 16^(1/2) = 4, also 3 + 4 = 7. Man rechnet jede Potenz einzeln aus und addiert dann.
Berechne (x + 9)^(1/2) − x^(1/2) für x = 16.
Erklärung: Erst einsetzen: (16 + 9)^(1/2) − 16^(1/2) = 25^(1/2) − 16^(1/2) = 5 − 4 = 1. Wer vereinfachen will, muss beachten, dass (x + 9)^(1/2) nicht x^(1/2) + 9^(1/2) ist.
Fasse zusammen und nenne bei jedem Schritt das benutzte Potenzgesetz: a) x^(2/3) · x^(1/4), b) (x^(3/4))^(2/3), c) 12^(1/2) · 3^(1/2). Zeige außerdem an
den Zahlen 9 und 16, dass (9 + 16)^(1/2) nicht gleich 9^(1/2) + 16^(1/2) ist.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Gleiche Basis: Exponenten addieren; Potenz von Potenz: Exponenten multiplizieren; gleicher Exponent: Basen multiplizieren. Für Summen gibt es kein Potenzgesetz.