Innere und äußere Funktion

Inner and outer function

Mathematik Klasse 12 20 Aufgaben

AnalysisFunktionenKettenregel

Viele Terme rechnen in zwei Stufen: Die innere Funktion g wird zuerst berechnet, ihr Ergebnis ist die Eingabe der äußeren Funktion f, zusammen f(g(x)). Der Abschnitt übt, Verkettungen zu erkennen, innere und äußere Funktion zu benennen und die Reihenfolge zu beachten, denn f(g(x)) und g(f(x)) sind verschiedene Funktionen. Er räumt aus, e^(2x) als Produkt e·2x oder (x + 1)² als x² + 1 zu lesen. Er bereitet die Kettenregel und das Zusammenspiel mit der Produktregel vor.

Verschachtelte Rechenwege

Manche Funktionen rechnen in zwei Stufen. Bei $h (x) = e^{x^{2}}$ wird zuerst x² berechnet und dann e hoch dieses Ergebnis genommen. Das Zwischenergebnis heißt u. Die erste Stufe $g (x) = x^{2}$ ist die innere Funktion, die zweite $f (u) = e^{u}$ die äußere Funktion. Zusammen bilden sie eine Verkettung $h (x) = f (g (x))$ . Die innere Funktion steht in der Klammer oder im Exponenten, die äußere wird zuletzt ausgeführt. Bei $(2 x + 1)^{3}$ ist 2x + 1 innen und u³ außen. Auch bei $(x - 4)^{5}$ ist x − 4, das in der Klammer steht, die innere Funktion; u⁵ ist die äußere.

Zwei Stufen: Die Ausgabe der inneren Funktion ist die Eingabe der äußeren.

Reihenfolge und Produkt

Die Reihenfolge entscheidet. Mit g(x) = x + 1 und f(u) = u² ist f(g(x)) = (x + 1)², aber g(f(x)) = x² + 1; bei x = 2 sind das 9 und 5.

Ziehe x₀: Wie unterscheiden sich f(g(x₀)) und g(f(x₀))?

Eine Verkettung ist auch kein Produkt. $x \cdot e^{x}$ multipliziert zwei Funktionswerte, $e^{2 x}$ setzt 2x in die e-Funktion ein: Für x = 1 ist $e^{2 x}$ = e² ≈ 7,39, aber e·2x ≈ 5,44. Man fragt: Welche Rechenart wird zuletzt ausgeführt? Ein Rechenbaum macht das sichtbar: Die zuletzt ausgeführte Rechenart steht ganz oben. Bei einem Produkt stehen die Faktoren nebeneinander, bei einer Verkettung steckt der eine Term im anderen.

Ermöglicht (1)

Die Kettenregel

Klasse 12

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Leicht

Multiple Choice #1 25s ▶ Testen

Welche ist die innere Funktion von h(x) = (3x − 2)⁴?

● 3x − 2
○ u⁴
○ 3x

Zuerst wird 3x − 2 berechnet, dann das Ergebnis mit 4 potenziert: innere Funktion g(x) = 3x − 2, äußere Funktion f(u) = u⁴. Die äußere Funktion u⁴ steht zuletzt, und 3x ist nur ein Teil der inneren Funktion.

Multiple Choice #2 30s ▶ Testen

Die Rechenmaschine im Bild hat zwei Stufen. Welche Funktion h(x) beschreibt sie?

● (x + 5)³
○ x³ + 5
○ 3x + 5

Die Eingabe x läuft zuerst durch die innere Stufe: u = x + 5. Erst danach kommt die äußere Stufe: y = u³ = (x + 5)³. x³ + 5 hätte die Stufen vertauscht, 3x + 5 liest u³ als Verdreifachung.

Wahr / Falsch #3 15s ▶ Testen

Bei h(x) = e^(2x + 1) ist 2x + 1 die innere Funktion und eᵘ die äußere.

✓ Wahr

Zuerst wird der Exponent 2x + 1 berechnet (innen), dann wird e hoch dieses Ergebnis genommen (außen).

Multiple Choice #4 25s ▶ Testen

Für g(x) = x + 1 und f(u) = u² beschreibt f(g(x)) welche Funktion?

● (x + 1)²
○ x² + 1
○ 2·(x + 1)

f(g(x)) heißt: erst g, dann f. Also x + 1 berechnen und quadrieren: (x + 1)². x² + 1 wäre g(f(x)), also erst quadrieren und dann 1 addieren; 2·(x + 1) liest u² als Verdopplung.

Wahr / Falsch #5 15s ▶ Testen

Für g(x) = 2x und f(u) = u + 3 gilt f(g(x)) = g(f(x)).

✓ Falsch

f(g(x)) = 2x + 3, aber g(f(x)) = 2·(x + 3) = 2x + 6. Bei x = 2 sind das 7 und 10.

Multiple Choice #6 30s ▶ Testen

Die Abbildung zeigt drei Parabeln. Welche gehört zu f(g(x)) mit g(x) = x + 1 und f(u) = u²?

● Parabel A
○ Parabel B
○ Parabel C

f(g(x)) = (x + 1)²: Diese Parabel ist die Normalparabel, um 1 nach links verschoben (Scheitel bei x = −1). Parabel B ist x² + 1 (g(f(x)), um 1 nach oben verschoben), Parabel C ist (x − 1)², um 1 nach rechts verschoben.

Multiple Choice #7 25s ▶ Testen

Welche dieser Funktionen ist ein Produkt zweier Funktionen von x?

● x·eˣ
○ e^(2x)
○ e^(x²)

x·eˣ besteht aus den Faktoren x und eˣ, die nebeneinander stehen und multipliziert werden. Bei e^(2x) und e^(x²) steht ein Term im Exponenten: Das sind Verkettungen, keine Produkte.

Wahr / Falsch #8 15s ▶ Testen

Für x = 1 gilt e^(2x) = e·2x.

✓ Falsch

e^(2·1) = e² ≈ 7,39, aber e·2·1 ≈ 5,44. e^(2x) ist e hoch 2x (Verkettung), nicht e mal 2x.

Multiple Choice #9 30s ▶ Testen

Der Rechenbaum gehört zu f(x) = x·e^(−x). Welche Rechenart steht ganz oben und wird zuletzt ausgeführt?

● das Produkt aus x und e^(−x)
○ die Potenz e hoch …
○ das Vorzeichen bei −x

Der Baum wird von unten nach oben gelesen. Ganz oben steht das Malzeichen: f ist ein Produkt aus x und e^(−x). Die Potenz und die Negation stecken im zweiten Faktor.

Wahr / Falsch #10 25s ▶ Testen

Ist f(x) = (x + 1) · eˣ eine Verkettung?

✓ Nein

Wahr / Falsch #11 25s ▶ Testen

Ist f(x) = x² · (x − 5) eine Verkettung?

✓ Nein

Wahr / Falsch #12 25s ▶ Testen

Ist f(x) = e^(x²) eine Verkettung?

✓ Ja

Wahr / Falsch #13 25s ▶ Testen

Ist f(x) = (4x + 1)⁵ eine Verkettung?

✓ Ja

Mittel

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Bei h(x) = e^(x² − 1) ist g(x) = x² − 1 die innere Funktion. Wie groß ist g(2)?

✓ Antwort: 3

g(2) = 2² − 1 = 4 − 1 = 3. Der Wert der inneren Funktion ist die Eingabe der äußeren: h(2) = e³.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Es sei g(x) = x + 1 und f(u) = u². Wie groß ist f(g(3))?

✓ Antwort: 16

Erst g(3) = 4, dann f(4) = 4² = 16.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Berechne x·eˣ für x = 2 auf 0,01 genau.

✓ Antwort: 14.778112

Beide Faktoren einzeln ausrechnen und multiplizieren: 2 · e² ≈ 2 · 7,389 = 14,78.

Schwer

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Es sei h(x) = (2x + 1)³. Berechne h(2), erst die innere, dann die äußere Funktion.

✓ Antwort: 125

Innen: u = 2·2 + 1 = 5. Außen: 5³ = 125. Wer nur 2³ + 1 rechnet, erhält 9.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Es sei g(x) = x + 1 und f(u) = u². Berechne f(g(2)) − g(f(2)).

✓ Antwort: 4

f(g(2)) = f(3) = 9, g(f(2)) = g(4) = 5. Die Differenz ist 9 − 5 = 4: Die Reihenfolge ändert das Ergebnis.

Zahleneingabe #3 35s ▶ Testen

Berechne e^(x²) für x = 1,5 auf 0,01 genau.

✓ Antwort: 9.487736

Erst der Exponent: x² = 2,25. Dann e^2,25 ≈ 9,49. (Nicht (e^1,5)² ≈ 20,09 und nicht e·1,5².)

KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Gegeben sind h(x) = e^(3x − 1), k(x) = (x² + 1)⁴ und m(x) = x·eˣ. Gib für jede Funktion an, ob sie eine Verkettung oder ein Produkt ist. Nenne bei den Verkettungen die innere und die äußere Funktion und berechne h(1) in zwei Schritten. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: h ist eine Verkettung: innere Funktion g(x) = 3x − 1, äußere Funktion f(u) = e^u. h(1): u = 3·1 − 1 = 2, h(1) = e² ≈ 7,39. k ist eine Verkettung: innere Funktion x² + 1, äußere Funktion u⁴. m ist ein Produkt der Faktoren u(x) = x und v(x) = eˣ, keine Verkettung.

h und k bestehen aus einer inneren und einer äußeren Funktion, m ist ein Produkt. Bei h(1) rechnet man erst u = 3·1 − 1 = 2 und dann e² ≈ 7,39.