Die Produktregel
Ein Rechteck ist 4 cm breit und 3 cm hoch. Die Breite wächst um 1 cm, die HÜhe um 0,5 cm. Wie groà ist der Streifen, der rechts am ursprßnglichen Rechteck hinzukommt?
Erklärung: Der rechte Streifen ist Îu = 1 cm breit und so hoch wie das alte Rechteck: 1 cm ¡ 3 cm = 3 cm². 2 cm² ist der obere Streifen (4 cm ¡ 0,5 cm), 0,5 cm² das kleine EckstĂźck (1 cm ¡ 0,5 cm).
Ein Rechteck von 5 cm ¡ 2 cm wächst auf 5,1 cm ¡ 2,1 cm. Das Eckstßck (0,1 cm ¡ 0,1 cm = 0,01 cm²) ist viel kleiner als jeder der beiden Streifen.
Erklärung: Die Streifen messen 0,1 cm ¡ 2 cm = 0,2 cm² und 5 cm ¡ 0,1 cm = 0,5 cm²; das EckstĂźck nur 0,01 cm². Zusammen: 0,2 + 0,5 + 0,01 = 0,71 cm² = 10,71 cm² â 10 cm².
Ein Rechteck von 3 cm ¡ 2 cm wächst auf 4 cm ¡ 2,5 cm. Um wie viel wächst der Flächeninhalt?
Erklärung: Neu 4 ¡ 2,5 = 10 cm², alt 3 ¡ 2 = 6 cm²: Zuwachs 4 cm². Als Summe: 1¡2 + 3¡0,5 + 1¡0,5 = 2 + 1,5 + 0,5. Wer das Eckstßck (0,5) vergisst, kommt auf 3,5; wer nur die Seitenzuwächse addiert (1 + 0,5), auf 1,5.
Die Breite eines Rechtecks wächst um 0,3 cm, die HĂśhe um 0,2 cm. Wie groĂ ist das EckstĂźck Îu ¡ Îv (in cm²)?
Erklärung: Das EckstĂźck ist Îu ¡ Îv = 0,3 cm ¡ 0,2 cm = 0,06 cm².
Ein Rechteck von 6 cm ¡ 4 cm wächst auf 6,5 cm ¡ 4,25 cm. Berechne den Zuwachs des Flächeninhalts in cm².
Erklärung: Rechter Streifen 0,5 ¡ 4 = 2, oberer Streifen 6 ¡ 0,25 = 1,5, EckstĂźck 0,5 ¡ 0,25 = 0,125: zusammen 3,625 cm². Kontrolle: 6,5 ¡ 4,25 â 24 = 27,625 â 24.
Fßr u(x) = x² und v(x) = x³ gilt an der Stelle x = 2: u = 4, uⲠ= 4, v = 8, vⲠ= 12. Welchen Wert hat (u¡v)Ⲡan dieser Stelle?
Erklärung: (u¡v)Ⲡ= uâ˛Âˇv + u¡vⲠ= 4¡8 + 4¡12 = 32 + 48 = 80. Kontrolle: u¡v = xâľ hat die Ableitung 5xâ´ = 80. 48 wäre uâ˛Âˇvâ˛, â16 entsteht bei einem Minus statt Plus.
Fßr u(x) = x und v(x) = x² gilt an der Stelle x = 3: (u¡v)Ⲡ= 1¡9 + 3¡6 = 27.
Erklärung: uâ˛Âˇv + u¡vⲠ= 1¡9 + 3¡6 = 9 + 18 = 27. Kontrolle: u¡v = xÂł hat die Ableitung 3x² = 27.
Fßr u(x) = x² und v(x) = x + 1 gilt an der Stelle x = 1: (u¡v)Ⲡ= 2¡1 + 1¡2 = 4.
Erklärung: Hier stehen uâ˛ÂˇvⲠ= 2¡1 und u¡v = 1¡2: Ableitungen und Funktionswerte sind falsch gemischt. Richtig ist uâ˛Âˇv + u¡vⲠ= 2¡2 + 1¡1 = 5. Kontrolle: u¡v = xÂł + x² hat die Ableitung 3x² + 2x = 5.
Es sei u(x) = x² + 1 und v(x) = 3x. Berechne (u¡v)Ⲡan der Stelle x = 1 mit der Produktregel.
Erklärung: u(1) = 2, uâ˛(1) = 2, v(1) = 3, vâ˛(1) = 3: (u¡v)â˛(1) = 2¡3 + 2¡3 = 12. Kontrolle: u¡v = 3xÂł + 3x hat die Ableitung 9x² + 3 = 12.
Ein Rechteck ist 5 cm breit und 2 cm hoch. Die Breite wächst momentan mit 0,4 cm/s, die HÜhe mit 0,1 cm/s. Wie schnell wächst der Flächeninhalt momentan (in cm²/s)?
Erklärung: Rate = uâ˛Âˇv + u¡vⲠ= 0,4¡2 + 5¡0,1 = 0,8 + 0,5 = 1,3 cm²/s.
Ein Rechteck hat die Seiten u(x) und v(x), sein Inhalt ist A(x) = u(x)¡v(x). Wächst x um h, so wächst u um Îu und v um Îv. Zeichne das Rechteck mit den beiden Streifen und dem EckstĂźck, gib den Flächenzuwachs ÎA an, teile durch h und begrĂźnde, warum fĂźr h â 0 die Ableitung (u¡v)Ⲡ= uâ˛Âˇv + u¡vⲠßbrig bleibt. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Der Zuwachs besteht aus zwei Streifen und einem EckstĂźck. Das EckstĂźck ist nach Division durch h noch mit Îv multipliziert und verschwindet fĂźr h â 0; es bleiben uâ˛Âˇv und u¡vâ˛.
Es sei u(x) = x und v(x) = x, also u¡v = x². Welchen Wert hat (u¡v)Ⲡan der Stelle x = 3?
Erklärung: u¡v = x² hat die Ableitung 2x = 6. Mit der Produktregel: 1¡3 + 3¡1 = 6. Das Produkt der Ableitungen uâ˛ÂˇvⲠ= 1 wäre der Fehlgriff; nur einen Summanden (1¡3) zu nehmen liefert 3.
FĂźr u(x) = x² und v(x) = xÂł gilt (u¡v)Ⲡ= uâ˛ÂˇvⲠ= 2x ¡ 3x² = 6xÂł.
Erklärung: u¡v = xâľ hat die Ableitung 5xâ´. Schon bei x = 1 ist 5xâ´ = 5, aber 6xÂł = 6. Das Produkt der Ableitungen ist eine andere Funktion.
Ein Rechteck ist 3 breit und 2 hoch. Die Breite wächst mit 1 je Sekunde, die HÜhe mit 0,5 je Sekunde. Wie schnell wächst der Flächeninhalt momentan?
Erklärung: Rate = uâ˛Âˇv + u¡vⲠ= 1¡2 + 3¡0,5 = 3,5. 0,5 ist uâ˛Âˇvâ˛, das nur die Ecke beschreibt; 2 ist nur der erste Summand uâ˛Âˇv.
Multipliziere aus und leite ab: f(x) = x¡(2x + 1). Berechne fâ˛(2).
Erklärung: f(x) = 2x² + x, also fâ˛(x) = 4x + 1 und fâ˛(2) = 9. Mit der Produktregel: 1¡(2x + 1) + x¡2 = 4x + 1. Das Produkt der Ableitungen 1¡2 = 2 wäre eine Konstante.
Es sei u(x) = x + 2 und v(x) = x â 2, also u¡v = x² â 4. Berechne (u¡v)Ⲡan der Stelle x = 3 mit der Produktregel.
Erklärung: u(3) = 5, uⲠ= 1, v(3) = 1, vⲠ= 1: (u¡v)â˛(3) = 1¡1 + 5¡1 = 6. Kontrolle: (x² â 4)Ⲡ= 2x = 6. Das Produkt uâ˛ÂˇvⲠ= 1 stimmt nicht.
f(x) = x² ¡ (x + 3). Berechne f'(1).
Das ist u' ¡ v'. Die Produktregel sagt: u'v + uv'.
u = x², v = x + 3; u' = 2x, v' = 1. f' = u'v + uv' = 2x ¡ (x + 3) + x² ¡ 1, also f'(1) = 9.
f(x) = xÂł ¡ (x â 2). Berechne f'(1).
Das ist u' ¡ v'. Die Produktregel sagt: u'v + uv'.
u = xÂł, v = x â 2; u' = 3x², v' = 1. f' = u'v + uv' = 3x² ¡ (x â 2) + xÂł ¡ 1, also f'(1) = â2.
f(x) = (2x + 1) ¡ (x² â 1). Berechne f'(2).
Das ist u' ¡ v'. Die Produktregel sagt: u'v + uv'.
u = 2x + 1, v = x² â 1; u' = 2, v' = 2x. f' = u'v + uv' = 2 ¡ (x² â 1) + (2x + 1) ¡ 2x, also f'(2) = 26.
f(x) = (3x â 1) ¡ (x² + 2). Berechne f'(1).
Das ist u' ¡ v'. Die Produktregel sagt: u'v + uv'.
u = 3x â 1, v = x² + 2; u' = 3, v' = 2x. f' = u'v + uv' = 3 ¡ (x² + 2) + (3x â 1) ¡ 2x, also f'(1) = 13.
Stimmt das?
(x² ¡ x³)' = 2x ¡ 3x²
Nein: x² ¡ xÂł = xâľ, also (xâľ)' = 5xâ´. Die Produktregel gibt 2x ¡ xÂł + x² ¡ 3x² = 5xâ´; 2x ¡ 3x² = 6xÂł ist u' ¡ v'.
Stimmt das?
(x ¡ xâ´)' = 1 ¡ 4xÂł
Nein: x ¡ xâ´ = xâľ, also (xâľ)' = 5xâ´. Die Produktregel gibt 1 ¡ xâ´ + x ¡ 4xÂł = 5xâ´; 1 ¡ 4xÂł ist u' ¡ v'.