Produktregel anwenden
Die Funktion f(x) = x³·eˣ soll mit der Produktregel abgeleitet werden. Welche Zeile nennt beide Faktorableitungen richtig?
Erklärung: Bei u(x) = x³ gilt die Potenzregel: u′ = 3x². Bei v(x) = eˣ steht x im Exponenten, dort bleibt v′ = eˣ. Die Zeile mit x·e^(x−1) wendet die Potenzregel auf eˣ an, die mit u′ = x³ lässt den Faktor unverändert.
Bei f(x) = x·eˣ ist v(x) = eˣ, also gilt v′(x) = x·e^(x−1).
Erklärung: Die Potenzregel gilt nur, wenn x in der Basis steht. Bei eˣ steht x im Exponenten, und es gilt (eˣ)′ = eˣ.
Die Abbildung zeigt u(x) = x (Gerade) und v(x) = eˣ (Kurve). Welche Steigungen haben die beiden Graphen an der Stelle x = 1?
Erklärung: Die Gerade y = x hat überall die Steigung 1. Bei eˣ ist die Steigung gleich dem Funktionswert: v′(1) = e¹ = e ≈ 2,72, nicht 1. u′ = 0 wäre die Steigung einer waagerechten Geraden.
Bei f(x) = x⁴·eˣ ist u(x) = x⁴. Dann gilt u′(x) = ___ · x³.
Erklärung: Potenzregel: (x⁴)′ = 4x³. Der Faktor eˣ gehört zu v.
Es sei f(x) = x²·eˣ mit u(x) = x² und v(x) = eˣ. Berechne u′(1)·v(1) + u(1)·v′(1) auf 0,01 genau (e ≈ 2,718).
Erklärung: u(1) = 1, u′(1) = 2, v(1) = e, v′(1) = e: 2·e + 1·e = 3e ≈ 8,15. Das ist f′(1).
Welche Ableitung hat f(x) = x·eˣ?
Erklärung: u = x, u′ = 1, v = eˣ, v′ = eˣ: f′ = 1·eˣ + x·eˣ = (1 + x)·eˣ. Nur eˣ ergäbe u′·v′, nur x·eˣ wäre der zweite Summand allein.
Welche Ableitung hat f(x) = x²·eˣ?
Erklärung: u = x², u′ = 2x, v = eˣ, v′ = eˣ: f′ = 2x·eˣ + x²·eˣ = (2x + x²)·eˣ. 2x·eˣ ist u′·v′, und 2x·eˣ + x² vergisst, dass auch der Faktor eˣ im zweiten Summanden bleibt.
Welche Kurve gehört zu f(x) = x·eˣ?
Erklärung: x·eˣ hat für x < 0 negative Werte, denn x ist negativ und eˣ positiv. Kurve C ist eˣ (immer positiv), Kurve A ist x²·eˣ (nie negativ, Nullstelle bei 0). Nur Kurve B liegt links der 0 unterhalb der x-Achse.
Die Abbildung zeigt den Graphen von f(x) = x·eˣ. Wie steil ist er an der Stelle x = 1?
Erklärung: f′(1) = (1 + 1)·e¹ = 2e ≈ 5,44. e ist nur ein Summand (oder u′·v′), und 1 + e addiert u′ und v′, statt u′·v + u·v′ zu bilden.
Berechne f′(2) für f(x) = x·eˣ auf 0,01 genau.
Erklärung: f′(x) = (1 + x)·eˣ, also f′(2) = 3·e² ≈ 3 · 7,389 = 22,17.
Wie steil ist der Graph von f(x) = x³·eˣ an der Stelle x = 1? Gib die Steigung auf 0,01 genau an.
Erklärung: f′(x) = 3x²·eˣ + x³·eˣ = (3x² + x³)·eˣ. Bei x = 1: (3 + 1)·e = 4e ≈ 10,87.
Für f(x) = x²·eˣ liefert die Produktregel f′(x) = 2x·eˣ + x²·eˣ. Welche Form entsteht, wenn man eˣ ausklammert?
Erklärung: In beiden Summanden steckt der Faktor eˣ. Ausklammern lässt eˣ vor der Klammer stehen und schreibt die Reste als Summe hinein: eˣ·(2x + x²). Ohne eˣ wäre der Term ein anderer; ein Produkt der Reste wäre falsch.
Für f(x) = x·eˣ ist f′(x) = (1 + x)·eˣ. Bei welchem x hat der Graph von f eine waagerechte Tangente?
Erklärung: Eine waagerechte Tangente bedeutet f′(x) = 0. Da eˣ nie null ist, muss 1 + x = 0 gelten, also x = −1. Bei x = 0 ist f(0) = 0, aber f′(0) = 1; x = 1 ergibt f′(1) = 2e.
Die Gleichung (2x + x²)·eˣ = 0 hat genau die Lösungen x = 0 und x = −2.
Erklärung: Ein Produkt ist null, wenn ein Faktor null ist. eˣ ist nie null, also muss 2x + x² = x·(2 + x) = 0 gelten: x = 0 oder x = −2.
Die Gleichung (x − 3)·eˣ = 0 hat außer x = 3 noch eine Lösung, bei der eˣ = 0 ist.
Erklärung: eˣ ist für jedes x positiv und wird nie null. Nur der Klammerfaktor x − 3 kann null sein: x = 3 ist die einzige Lösung.
Bestimme die kleinere der beiden Lösungen von (x² − 4)·eˣ = 0.
Erklärung: eˣ ≠ 0, also x² − 4 = 0 mit x = −2 oder x = 2. Die kleinere Lösung ist −2.
Der Graph von f(x) = x²·eˣ hat für x < 0 genau eine waagerechte Tangente. Bei welchem x liegt sie?
Erklärung: f′(x) = (2x + x²)·eˣ = x·(2 + x)·eˣ. Null für x = 0 oder x = −2; für x < 0 bleibt x = −2. (Dort ist f(−2) = 4e⁻² ≈ 0,54.)
Leite f(x) = x²·eˣ mit der Produktregel ab, klammere eˣ aus und bestimme alle Stellen, an denen der Graph eine waagerechte Tangente hat. Gib auch die zugehörigen Funktionswerte an (auf 0,01 genau). Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: f′ ist null, wenn der Klammerfaktor x·(2 + x) null ist, denn eˣ wird nie null: bei x = 0 und x = −2, mit f(−2) = 4e⁻² ≈ 0,54.
f(x) = x³. Berechne f'(2).
Das ist f(2). Gefragt ist f'(2).
f'(x) = 3x², also f'(2) = 12.
f(x) = eˣ. Berechne f'(0).
e⁰ = 1, nicht 0.
(eˣ)' = eˣ, und e⁰ = 1.
f(x) = (x + 2) · eˣ. Berechne f'(0).
Das ist u' · v'. Die Produktregel sagt: u'v + uv'.
u = x + 2, v = eˣ; u' = 1, v' = eˣ. f' = u'v + uv' = eˣ + (x + 2) · eˣ, also f'(0) = 3.
f(x) = (x + 4) · eˣ. Berechne f'(0).
Das ist u' · v'. Die Produktregel sagt: u'v + uv'.
u = x + 4, v = eˣ; u' = 1, v' = eˣ. f' = u'v + uv' = eˣ + (x + 4) · eˣ, also f'(0) = 5.