Die Kettenregel
Welche Ableitung hat h(x) = (5x + 2)Âł?
Erklärung: Innere Funktion g(x) = 5x + 2 mit gⲠ= 5, äuĂere Funktion f(u) = uÂł mit fâ˛(u) = 3u². Kettenregel: hâ˛(x) = fâ˛(g(x))¡gâ˛(x) = 3¡(5x + 2)²¡5. Ohne den Faktor 5 fehlt die innere Ableitung; 3¡5x² leitet die beiden Stufen falsch getrennt ab.
FĂźr h(x) = (x² + 1)Âł gilt hâ˛(x) = 3¡(x² + 1)²¡2x.
Erklärung: Innen g(x) = x² + 1 mit gⲠ= 2x, auĂen f(u) = uÂł mit fâ˛(u) = 3u². Also hâ˛(x) = 3¡(x² + 1)²¡2x = 6x¡(x² + 1)².
Es sei h(x) = (5 â x)Âł. Berechne hâ˛(2).
Erklärung: Innen g(x) = 5 â x mit gⲠ= â1, auĂen f(u) = uÂł mit fâ˛(u) = 3u². Bei x = 2 ist u = 3: hâ˛(2) = 3¡3²¡(â1) = â27. Das Vorzeichen der inneren Ableitung bleibt erhalten.
Berechne hâ˛(1) fĂźr h(x) = (3x â 1)â´.
Erklärung: g(x) = 3x â 1, gⲠ= 3; f(u) = uâ´, fâ˛(u) = 4uÂł. Bei x = 1 ist u = 2: hâ˛(1) = 4¡2³¡3 = 4¡8¡3 = 96.
Bei h(x) = (3x + 2)Âł wird x = 1 um 0,01 grĂśĂer. Um wie viel wächst h ungefähr? Nutze hâ˛(1) und gib das Ergebnis auf 0,01 genau an.
Erklärung: hâ˛(1) = 3¡5²¡3 = 225: Steigung 225 heiĂt, dass h bei einem kleinen Schritt Îx etwa 225¡Îx wächst. FĂźr Îx = 0,01 sind das 2,25. (Genau: 5,03Âł â 125 â 2,26.)
Leite h(x) = (3x² â 2)â´ mit der Kettenregel ab. Benenne die innere Funktion g und die äuĂere Funktion f, gib gⲠund fⲠan, setze hâ˛(x) = fâ˛(g(x))¡gâ˛(x) zusammen und berechne hâ˛(1). Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Kettenregel: äuĂere Ableitung an der inneren Stelle mal innere Ableitung. hâ˛(x) = 4¡(3x² â 2)³¡6x = 24x¡(3x² â 2)Âł, hâ˛(1) = 24.
Die Abbildung zeigt den Graphen von h(x) = (4x â 3)² mit dem Punkt P bei x = 1. Wie steil ist der Graph in P?
Erklärung: g(x) = 4x â 3 mit gⲠ= 4, f(u) = u² mit fâ˛(u) = 2u. Bei x = 1 ist u = 1: hâ˛(1) = 2¡1¡4 = 8. Ohne die innere Ableitung 4 bliebe nur 2; 4 ist gⲠallein und lässt fⲠweg. Kontrolle: (4x â 3)² = 16x² â 24x + 9 hat die Ableitung 32x â 24 = 8.
FĂźr h(x) = (3x)â´ gilt hâ˛(x) = 4¡(3x)Âł.
Erklärung: Die innere Ableitung 3 fehlt: hâ˛(x) = 4¡(3x)³¡3 = 12¡(3x)Âł = 324xÂł. Kontrolle: (3x)â´ = 81xâ´ hat die Ableitung 324xÂł, nicht 108xÂł.
FĂźr h(x) = (5x + 2)Âł lautet die Kettenregel hâ˛(x) = 3¡(5x + 2)²¡gâ˛(x). Wie groĂ ist gâ˛(x)?
Erklärung: g(x) = 5x + 2 hat die Ableitung gâ˛(x) = 5. Dieser Faktor wird beim Ableiten von h mit angeschrieben.
Berechne hâ˛(1) fĂźr h(x) = (4x â 1)².
Erklärung: g(x) = 4x â 1, gⲠ= 4; f(u) = u², fâ˛(u) = 2u. Bei x = 1 ist u = 3: hâ˛(1) = 2¡3¡4 = 24. Ohne die innere Ableitung käme nur 6 heraus. Kontrolle: (4x â 1)² = 16x² â 8x + 1 hat die Ableitung 32x â 8 = 24.
Die Abbildung zeigt h(x) = (x² + 1)³. Welche Ableitung hat h?
Erklärung: Innen g(x) = x² + 1 mit gⲠ= 2x, auĂen f(u) = uÂł mit fâ˛(u) = 3u². Die äuĂere Ableitung wird an der Stelle u = x² + 1 ausgewertet: 3¡(x² + 1)². 3x²¡2x setzt x statt x² + 1 ein; 3¡(x² + 1)² lässt den Faktor 2x weg.
FĂźr h(x) = (3x + 2)Âł und f(u) = uÂł gilt fâ˛(g(x)) = 3¡(3x + 2)².
Erklärung: fâ˛(u) = 3u². An der inneren Stelle u = g(x) = 3x + 2 heiĂt das fâ˛(g(x)) = 3¡(3x + 2)².
FĂźr h(x) = (4x â 1)âľ und f(u) = uâľ gilt fâ˛(g(x)) = 5xâ´.
Erklärung: fâ˛(u) = 5uâ´ wird an der Stelle u = g(x) = 4x â 1 ausgewertet: fâ˛(g(x)) = 5¡(4x â 1)â´. 5xâ´ setzt die Eingabe x der inneren Funktion in fⲠein.
FĂźr h(x) = (3x + 2)Âł ist f(u) = uÂł und g(x) = 3x + 2. Berechne fâ˛(g(1)).
Erklärung: g(1) = 5 und fâ˛(u) = 3u², also fâ˛(g(1)) = 3¡5² = 75. (Zusammen mit gⲠ= 3 ergibt sich hâ˛(1) = 225.)
Berechne hâ˛(1) fĂźr h(x) = (x² + 1)Âł.
Erklärung: g(x) = x² + 1, gâ˛(x) = 2x; fâ˛(u) = 3u². Bei x = 1 ist u = 2: hâ˛(1) = 3¡2²¡2 = 24. Wer fⲠbei u = 1 statt bei u = 2 auswertet, erhält 6.
f(x) = (3x + 1)â´. Wie groĂ ist die innere Ableitung?
Innen steht 3x + 1; seine Ableitung ist 3.
f(x) = (5x â 2)Âł. Wie groĂ ist die innere Ableitung?
Innen steht 5x â 2; seine Ableitung ist 5.
f(x) = (2x â 1)Âł. Berechne f'(1).
Die innere Ableitung fehlt: Nachdifferenzieren nicht vergessen.
AuĂen uÂł, innen 2x â 1. f'(x) = 3(2x â 1)² ¡ 2 (die äuĂere Ableitung an der inneren Stelle mal die innere Ableitung), also f'(1) = 6.
f(x) = (3x â 2)â´. Berechne f'(1).
Die innere Ableitung fehlt: Nachdifferenzieren nicht vergessen.
AuĂen uâ´, innen 3x â 2. f'(x) = 4(3x â 2)Âł ¡ 3 (die äuĂere Ableitung an der inneren Stelle mal die innere Ableitung), also f'(1) = 12.
f(x) = (x² + 1)³. Berechne f'(1).
Die innere Ableitung fehlt: Nachdifferenzieren nicht vergessen.
AuĂen uÂł, innen x² + 1. f'(x) = 3(x² + 1)² ¡ 2x (die äuĂere Ableitung an der inneren Stelle mal die innere Ableitung), also f'(1) = 24.
f(x) = (x² + 2)². Berechne f'(1).
Die innere Ableitung fehlt: Nachdifferenzieren nicht vergessen.
AuĂen u², innen x² + 2. f'(x) = 2(x² + 2) ¡ 2x (die äuĂere Ableitung an der inneren Stelle mal die innere Ableitung), also f'(1) = 12.