Rationale Exponenten

Rational exponents

Mathematik Klasse 9 18 Aufgaben
PotenzenWurzelnExponenten

a^(m/n) ist die n-te Wurzel aus aᵐ, ebenso (ⁿ√a)ᵐ: Der Nenner ist der Wurzelexponent, der Zähler der Exponent des Radikanden; ein negativer Bruch bildet zusätzlich den Kehrwert, und die Basis muss nichtnegativ sein. Der Abschnitt räumt aus, dass Zähler und Nenner beim Umschreiben vertauscht werden dürfen (8^(2/3) ≠ ²√(8³)) und dass (−8)^(1/3) eine Potenz sei (Malle 1993). Er bereitet die Potenzgesetze für rationale Exponenten, das Zusammenfassen von Wurzeltermen und Anwendungen wie das dritte Keplersche Gesetz T = a^(3/2) vor.

Aus wird allgemein: Für ist . Der Nenner n ist der Wurzelexponent, der Zähler m der Exponent des Radikanden. Das folgt aus . Man darf erst die Wurzel ziehen und dann potenzieren oder umgekehrt. Meist ist die Wurzel zuerst bequemer: , ebenso . Zähler und Nenner dürfen dabei nicht vertauscht werden.

Umgekehrt wird aus einer Wurzel eine Potenz: und . Einen Bruch im Exponenten darf man kürzen: . Ein negativer Bruch bildet zusätzlich den Kehrwert: . Die Basis muss nichtnegativ sein, bei negativem Exponenten sogar positiv. Deshalb ist nicht erklärt, auch wenn die Gleichung die Lösung −2 hat.

Eine Anwendung: Nach dem dritten Keplerschen Gesetz gilt für die Umlaufzeit T eines Planeten (in Jahren) und seinen mittleren Abstand a von der Sonne (in AE, 1 AE = Abstand Erde–Sonne) , also . Für die Erde ist a = 1 und T = 1, für den Mars mit a ≈ 1,52 ist T ≈ 1,87 Jahre.

Verändere m, n und a. Was fällt an den drei Werten unter dem Graphen auf?

Voraussetzungen (1)

Erweiterter Potenzbegriff
Klasse 9
›

Ermöglicht (1)

Potenzgesetze mit Bruchexponenten
Klasse 9
›
Leicht
Multiple Choice #1 25s ▶ Testen

Welcher Wert gehört zu 8^(2/3)?

  • ● 4
  • ○ 2
  • ○ 16/3
8^(2/3) = (³√8)² = 2² = 4. Der Wert 2 vergisst den Zähler (das wäre 8^(1/3)), und 16/3 rechnet 8 · 2 : 3, den Bruch als Faktor gelesen.
Multiple Choice #2 25s ▶ Testen

Welche Wurzel entspricht 5^(2/3)?

  • ● ³√(5²)
  • ○ ²√(5³)
  • ○ ⁵√(2³)
Der Nenner 3 ist der Wurzelexponent, der Zähler 2 der Exponent unter der Wurzel: 5^(2/3) = ³√(5²). ²√(5³) vertauscht Zähler und Nenner, ⁵√(2³) vertauscht Basis und Exponent.
Multiple Choice #3 30s ▶ Testen

Welcher Term gehört zum abgebildeten Graphen?

  • ● f(x) = x^(2/3)
  • ○ f(x) = x^(3/2)
  • ○ f(x) = x^(1/3)
Bei x = 8 hat der Graph die Höhe 4, und es ist 8^(2/3) = (³√8)² = 4. x^(3/2) wäre bei x = 8 schon 8^(3/2) ≈ 22,6, und x^(1/3) hätte bei x = 8 nur die Höhe 2.
Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Wie schreibt man ⁵√(x²) als Potenz?

  • ● x^(2/5)
  • ○ x^(5/2)
  • ○ x^10
Der Exponent des Radikanden (2) steht oben, der Wurzelexponent (5) unten: ⁵√(x²) = x^(2/5). x^(5/2) vertauscht beides, und x^10 multipliziert die Zahlen 2 und 5.
Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Wie schreibt man x^(3/4) als Wurzel?

  • ● ⁴√(x³)
  • ○ ³√(x⁴)
  • ○ 3·⁴√x
Der Nenner 4 wird zum Wurzelexponenten, der Zähler 3 bleibt der Exponent unter der Wurzel: x^(3/4) = ⁴√(x³). ³√(x⁴) vertauscht beides, und 3·⁴√x nimmt den Zähler als Faktor.
Multiple Choice #6 25s ▶ Testen

Welcher Wert gehört zu 27^(−2/3)?

  • ● 1/9
  • ○ −9
  • ○ 1/3
27^(−2/3) = 1/27^(2/3) = 1/(³√27)² = 1/9. −9 hieße, das Minus mache die Zahl negativ, und 1/3 wäre 27^(−1/3), bei dem der Zähler 2 vergessen wurde.
Multiple Choice #7 30s ▶ Testen

Welcher Term gehört zum abgebildeten Graphen?

  • ● f(x) = x^(−1/2)
  • ○ f(x) = x^(−2)
  • ○ f(x) = x^(1/2)
Bei x = 4 hat der Graph die Höhe 0,5, und 4^(−1/2) = 1/√4 = 1/2. Der Graph fällt, also ist der Exponent negativ. x^(−2) hätte bei x = 4 nur die Höhe 1/16, und x^(1/2) steigt an.
Multiple Choice #8 25s ▶ Testen

Welcher der Terme ist nicht definiert?

  • ● (−8)^(1/3)
  • ○ 8^(1/3)
  • ○ 0^(1/3)
Potenzen mit Bruchexponent sind nur für Basen a ≥ 0 erklärt. 8^(1/3) = 2 und 0^(1/3) = 0 sind definiert. Dass (−2)³ = −8 gilt, macht (−8)^(1/3) nicht zu einer Potenz.
Multiple Choice #9 30s ▶ Testen

Die Abbildung zeigt den Graphen von f(x) = x^(−1/2). Für welchen Wert von a ist a^(−1/2) definiert?

  • ● a = 9
  • ○ a = 0
  • ○ a = −9
a^(−1/2) = 1/√a braucht a ≥ 0 wegen der Wurzel und a ≠ 0 wegen des Nenners, also a > 0. Bei a = 0 stünde 1/0, bei a = −9 die Wurzel einer negativen Zahl.
Mittel
Zahleneingabe #1 25s ▶ Testen

Berechne 4^(3/2).

✓ Antwort: 8
4^(3/2) = (√4)³ = 2³ = 8. Oder √(4³) = √64 = 8.
Lückentext #2 20s ▶ Testen

Ergänze: x^(3/5) = ⁵√(x^___)

✓ Antwort: 3
Der Zähler 3 ist der Exponent unter der Wurzel: x^(3/5) = ⁵√(x³).
Zahleneingabe #3 25s ▶ Testen

Berechne 16^(−1/2) als Dezimalzahl.

✓ Antwort: 0.25
16^(−1/2) = 1/16^(1/2) = 1/√16 = 1/4 = 0,25.
Zahleneingabe #4 25s ▶ Testen

Für welchen Wert von x ist (x − 6)^(1/2) gerade noch definiert? Gib den kleinsten solchen Wert an.

✓ Antwort: 6
Die Basis muss nichtnegativ sein: x − 6 ≥ 0, also x ≥ 6. Der kleinste Wert ist x = 6, dort ist die Basis 0 und 0^(1/2) = 0.
Schwer
Zahleneingabe #1 40s ▶ Testen

Für die Umlaufzeit T (in Jahren) eines Planeten mit dem mittleren Sonnenabstand a (in AE) gilt T = a^(3/2). Berechne T für Jupiter mit a = 5,2 auf 0,1 Jahre genau.

✓ Antwort: 11.9
T = 5,2^(3/2) = (√5,2)³ ≈ 2,280³ ≈ 11,86, gerundet 11,9 Jahre. Das Ergebnis liegt zwischen 5,2 und 5,2² = 27,04, wie es zum Exponenten 1,5 passt.
Zahleneingabe #2 25s ▶ Testen

Es gilt ³√(x⁶) = x^k für x ≥ 0. Bestimme k.

✓ Antwort: 2
³√(x⁶) = x^(6/3) = x². Man kürzt den Bruch im Exponenten: k = 6 : 3 = 2.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Es gilt 1/⁵√(x²) = x^k für x > 0. Bestimme k als Dezimalzahl.

✓ Antwort: -0.4
⁵√(x²) = x^(2/5), der Kehrwert ist x^(−2/5). Also k = −2/5 = −0,4.
Zahleneingabe #4 35s ▶ Testen

Bestimme die kleinste ganze Zahl x, für die (2x + 9)^(1/3) definiert ist.

✓ Antwort: -4
Die Basis muss nichtnegativ sein: 2x + 9 ≥ 0, also x ≥ −4,5. Die kleinste ganze Zahl ist x = −4: Dort ist die Basis 1.
KI-bewertete Rechnung #5 240s ▶ Testen

a) Berechne 8^(2/3) auf zwei Wegen: als (³√8)² und als ³√(8²). b) Schreibe ⁴√(x³) und 1/√x als Potenzen. c) Begründe, warum (−8)^(1/3) nicht definiert ist, obwohl die Gleichung x³ = −8 die Lösung −2 hat. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: a) (³√8)² = 2² = 4 und ³√(8²) = ³√64 = 4. b) ⁴√(x³) = x^(3/4); 1/√x = 1/x^(1/2) = x^(−1/2). c) Potenzen mit Bruchexponent sind nur für Basen a ≥ 0 erklärt, weil die n-te Wurzel als nichtnegative Zahl definiert ist. Die Gleichung x³ = −8 hat die Lösung x = −³√8 = −2, sie wird aber nicht als (−8)^(1/3) geschrieben.
Zähler = Potenz, Nenner = Wurzelexponent: 8^(2/3) = ³√(8²) = (³√8)², ⁴√(x³) = x^(3/4). Ein negativer Exponent bildet den Kehrwert, und die Basis muss nichtnegativ sein.