Die Kettenregel

The chain rule

Mathematik Klasse 12 21 Aufgaben

AnalysisAbleitungenKettenregel

Ändert sich x um Δx, ändert sich die innere Größe u = g(x) um g′·Δx und der äußere Wert um f′(u)·Δu: Änderungsraten multiplizieren sich, h′ = f′(g(x))·g′(x). Der Abschnitt übt die Regel an Potenzen linearer und quadratischer Terme und räumt die zwei häufigsten Fehler aus: die innere Ableitung wird vergessen, und die äußere Ableitung wird an der Stelle x statt an der inneren Stelle g(x) ausgewertet. Er bereitet die Ableitung von e^(g(x)), die Kombination mit der Produktregel und später sin(bx + c) und ln(g(x)) vor.

Wie steil ist $h (x) = (2 x + 1)^{3}$ ? Ändert sich x um Δx, ändert sich die innere Größe u = 2x + 1 um $g^{'} \cdot Δ x = 2 Δ x$ , und der Wert u³ der äußeren Funktion ändert sich um $f^{'} (u) \cdot Δ u = 3 u^{2} \cdot 2 Δ x$ . Die Änderungsraten multiplizieren sich, wie bei zwei gekoppelten Zahnrädern: Dreht sich das erste doppelt so schnell wie das Ausgangsrad und das zweite dreimal so schnell wie das erste, dreht es sich insgesamt sechsmal so schnell. Das ist die Kettenregel:

$h^{'} (x) = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)$

Äußere Ableitung an der inneren Stelle, mal innere Ableitung. Hier ist $h^{'} (x) = 3 (2 x + 1)^{2} \cdot 2 = 6 (2 x + 1)^{2}$ ; bei x = 0,5 ist u = 2, f′(u) = 12 und g′ = 2, also h′(0,5) = 24. Zwei typische Fehler: die innere Ableitung vergessen (dann käme 12 heraus) und f′ an der Stelle x statt an der Stelle u = g(x) auswerten (3x²·2 = 1,5). Kontrolle: Ausmultipliziert ist $(2 x + 1)^{3} = 8 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x + 1$ mit der Ableitung $24 x^{2} + 24 x + 6 = 6 (2 x + 1)^{2}$ , beide Wege stimmen überein. Bei $(2 x + 1)^{10}$ wäre Ausmultiplizieren mühsam; die Kettenregel liefert sofort $20 (2 x + 1)^{9}$ .

Ziehe x₀ und vergleiche f′(u)·g′ mit der Tangentensteigung h′(x₀).

Voraussetzungen (1)

Innere und äußere Funktion

Klasse 12

›

Ermöglicht (1)

Verkettungen mit eˣ

Klasse 12

›

Leicht

Multiple Choice #1 30s ▶ Testen

Welche Ableitung hat h(x) = (5x + 2)³?

● 3·(5x + 2)²·5
○ 3·(5x + 2)²
○ 3·5x²

Innere Funktion g(x) = 5x + 2 mit g′ = 5, äußere Funktion f(u) = u³ mit f′(u) = 3u². Kettenregel: h′(x) = f′(g(x))·g′(x) = 3·(5x + 2)²·5. Ohne den Faktor 5 fehlt die innere Ableitung; 3·5x² leitet die beiden Stufen falsch getrennt ab.

Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Für h(x) = (x² + 1)³ gilt h′(x) = 3·(x² + 1)²·2x.

✓ Wahr

Innen g(x) = x² + 1 mit g′ = 2x, außen f(u) = u³ mit f′(u) = 3u². Also h′(x) = 3·(x² + 1)²·2x = 6x·(x² + 1)².

Multiple Choice #3 30s ▶ Testen

Die Abbildung zeigt den Graphen von h(x) = (4x − 3)² mit dem Punkt P bei x = 1. Wie steil ist der Graph in P?

● 8
○ 2
○ 4

g(x) = 4x − 3 mit g′ = 4, f(u) = u² mit f′(u) = 2u. Bei x = 1 ist u = 1: h′(1) = 2·1·4 = 8. Ohne die innere Ableitung 4 bliebe nur 2; 4 ist g′ allein und lässt f′ weg. Kontrolle: (4x − 3)² = 16x² − 24x + 9 hat die Ableitung 32x − 24 = 8.

Wahr / Falsch #4 15s ▶ Testen

Für h(x) = (3x)⁴ gilt h′(x) = 4·(3x)³.

✓ Falsch

Die innere Ableitung 3 fehlt: h′(x) = 4·(3x)³·3 = 12·(3x)³ = 324x³. Kontrolle: (3x)⁴ = 81x⁴ hat die Ableitung 324x³, nicht 108x³.

Multiple Choice #5 30s ▶ Testen

Die Abbildung zeigt h(x) = (x² + 1)³. Welche Ableitung hat h?

● 3·(x² + 1)²·2x
○ 3x²·2x
○ 3·(x² + 1)²

Innen g(x) = x² + 1 mit g′ = 2x, außen f(u) = u³ mit f′(u) = 3u². Die äußere Ableitung wird an der Stelle u = x² + 1 ausgewertet: 3·(x² + 1)². 3x²·2x setzt x statt x² + 1 ein; 3·(x² + 1)² lässt den Faktor 2x weg.

Wahr / Falsch #6 15s ▶ Testen

Für h(x) = (3x + 2)³ und f(u) = u³ gilt f′(g(x)) = 3·(3x + 2)².

✓ Wahr

f′(u) = 3u². An der inneren Stelle u = g(x) = 3x + 2 heißt das f′(g(x)) = 3·(3x + 2)².

Wahr / Falsch #7 15s ▶ Testen

Für h(x) = (4x − 1)⁵ und f(u) = u⁵ gilt f′(g(x)) = 5x⁴.

✓ Falsch

f′(u) = 5u⁴ wird an der Stelle u = g(x) = 4x − 1 ausgewertet: f′(g(x)) = 5·(4x − 1)⁴. 5x⁴ setzt die Eingabe x der inneren Funktion in f′ ein.

Mittel

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Es sei h(x) = (5 − x)³. Berechne h′(2).

✓ Antwort: -27

Innen g(x) = 5 − x mit g′ = −1, außen f(u) = u³ mit f′(u) = 3u². Bei x = 2 ist u = 3: h′(2) = 3·3²·(−1) = −27. Das Vorzeichen der inneren Ableitung bleibt erhalten.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Für h(x) = (5x + 2)³ lautet die Kettenregel h′(x) = 3·(5x + 2)²·g′(x). Wie groß ist g′(x)?

✓ Antwort: 5

g(x) = 5x + 2 hat die Ableitung g′(x) = 5. Dieser Faktor wird beim Ableiten von h mit angeschrieben.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Für h(x) = (3x + 2)³ ist f(u) = u³ und g(x) = 3x + 2. Berechne f′(g(1)).

✓ Antwort: 75

g(1) = 5 und f′(u) = 3u², also f′(g(1)) = 3·5² = 75. (Zusammen mit g′ = 3 ergibt sich h′(1) = 225.)

Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

f(x) = (3x + 1)⁴. Wie groß ist die innere Ableitung?

✓ Antwort: 3

Zahleneingabe #5 30s ▶ Testen

f(x) = (5x − 2)³. Wie groß ist die innere Ableitung?

✓ Antwort: 5

Zahleneingabe #6 60s ▶ Testen

f(x) = (2x − 1)³. Berechne f'(1).

✓ Antwort: 6

Zahleneingabe #7 60s ▶ Testen

f(x) = (3x − 2)⁴. Berechne f'(1).

✓ Antwort: 12

Zahleneingabe #8 60s ▶ Testen

f(x) = (x² + 1)³. Berechne f'(1).

✓ Antwort: 24

Zahleneingabe #9 60s ▶ Testen

f(x) = (x² + 2)². Berechne f'(1).

✓ Antwort: 12

Schwer

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Berechne h′(1) für h(x) = (3x − 1)⁴.

✓ Antwort: 96

g(x) = 3x − 1, g′ = 3; f(u) = u⁴, f′(u) = 4u³. Bei x = 1 ist u = 2: h′(1) = 4·2³·3 = 4·8·3 = 96.

Zahleneingabe #2 40s ▶ Testen

Bei h(x) = (3x + 2)³ wird x = 1 um 0,01 größer. Um wie viel wächst h ungefähr? Nutze h′(1) und gib das Ergebnis auf 0,01 genau an.

✓ Antwort: 2.25

h′(1) = 3·5²·3 = 225: Steigung 225 heißt, dass h bei einem kleinen Schritt Δx etwa 225·Δx wächst. Für Δx = 0,01 sind das 2,25. (Genau: 5,03³ − 125 ≈ 2,26.)

KI-bewertete Rechnung #3 240s ▶ Testen

Leite h(x) = (3x² − 2)⁴ mit der Kettenregel ab. Benenne die innere Funktion g und die äußere Funktion f, gib g′ und f′ an, setze h′(x) = f′(g(x))·g′(x) zusammen und berechne h′(1). Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Innere Funktion g(x) = 3x² − 2 mit g′(x) = 6x; äußere Funktion f(u) = u⁴ mit f′(u) = 4u³. h′(x) = f′(g(x))·g′(x) = 4·(3x² − 2)³·6x = 24x·(3x² − 2)³. Bei x = 1: g(1) = 1, also h′(1) = 24·1·1³ = 24.

Kettenregel: äußere Ableitung an der inneren Stelle mal innere Ableitung. h′(x) = 4·(3x² − 2)³·6x = 24x·(3x² − 2)³, h′(1) = 24.

Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Berechne h′(1) für h(x) = (4x − 1)².

✓ Antwort: 24

g(x) = 4x − 1, g′ = 4; f(u) = u², f′(u) = 2u. Bei x = 1 ist u = 3: h′(1) = 2·3·4 = 24. Ohne die innere Ableitung käme nur 6 heraus. Kontrolle: (4x − 1)² = 16x² − 8x + 1 hat die Ableitung 32x − 8 = 24.

Zahleneingabe #5 30s ▶ Testen

Berechne h′(1) für h(x) = (x² + 1)³.

✓ Antwort: 24

g(x) = x² + 1, g′(x) = 2x; f′(u) = 3u². Bei x = 1 ist u = 2: h′(1) = 3·2²·2 = 24. Wer f′ bei u = 1 statt bei u = 2 auswertet, erhält 6.