Produktregel anwenden

Applying the product rule

Mathematik Klasse 12 22 Aufgaben

AnalysisAbleitungenProduktregelExponentiell

Am Beispiel f(x) = x·eˣ wird die Produktregel als Verfahren geübt: Faktoren benennen, beide ableiten, einsetzen, dann eˣ ausklammern. Der Abschnitt räumt aus, dass (eˣ)′ mit der Potenzregel als x·e^(x−1) abgeleitet wird und dass die Ableitung von x·eˣ einfach eˣ sei. Außerdem zeigt er, dass eˣ nie null wird und deshalb nur der Klammerterm über Nullstellen von f′ entscheidet. Er bereitet die Verbindung mit der Kettenregel und die Untersuchung von Extrempunkten vor.

x·eˣ ableiten

Die Funktion $f (x) = x \cdot e^{x}$ ist ein Produkt mit den Faktoren u(x) = x und v(x) = eˣ. Zuerst werden beide Faktoren abgeleitet: u′ = 1 und v′ = eˣ, denn (eˣ)′ = eˣ. Dann wird eingesetzt:

$f^{'} (x) = 1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$

Bei x = 2 ergibt das 3e² ≈ 22,17. Die falsche Rechnung u′·v′ = eˣ hätte nur e² ≈ 7,39 geliefert. Merke die drei Schritte: Faktoren benennen, beide ableiten, in u′·v + u·v′ einsetzen. Steht statt x eine Potenz wie x², kommt die Potenzregel ins Spiel: u = x², u′ = 2x.

Bewege x₀ und vergleiche die beiden Summanden u′·v und u·v′ mit f′(x₀).

Ausklammern

In $f^{'} (x) = e^{x} + x \cdot e^{x}$ steckt eˣ in beiden Summanden. Ausklammern gibt $f^{'} (x) = (1 + x) \cdot e^{x}$ . Weil eˣ nie null wird, entscheidet allein die Klammer: f′(x) = 0 genau für x = −1, dort hat der Graph von f eine waagerechte Tangente. Ebenso gilt $(x^{2} e^{x})^{'} = 2 x e^{x} + x^{2} e^{x} = (2 x + x^{2}) e^{x} = x (2 + x) e^{x}$ ; diese Ableitung hat die Nullstellen x = 0 und x = −2. Ausklammern lohnt sich: Aus der Summe wird ein Produkt, und ein Produkt ist genau dann null, wenn ein Faktor null ist.

f (blau) und f′ (amber): Wo f′ die x-Achse schneidet, hat f eine waagerechte Tangente.

Voraussetzungen (1)

Die Produktregel

Klasse 12

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Ermöglicht (1)

Regeln kombinieren

Klasse 12

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Leicht

Multiple Choice #1 30s ▶ Testen

Die Funktion f(x) = x³·eˣ soll mit der Produktregel abgeleitet werden. Welche Zeile nennt beide Faktorableitungen richtig?

● u′ = 3x² und v′ = eˣ
○ u′ = 3x² und v′ = x·e^(x−1)
○ u′ = x³ und v′ = eˣ

Bei u(x) = x³ gilt die Potenzregel: u′ = 3x². Bei v(x) = eˣ steht x im Exponenten, dort bleibt v′ = eˣ. Die Zeile mit x·e^(x−1) wendet die Potenzregel auf eˣ an, die mit u′ = x³ lässt den Faktor unverändert.

Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Bei f(x) = x·eˣ ist v(x) = eˣ, also gilt v′(x) = x·e^(x−1).

✓ Falsch

Die Potenzregel gilt nur, wenn x in der Basis steht. Bei eˣ steht x im Exponenten, und es gilt (eˣ)′ = eˣ.

Multiple Choice #3 25s ▶ Testen

Die Abbildung zeigt u(x) = x (Gerade) und v(x) = eˣ (Kurve). Welche Steigungen haben die beiden Graphen an der Stelle x = 1?

● u′(1) = 1 und v′(1) = e
○ u′(1) = 1 und v′(1) = 1
○ u′(1) = 0 und v′(1) = e

Die Gerade y = x hat überall die Steigung 1. Bei eˣ ist die Steigung gleich dem Funktionswert: v′(1) = e¹ = e ≈ 2,72, nicht 1. u′ = 0 wäre die Steigung einer waagerechten Geraden.

Multiple Choice #4 25s ▶ Testen

Welche Ableitung hat f(x) = x·eˣ?

● (1 + x)·eˣ
○ eˣ
○ x·eˣ

u = x, u′ = 1, v = eˣ, v′ = eˣ: f′ = 1·eˣ + x·eˣ = (1 + x)·eˣ. Nur eˣ ergäbe u′·v′, nur x·eˣ wäre der zweite Summand allein.

Multiple Choice #5 25s ▶ Testen

Welche Ableitung hat f(x) = x²·eˣ?

● (2x + x²)·eˣ
○ 2x·eˣ
○ 2x·eˣ + x²

u = x², u′ = 2x, v = eˣ, v′ = eˣ: f′ = 2x·eˣ + x²·eˣ = (2x + x²)·eˣ. 2x·eˣ ist u′·v′, und 2x·eˣ + x² vergisst, dass auch der Faktor eˣ im zweiten Summanden bleibt.

Multiple Choice #6 30s ▶ Testen

Welche Kurve gehört zu f(x) = x·eˣ?

● Kurve B
○ Kurve A
○ Kurve C

x·eˣ hat für x < 0 negative Werte, denn x ist negativ und eˣ positiv. Kurve C ist eˣ (immer positiv), Kurve A ist x²·eˣ (nie negativ, Nullstelle bei 0). Nur Kurve B liegt links der 0 unterhalb der x-Achse.

Multiple Choice #7 30s ▶ Testen

Die Abbildung zeigt den Graphen von f(x) = x·eˣ. Wie steil ist er an der Stelle x = 1?

● 2e ≈ 5,44
○ e ≈ 2,72
○ 1 + e ≈ 3,72

f′(1) = (1 + 1)·e¹ = 2e ≈ 5,44. e ist nur ein Summand (oder u′·v′), und 1 + e addiert u′ und v′, statt u′·v + u·v′ zu bilden.

Multiple Choice #8 30s ▶ Testen

Für f(x) = x²·eˣ liefert die Produktregel f′(x) = 2x·eˣ + x²·eˣ. Welche Form entsteht, wenn man eˣ ausklammert?

● eˣ·(2x + x²)
○ 2x + x²
○ eˣ·2x·x²

In beiden Summanden steckt der Faktor eˣ. Ausklammern lässt eˣ vor der Klammer stehen und schreibt die Reste als Summe hinein: eˣ·(2x + x²). Ohne eˣ wäre der Term ein anderer; ein Produkt der Reste wäre falsch.

Multiple Choice #9 30s ▶ Testen

Für f(x) = x·eˣ ist f′(x) = (1 + x)·eˣ. Bei welchem x hat der Graph von f eine waagerechte Tangente?

● x = −1
○ x = 0
○ x = 1

Eine waagerechte Tangente bedeutet f′(x) = 0. Da eˣ nie null ist, muss 1 + x = 0 gelten, also x = −1. Bei x = 0 ist f(0) = 0, aber f′(0) = 1; x = 1 ergibt f′(1) = 2e.

Wahr / Falsch #10 15s ▶ Testen

Die Gleichung (2x + x²)·eˣ = 0 hat genau die Lösungen x = 0 und x = −2.

✓ Wahr

Ein Produkt ist null, wenn ein Faktor null ist. eˣ ist nie null, also muss 2x + x² = x·(2 + x) = 0 gelten: x = 0 oder x = −2.

Wahr / Falsch #11 15s ▶ Testen

Die Gleichung (x − 3)·eˣ = 0 hat außer x = 3 noch eine Lösung, bei der eˣ = 0 ist.

✓ Falsch

eˣ ist für jedes x positiv und wird nie null. Nur der Klammerfaktor x − 3 kann null sein: x = 3 ist die einzige Lösung.

Mittel

Lückentext #1 20s ▶ Testen

Bei f(x) = x⁴·eˣ ist u(x) = x⁴. Dann gilt u′(x) = ___ · x³.

✓ Antwort: 4

Potenzregel: (x⁴)′ = 4x³. Der Faktor eˣ gehört zu v.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Berechne f′(2) für f(x) = x·eˣ auf 0,01 genau.

✓ Antwort: 22.167168

f′(x) = (1 + x)·eˣ, also f′(2) = 3·e² ≈ 3 · 7,389 = 22,17.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Bestimme die kleinere der beiden Lösungen von (x² − 4)·eˣ = 0.

✓ Antwort: -2

eˣ ≠ 0, also x² − 4 = 0 mit x = −2 oder x = 2. Die kleinere Lösung ist −2.

Zahleneingabe #4 20s ▶ Testen

f(x) = x³. Berechne f'(2).

✓ Antwort: 12

Zahleneingabe #5 20s ▶ Testen

f(x) = eˣ. Berechne f'(0).

✓ Antwort: 1

Zahleneingabe #6 60s ▶ Testen

f(x) = (x + 2) · eˣ. Berechne f'(0).

✓ Antwort: 3

Zahleneingabe #7 60s ▶ Testen

f(x) = (x + 4) · eˣ. Berechne f'(0).

✓ Antwort: 5

Schwer

Zahleneingabe #1 35s ▶ Testen

Es sei f(x) = x²·eˣ mit u(x) = x² und v(x) = eˣ. Berechne u′(1)·v(1) + u(1)·v′(1) auf 0,01 genau (e ≈ 2,718).

✓ Antwort: 8.154845

u(1) = 1, u′(1) = 2, v(1) = e, v′(1) = e: 2·e + 1·e = 3e ≈ 8,15. Das ist f′(1).

Zahleneingabe #2 40s ▶ Testen

Wie steil ist der Graph von f(x) = x³·eˣ an der Stelle x = 1? Gib die Steigung auf 0,01 genau an.

✓ Antwort: 10.873127

f′(x) = 3x²·eˣ + x³·eˣ = (3x² + x³)·eˣ. Bei x = 1: (3 + 1)·e = 4e ≈ 10,87.

Zahleneingabe #3 40s ▶ Testen

Der Graph von f(x) = x²·eˣ hat für x < 0 genau eine waagerechte Tangente. Bei welchem x liegt sie?

✓ Antwort: -2

f′(x) = (2x + x²)·eˣ = x·(2 + x)·eˣ. Null für x = 0 oder x = −2; für x < 0 bleibt x = −2. (Dort ist f(−2) = 4e⁻² ≈ 0,54.)

KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Leite f(x) = x²·eˣ mit der Produktregel ab, klammere eˣ aus und bestimme alle Stellen, an denen der Graph eine waagerechte Tangente hat. Gib auch die zugehörigen Funktionswerte an (auf 0,01 genau). Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: u = x², u′ = 2x, v = eˣ, v′ = eˣ. f′(x) = 2x·eˣ + x²·eˣ = eˣ·(2x + x²) = x·(2 + x)·eˣ. f′(x) = 0 ⇔ x = 0 oder x = −2 (eˣ ist nie null). f(0) = 0, f(−2) = 4e⁻² ≈ 0,54. Waagerechte Tangenten bei (0 | 0) und (−2 | 0,54).

f′ ist null, wenn der Klammerfaktor x·(2 + x) null ist, denn eˣ wird nie null: bei x = 0 und x = −2, mit f(−2) = 4e⁻² ≈ 0,54.