Rationale Exponenten
Welcher Wert gehört zu 8^(2/3)?
Erklärung: 8^(2/3) = (³√8)² = 2² = 4. Der Wert 2 vergisst den Zähler (das wäre 8^(1/3)), und 16/3 rechnet 8 · 2 : 3, den Bruch als Faktor gelesen.
Welche Wurzel entspricht 5^(2/3)?
Erklärung: Der Nenner 3 ist der Wurzelexponent, der Zähler 2 der Exponent unter der Wurzel: 5^(2/3) = ³√(5²). ²√(5³) vertauscht Zähler und Nenner, ⁵√(2³) vertauscht Basis und Exponent.
Welcher Term gehört zum abgebildeten Graphen?
Erklärung: Bei x = 8 hat der Graph die Höhe 4, und es ist 8^(2/3) = (³√8)² = 4. x^(3/2) wäre bei x = 8 schon 8^(3/2) ≈ 22,6, und x^(1/3) hätte bei x = 8 nur die Höhe 2.
Berechne 4^(3/2).
Erklärung: 4^(3/2) = (√4)³ = 2³ = 8. Oder √(4³) = √64 = 8.
Für die Umlaufzeit T (in Jahren) eines Planeten mit dem mittleren Sonnenabstand a (in AE) gilt T = a^(3/2). Berechne T für Jupiter mit a = 5,2 auf 0,1 Jahre genau.
Erklärung: T = 5,2^(3/2) = (√5,2)³ ≈ 2,280³ ≈ 11,86, gerundet 11,9 Jahre. Das Ergebnis liegt zwischen 5,2 und 5,2² = 27,04, wie es zum Exponenten 1,5 passt.
Wie schreibt man ⁵√(x²) als Potenz?
Erklärung: Der Exponent des Radikanden (2) steht oben, der Wurzelexponent (5) unten: ⁵√(x²) = x^(2/5). x^(5/2) vertauscht beides, und x^10 multipliziert die Zahlen 2 und 5.
Wie schreibt man x^(3/4) als Wurzel?
Erklärung: Der Nenner 4 wird zum Wurzelexponenten, der Zähler 3 bleibt der Exponent unter der Wurzel: x^(3/4) = ⁴√(x³). ³√(x⁴) vertauscht beides, und 3·⁴√x nimmt den Zähler als Faktor.
Ergänze: x^(3/5) = ⁵√(x^___)
Erklärung: Der Zähler 3 ist der Exponent unter der Wurzel: x^(3/5) = ⁵√(x³).
Es gilt ³√(x⁶) = x^k für x ≥ 0. Bestimme k.
Erklärung: ³√(x⁶) = x^(6/3) = x². Man kürzt den Bruch im Exponenten: k = 6 : 3 = 2.
Welcher Wert gehört zu 27^(−2/3)?
Erklärung: 27^(−2/3) = 1/27^(2/3) = 1/(³√27)² = 1/9. −9 hieße, das Minus mache die Zahl negativ, und 1/3 wäre 27^(−1/3), bei dem der Zähler 2 vergessen wurde.
Welcher Term gehört zum abgebildeten Graphen?
Erklärung: Bei x = 4 hat der Graph die Höhe 0,5, und 4^(−1/2) = 1/√4 = 1/2. Der Graph fällt, also ist der Exponent negativ. x^(−2) hätte bei x = 4 nur die Höhe 1/16, und x^(1/2) steigt an.
Berechne 16^(−1/2) als Dezimalzahl.
Erklärung: 16^(−1/2) = 1/16^(1/2) = 1/√16 = 1/4 = 0,25.
Es gilt 1/⁵√(x²) = x^k für x > 0. Bestimme k als Dezimalzahl.
Erklärung: ⁵√(x²) = x^(2/5), der Kehrwert ist x^(−2/5). Also k = −2/5 = −0,4.
Welcher der Terme ist nicht definiert?
Erklärung: Potenzen mit Bruchexponent sind nur für Basen a ≥ 0 erklärt. 8^(1/3) = 2 und 0^(1/3) = 0 sind definiert. Dass (−2)³ = −8 gilt, macht (−8)^(1/3) nicht zu einer Potenz.
Die Abbildung zeigt den Graphen von f(x) = x^(−1/2). Für welchen Wert von a ist a^(−1/2) definiert?
Erklärung: a^(−1/2) = 1/√a braucht a ≥ 0 wegen der Wurzel und a ≠ 0 wegen des Nenners, also a > 0. Bei a = 0 stünde 1/0, bei a = −9 die Wurzel einer negativen Zahl.
Für welchen Wert von x ist (x − 6)^(1/2) gerade noch definiert? Gib den kleinsten solchen Wert an.
Erklärung: Die Basis muss nichtnegativ sein: x − 6 ≥ 0, also x ≥ 6. Der kleinste Wert ist x = 6, dort ist die Basis 0 und 0^(1/2) = 0.
Bestimme die kleinste ganze Zahl x, für die (2x + 9)^(1/3) definiert ist.
Erklärung: Die Basis muss nichtnegativ sein: 2x + 9 ≥ 0, also x ≥ −4,5. Die kleinste ganze Zahl ist x = −4: Dort ist die Basis 1.
a) Berechne 8^(2/3) auf zwei Wegen: als (³√8)² und als ³√(8²). b) Schreibe ⁴√(x³) und 1/√x als Potenzen. c) Begründe, warum (−8)^(1/3) nicht definiert ist,
obwohl die Gleichung x³ = −8 die Lösung −2 hat.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Zähler = Potenz, Nenner = Wurzelexponent: 8^(2/3) = ³√(8²) = (³√8)², ⁴√(x³) = x^(3/4). Ein negativer Exponent bildet den Kehrwert, und die Basis muss nichtnegativ sein.