Innere und äuĂere Funktion
Welche ist die innere Funktion von h(x) = (3x â 2)â´?
Erklärung: Zuerst wird 3x â 2 berechnet, dann das Ergebnis mit 4 potenziert: innere Funktion g(x) = 3x â 2, äuĂere Funktion f(u) = uâ´. Die äuĂere Funktion uâ´ steht zuletzt, und 3x ist nur ein Teil der inneren Funktion.
Die Rechenmaschine im Bild hat zwei Stufen. Welche Funktion h(x) beschreibt sie?
Erklärung: Die Eingabe x läuft zuerst durch die innere Stufe: u = x + 5. Erst danach kommt die äuĂere Stufe: y = uÂł = (x + 5)Âł. xÂł + 5 hätte die Stufen vertauscht, 3x + 5 liest uÂł als Verdreifachung.
Bei h(x) = e^(2x + 1) ist 2x + 1 die innere Funktion und eáľ die äuĂere.
Erklärung: Zuerst wird der Exponent 2x + 1 berechnet (innen), dann wird e hoch dieses Ergebnis genommen (auĂen).
Bei h(x) = e^(x² â 1) ist g(x) = x² â 1 die innere Funktion. Wie groĂ ist g(2)?
Erklärung: g(2) = 2² â 1 = 4 â 1 = 3. Der Wert der inneren Funktion ist die Eingabe der äuĂeren: h(2) = eÂł.
Es sei h(x) = (2x + 1)Âł. Berechne h(2), erst die innere, dann die äuĂere Funktion.
Erklärung: Innen: u = 2¡2 + 1 = 5. AuĂen: 5Âł = 125. Wer nur 2Âł + 1 rechnet, erhält 9.
Fßr g(x) = x + 1 und f(u) = u² beschreibt f(g(x)) welche Funktion?
Erklärung: f(g(x)) heiĂt: erst g, dann f. Also x + 1 berechnen und quadrieren: (x + 1)². x² + 1 wäre g(f(x)), also erst quadrieren und dann 1 addieren; 2¡(x + 1) liest u² als Verdopplung.
FĂźr g(x) = 2x und f(u) = u + 3 gilt f(g(x)) = g(f(x)).
Erklärung: f(g(x)) = 2x + 3, aber g(f(x)) = 2¡(x + 3) = 2x + 6. Bei x = 2 sind das 7 und 10.
Die Abbildung zeigt drei Parabeln. Welche gehÜrt zu f(g(x)) mit g(x) = x + 1 und f(u) = u²?
Erklärung: f(g(x)) = (x + 1)²: Diese Parabel ist die Normalparabel, um 1 nach links verschoben (Scheitel bei x = â1). Parabel B ist x² + 1 (g(f(x)), um 1 nach oben verschoben), Parabel C ist (x â 1)², um 1 nach rechts verschoben.
Es sei g(x) = x + 1 und f(u) = u². Wie groà ist f(g(3))?
Erklärung: Erst g(3) = 4, dann f(4) = 4² = 16.
Es sei g(x) = x + 1 und f(u) = u². Berechne f(g(2)) â g(f(2)).
Erklärung: f(g(2)) = f(3) = 9, g(f(2)) = g(4) = 5. Die Differenz ist 9 â 5 = 4: Die Reihenfolge ändert das Ergebnis.
Welche dieser Funktionen ist ein Produkt zweier Funktionen von x?
Erklärung: x¡eˣ besteht aus den Faktoren x und eˣ, die nebeneinander stehen und multipliziert werden. Bei e^(2x) und e^(x²) steht ein Term im Exponenten: Das sind Verkettungen, keine Produkte.
Fßr x = 1 gilt e^(2x) = e¡2x.
Erklärung: e^(2¡1) = e² â 7,39, aber e¡2¡1 â 5,44. e^(2x) ist e hoch 2x (Verkettung), nicht e mal 2x.
Der Rechenbaum gehĂśrt zu f(x) = x¡e^(âx). Welche Rechenart steht ganz oben und wird zuletzt ausgefĂźhrt?
Erklärung: Der Baum wird von unten nach oben gelesen. Ganz oben steht das Malzeichen: f ist ein Produkt aus x und e^(âx). Die Potenz und die Negation stecken im zweiten Faktor.
Berechne x¡eˣ fßr x = 2 auf 0,01 genau.
Erklärung: Beide Faktoren einzeln ausrechnen und multiplizieren: 2 ¡ e² â 2 ¡ 7,389 = 14,78.
Berechne e^(x²) fßr x = 1,5 auf 0,01 genau.
Erklärung: Erst der Exponent: x² = 2,25. Dann e^2,25 â 9,49. (Nicht (e^1,5)² â 20,09 und nicht e¡1,5².)
Gegeben sind h(x) = e^(3x â 1), k(x) = (x² + 1)â´ und m(x) = x¡eËŁ. Gib fĂźr jede Funktion an, ob sie eine Verkettung oder ein Produkt ist. Nenne bei den Verkettungen die innere und die äuĂere Funktion und berechne h(1) in zwei Schritten. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: h und k bestehen aus einer inneren und einer äuĂeren Funktion, m ist ein Produkt. Bei h(1) rechnet man erst u = 3¡1 â 1 = 2 und dann e² â 7,39.
Ist f(x) = (x + 1) ¡ eˣ eine Verkettung?
Nein: Zwei Funktionen werden malgenommen. Das ist ein Produkt; es braucht die Produktregel.
Ist f(x) = x² ¡ (x â 5) eine Verkettung?
Nein: Zwei Funktionen werden malgenommen. Das ist ein Produkt; es braucht die Produktregel.
Ist f(x) = e^(x²) eine Verkettung?
Ja: Innen steht x², auĂen die e-Funktion. Sie braucht die Kettenregel: f'(x) = e^(x²) ¡ 2x.
Ist f(x) = (4x + 1)âľ eine Verkettung?
Ja: Innen steht 4x + 1, auĂen die fĂźnfte Potenz. Sie braucht die Kettenregel: f'(x) = 5(4x + 1)ⴠ¡ 4.