Potenzgesetze mit Bruchexponenten

Power laws with fractional exponents

Mathematik Klasse 9 18 Aufgaben

PotenzenExponentenAlgebra

Die Potenzgesetze gelten unverändert für rationale Exponenten und Basen a, b > 0: aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ und aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ (gleiche Basis), (aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ, aⁿ·bⁿ = (a·b)ⁿ und aⁿ : bⁿ = (a : b)ⁿ (gleicher Exponent); für Summen gibt es kein Gesetz. Der Abschnitt räumt aus, dass Exponenten beim Multiplizieren multipliziert und bei Potenz von Potenz addiert werden, dass Zähler und Nenner getrennt addiert werden dürfen und dass (a + b)ⁿ = aⁿ + bⁿ sei (Kirshner und Awtry 2004; Malle 1993). Er bereitet das Zusammenfassen von Potenz- und Wurzeltermen und die Exponentialgesetze vor.

Gleiche Basis

Die Potenzgesetze aus den Jahrgangsstufen 7 und 8 gelten unverändert für rationale Exponenten, wenn die Basen positiv sind. Bei gleicher Basis addiert man beim Multiplizieren die Exponenten und subtrahiert sie beim Dividieren: $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$ und $a^{m} : a^{n} = a^{m - n}$ . Jetzt dürfen m und n Brüche sein: $x^{1/2} \cdot x^{1/3} = x^{1/2 + 1/3} = x^{5/6}$ . Die Brüche werden addiert wie alle Brüche, nicht Zähler und Nenner einzeln ( $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \neq = \frac{2}{5}$ ). Beim Dividieren wird subtrahiert, und es kann ein negativer Exponent entstehen: $x^{3/4} : x^{1/4} = x^{1/2}$ , aber $x^{1/3} : x^{1/2} = x^{- 1/6}$ .

Verändere m, n und x₀. Welche beiden Werte unter dem Graphen stimmen immer überein?

Potenz von Potenz

Steht eine Potenz in der Klammer, multipliziert man die Exponenten: $(a^{m})^{n} = a^{m \cdot n}$ . Beispiel: $(x^{2/3})^{3/4} = x^{2/3 \cdot 3/4} = x^{1/2}$ . Addieren ( $\frac{2}{3} + \frac{3}{4} = \frac{17}{12}$ ) oder Dividieren ( $\frac{8}{9}$ ) der Exponenten ist ein häufiger Fehler. Der Grund für ganze Zahlen: $(a^{2})^{3} = a^{2} \cdot a^{2} \cdot a^{2} = a^{6}$ , es stehen 2 · 3 Faktoren da; das Gesetz gilt für Brüche weiter. Auch ein ganzzahliger Exponent gehört dazu: $(x^{1/2})^{4} = x^{2}$ . Zur Probe mit x = 16: $(1 6^{2/3})^{3/4} = 1 6^{1/2} = 4$ .

Verändere m, n und x₀. Wie hängen die beiden Werte unter dem Graphen mit dem Exponenten m · n zusammen?

Gleicher Exponent und Summen

Bei gleichem Exponenten multipliziert oder dividiert man die Basen: $a^{n} \cdot b^{n} = (a \cdot b)^{n}$ und $a^{n} : b^{n} = (a : b)^{n}$ , zum Beispiel $4^{1/2} \cdot 9^{1/2} = 3 6^{1/2} = 6$ und $3 6^{1/2} : 4^{1/2} = 9^{1/2} = 3$ . Der Grund: In $(a \cdot b)^{n}$ lassen sich die Faktoren beliebig vertauschen und nach a und b sortieren. Für Summen gibt es kein solches Gesetz: $(9 + 16)^{1/2} = 5$ , aber $9^{1/2} + 1 6^{1/2} = 7$ . Auch $2^{3} \cdot 3^{4}$ lässt sich nicht zu $6^{7}$ zusammenfassen: Verschiedene Basen und verschiedene Exponenten passen zu keinem Gesetz.

Verändere a, b und n. Welches Paar von Werten stimmt bei jeder Wahl überein, welches meistens nicht?

Voraussetzungen (1)

Rationale Exponenten

Klasse 9

›

Ermöglicht (1)

Potenz- und Wurzelterme zusammenfassen

Klasse 9

›

Leicht

Multiple Choice #1 30s ▶ Testen

Welcher Term ist gleich x^(1/2) · x^(1/3)?

● x^(5/6)
○ x^(1/6)
○ x^(2/5)

Gleiche Basis, also werden die Exponenten addiert: 1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6. x^(1/6) käme vom Multiplizieren der Exponenten, x^(2/5) vom getrennten Addieren von Zähler und Nenner.

Multiple Choice #2 35s ▶ Testen

Die Abbildung zeigt die Graphen von f(x) = x^(1/2) und g(x) = x^(3/2). Welchen Wert hat f(4) · g(4)?

● 16
○ 10
○ 8

Die Höhen sind f(4) = 2 und g(4) = 8, das Produkt ist 16. Zugleich gilt x^(1/2) · x^(3/2) = x^(1/2 + 3/2) = x², also 4² = 16. 10 wäre die Summe der Höhen (2 + 8), und 8 ist nur die Höhe von g.

Multiple Choice #3 30s ▶ Testen

Welcher Term ist gleich (x^(2/3))^(3/4)?

● x^(1/2)
○ x^(17/12)
○ x^(8/9)

Bei einer Potenz von einer Potenz werden die Exponenten multipliziert: 2/3 · 3/4 = 6/12 = 1/2. x^(17/12) addiert (2/3 + 3/4), x^(8/9) dividiert (2/3 : 3/4).

Wahr / Falsch #4 20s ▶ Testen

(9^(1/2))³ = 27.

✓ Wahr

(9^(1/2))³ = 9^(3/2) = (√9)³ = 3³ = 27. Zur Kontrolle: 9^(1/2) = 3 und 3³ = 27.

Multiple Choice #5 30s ▶ Testen

Welcher Term ist gleich 4^(1/2) · 9^(1/2)?

● 36^(1/2)
○ 13^(1/2)
○ 36^(1/4)

Bei gleichem Exponenten werden die Basen multipliziert: 4 · 9 = 36, also 36^(1/2) = 6. 13^(1/2) addiert die Basen, und 36^(1/4) multipliziert zusätzlich die Exponenten.

Multiple Choice #6 35s ▶ Testen

Welche Gleichung stimmt?

● 2³ · 3³ = 6³
○ 2³ · 3⁴ = 6⁷
○ 2³ · 3³ = 6⁶

Gleicher Exponent: 2³ · 3³ = (2 · 3)³ = 6³ = 216 = 8 · 27. Bei 2³ · 3⁴ passen weder Basis noch Exponent zu einem Gesetz (8 · 81 = 648, aber 6⁷ = 279 936), und 6⁶ addiert nur die Exponenten, ohne dass die Basis gleich ist.

Multiple Choice #7 25s ▶ Testen

Welcher Wert gehört zu (9 + 16)^(1/2)?

● 5
○ 7
○ 25

Zuerst die Klammer: 9 + 16 = 25, dann √25 = 5. Der Wert 7 = 3 + 4 zieht die Wurzel aus den Summanden einzeln, 25 vergisst den Exponenten.

Wahr / Falsch #8 20s ▶ Testen

Für a = 3 und b = 4 gilt (a + b)² = a² + b².

✓ Falsch

(3 + 4)² = 49, aber 3² + 4² = 9 + 16 = 25. Für Summen gibt es kein Potenzgesetz; (a + b)² = a² + 2ab + b².

Wahr / Falsch #9 30s ▶ Testen

Die Abbildung zeigt den Graphen von y = x^(1/2) mit den Punkten P(9 | 3), Q(16 | 4) und R(25 | 5). Die Höhe von R ist die Summe der Höhen von P und Q.

✓ Falsch

P und Q haben zusammen die Höhe 3 + 4 = 7, R hat nur die Höhe 5. Es gilt (9 + 16)^(1/2) = 25^(1/2) = 5, aber 9^(1/2) + 16^(1/2) = 7: Aus der Summe der Basen wird nicht die Summe der Potenzen.

Mittel

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Berechne 9^(1/2) · 9^(3/2).

✓ Antwort: 81

Gleiche Basis: 9^(1/2 + 3/2) = 9² = 81. Zur Kontrolle: 9^(1/2) = 3 und 9^(3/2) = 27, und 3 · 27 = 81.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Berechne (16^(3/4))^(1/3).

✓ Antwort: 2

Exponenten multiplizieren: 3/4 · 1/3 = 1/4, also 16^(1/4) = ⁴√16 = 2.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Berechne 8^(1/3) · 125^(1/3).

✓ Antwort: 10

Gleicher Exponent: 8^(1/3) · 125^(1/3) = 1000^(1/3) = 10. Zur Kontrolle: 8^(1/3) = 2 und 125^(1/3) = 5, und 2 · 5 = 10.

Zahleneingabe #4 20s ▶ Testen

Berechne 9^(1/2) + 16^(1/2).

✓ Antwort: 7

9^(1/2) = 3 und 16^(1/2) = 4, also 3 + 4 = 7. Man rechnet jede Potenz einzeln aus und addiert dann.

Schwer

Zahleneingabe #1 35s ▶ Testen

Berechne 27^(5/3) : 27^(2/3).

✓ Antwort: 27

Exponenten subtrahieren: 5/3 − 2/3 = 1, also 27¹ = 27. Zur Kontrolle: 27^(5/3) = 243 und 27^(2/3) = 9, und 243 : 9 = 27.

Zahleneingabe #2 35s ▶ Testen

Für welchen Exponenten k gilt (x^(3/2))^k = x⁶ für x > 0?

✓ Antwort: 4

Es muss 3/2 · k = 6 gelten, also k = 6 : 3/2 = 6 · 2/3 = 4. Probe: (x^(3/2))⁴ = x^6.

Zahleneingabe #3 35s ▶ Testen

Berechne 2^(3/2) · 8^(3/2).

✓ Antwort: 64

Gleicher Exponent 3/2: 2^(3/2) · 8^(3/2) = 16^(3/2) = (√16)³ = 4³ = 64.

Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Berechne (x + 9)^(1/2) − x^(1/2) für x = 16.

✓ Antwort: 1

Erst einsetzen: (16 + 9)^(1/2) − 16^(1/2) = 25^(1/2) − 16^(1/2) = 5 − 4 = 1. Wer vereinfachen will, muss beachten, dass (x + 9)^(1/2) nicht x^(1/2) + 9^(1/2) ist.

KI-bewertete Rechnung #5 300s ▶ Testen

Fasse zusammen und nenne bei jedem Schritt das benutzte Potenzgesetz: a) x^(2/3) · x^(1/4), b) (x^(3/4))^(2/3), c) 12^(1/2) · 3^(1/2). Zeige außerdem an den Zahlen 9 und 16, dass (9 + 16)^(1/2) nicht gleich 9^(1/2) + 16^(1/2) ist. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: a) gleiche Basis, Exponenten addieren: 2/3 + 1/4 = 8/12 + 3/12 = 11/12, also x^(11/12). b) Potenz von Potenz, Exponenten multiplizieren: 3/4 · 2/3 = 1/2, also x^(1/2). c) gleicher Exponent, Basen multiplizieren: 12 · 3 = 36, also 36^(1/2) = 6. d) (9 + 16)^(1/2) = 25^(1/2) = 5, aber 9^(1/2) + 16^(1/2) = 3 + 4 = 7; 5 ≠ 7.

Gleiche Basis: Exponenten addieren; Potenz von Potenz: Exponenten multiplizieren; gleicher Exponent: Basen multiplizieren. Für Summen gibt es kein Potenzgesetz.