Die Produktregel

The product rule

Mathematik Klasse 12 22 Aufgaben

AnalysisAbleitungenProduktregel

Am wachsenden Rechteck wird sichtbar, woher (u·v)′ = u′·v + u·v′ kommt: Der Flächenzuwachs besteht aus zwei Streifen und einem Eckstück, das im Grenzübergang verschwindet. Der Abschnitt räumt die häufigste Fehlvorstellung aus, die Ableitung eines Produkts sei das Produkt der Ableitungen (u′·v′). Zahlenbeispiele zeigen, dass u′·v′ nur die Ecke beschreibt und falsche Werte liefert. Er bereitet das Anwenden der Regel auf x·eˣ und das Zusammenspiel mit der Kettenregel vor, später auch die Quotientenregel.

Ein Rechteck hat die Seiten u und v; sein Inhalt ist $u \cdot v$ . Beide Seiten hängen von x ab und wachsen: u um Δu, v um Δv. Der Inhalt wächst um zwei Streifen und ein kleines Eckstück:

$Δ A = Δ u \cdot v + u \cdot Δ v + Δ u \cdot Δ v$

Teilt man durch die Schrittweite h und lässt h gegen 0 gehen, werden aus $Δ u / h$ und $Δ v / h$ die Ableitungen u′ und v′. Das Eckstück enthält den Faktor Δv, der gegen 0 geht, und verschwindet. Übrig bleibt die Produktregel:

$(u \cdot v)^{'} = u^{'} \cdot v + u \cdot v^{'}$

Beispiel: u = 3 wächst mit u′ = 1 je Schritt, v = 2 mit v′ = 0,5. Der Inhalt wächst zunächst mit $1 \cdot 2 + 3 \cdot 0, 5 = 3, 5$ je Schritt. Das Produkt der Ableitungen, $u^{'} \cdot v^{'} = 0, 5$ , beschreibt nur das Eckstück und ist nicht die Ableitung von u·v. Ist ein Faktor konstant, etwa u = 2, dann ist u′ = 0 und es bleibt $(2 \cdot v)^{'} = 2 \cdot v^{'}$ .

Merkhilfe: erste Funktion abgeleitet mal zweite, plus erste mal zweite abgeleitet. Kontrolle mit u(x) = x und v(x) = x + 1: Die Regel gibt $1 \cdot (x + 1) + x \cdot 1 = 2 x + 1$ , und tatsächlich ist $(x^{2} + x)^{'} = 2 x + 1$ . Das Produkt der Ableitungen ergäbe nur $1 \cdot 1 = 1$ .

Ziehe an h: Was passiert mit ΔA : h und mit dem roten Eckstück, wenn h kleiner wird?

Ermöglicht (1)

Produktregel anwenden

Klasse 12

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Leicht

Multiple Choice #1 30s ▶ Testen

Ein Rechteck ist 4 cm breit und 3 cm hoch. Die Breite wächst um 1 cm, die Höhe um 0,5 cm. Wie groß ist der Streifen, der rechts am ursprünglichen Rechteck hinzukommt?

● 3 cm²
○ 2 cm²
○ 0,5 cm²

Der rechte Streifen ist Δu = 1 cm breit und so hoch wie das alte Rechteck: 1 cm · 3 cm = 3 cm². 2 cm² ist der obere Streifen (4 cm · 0,5 cm), 0,5 cm² das kleine Eckstück (1 cm · 0,5 cm).

Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Ein Rechteck von 5 cm · 2 cm wächst auf 5,1 cm · 2,1 cm. Das Eckstück (0,1 cm · 0,1 cm = 0,01 cm²) ist viel kleiner als jeder der beiden Streifen.

✓ Wahr

Die Streifen messen 0,1 cm · 2 cm = 0,2 cm² und 5 cm · 0,1 cm = 0,5 cm²; das Eckstück nur 0,01 cm². Zusammen: 0,2 + 0,5 + 0,01 = 0,71 cm² = 10,71 cm² − 10 cm².

Multiple Choice #3 30s ▶ Testen

Ein Rechteck von 3 cm · 2 cm wächst auf 4 cm · 2,5 cm. Um wie viel wächst der Flächeninhalt?

● 4 cm²
○ 3,5 cm²
○ 1,5 cm²

Neu 4 · 2,5 = 10 cm², alt 3 · 2 = 6 cm²: Zuwachs 4 cm². Als Summe: 1·2 + 3·0,5 + 1·0,5 = 2 + 1,5 + 0,5. Wer das Eckstück (0,5) vergisst, kommt auf 3,5; wer nur die Seitenzuwächse addiert (1 + 0,5), auf 1,5.

Multiple Choice #4 30s ▶ Testen

Für u(x) = x² und v(x) = x³ gilt an der Stelle x = 2: u = 4, u′ = 4, v = 8, v′ = 12. Welchen Wert hat (u·v)′ an dieser Stelle?

● 80
○ 48
○ −16

(u·v)′ = u′·v + u·v′ = 4·8 + 4·12 = 32 + 48 = 80. Kontrolle: u·v = x⁵ hat die Ableitung 5x⁴ = 80. 48 wäre u′·v′, −16 entsteht bei einem Minus statt Plus.

Wahr / Falsch #5 15s ▶ Testen

Für u(x) = x und v(x) = x² gilt an der Stelle x = 3: (u·v)′ = 1·9 + 3·6 = 27.

✓ Wahr

u′·v + u·v′ = 1·9 + 3·6 = 9 + 18 = 27. Kontrolle: u·v = x³ hat die Ableitung 3x² = 27.

Wahr / Falsch #6 15s ▶ Testen

Für u(x) = x² und v(x) = x + 1 gilt an der Stelle x = 1: (u·v)′ = 2·1 + 1·2 = 4.

✓ Falsch

Hier stehen u′·v′ = 2·1 und u·v = 1·2: Ableitungen und Funktionswerte sind falsch gemischt. Richtig ist u′·v + u·v′ = 2·2 + 1·1 = 5. Kontrolle: u·v = x³ + x² hat die Ableitung 3x² + 2x = 5.

Multiple Choice #7 25s ▶ Testen

Es sei u(x) = x und v(x) = x, also u·v = x². Welchen Wert hat (u·v)′ an der Stelle x = 3?

● 6
○ 1
○ 3

u·v = x² hat die Ableitung 2x = 6. Mit der Produktregel: 1·3 + 3·1 = 6. Das Produkt der Ableitungen u′·v′ = 1 wäre der Fehlgriff; nur einen Summanden (1·3) zu nehmen liefert 3.

Wahr / Falsch #8 15s ▶ Testen

Für u(x) = x² und v(x) = x³ gilt (u·v)′ = u′·v′ = 2x · 3x² = 6x³.

✓ Falsch

u·v = x⁵ hat die Ableitung 5x⁴. Schon bei x = 1 ist 5x⁴ = 5, aber 6x³ = 6. Das Produkt der Ableitungen ist eine andere Funktion.

Multiple Choice #9 30s ▶ Testen

Ein Rechteck ist 3 breit und 2 hoch. Die Breite wächst mit 1 je Sekunde, die Höhe mit 0,5 je Sekunde. Wie schnell wächst der Flächeninhalt momentan?

● 3,5 je Sekunde
○ 0,5 je Sekunde
○ 2 je Sekunde

Rate = u′·v + u·v′ = 1·2 + 3·0,5 = 3,5. 0,5 ist u′·v′, das nur die Ecke beschreibt; 2 ist nur der erste Summand u′·v.

Wahr / Falsch #10 25s ▶ Testen

Stimmt das? (x² · x³)' = 2x · 3x²

✓ Nein

Wahr / Falsch #11 25s ▶ Testen

Stimmt das? (x · x⁴)' = 1 · 4x³

✓ Nein

Mittel

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Die Breite eines Rechtecks wächst um 0,3 cm, die Höhe um 0,2 cm. Wie groß ist das Eckstück Δu · Δv (in cm²)?

✓ Antwort: 0.06

Das Eckstück ist Δu · Δv = 0,3 cm · 0,2 cm = 0,06 cm².

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Es sei u(x) = x² + 1 und v(x) = 3x. Berechne (u·v)′ an der Stelle x = 1 mit der Produktregel.

✓ Antwort: 12

u(1) = 2, u′(1) = 2, v(1) = 3, v′(1) = 3: (u·v)′(1) = 2·3 + 2·3 = 12. Kontrolle: u·v = 3x³ + 3x hat die Ableitung 9x² + 3 = 12.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Multipliziere aus und leite ab: f(x) = x·(2x + 1). Berechne f′(2).

✓ Antwort: 9

f(x) = 2x² + x, also f′(x) = 4x + 1 und f′(2) = 9. Mit der Produktregel: 1·(2x + 1) + x·2 = 4x + 1. Das Produkt der Ableitungen 1·2 = 2 wäre eine Konstante.

Zahleneingabe #4 60s ▶ Testen

f(x) = x² · (x + 3). Berechne f'(1).

✓ Antwort: 9

Zahleneingabe #5 60s ▶ Testen

f(x) = x³ · (x − 2). Berechne f'(1).

✓ Antwort: -2

Zahleneingabe #6 60s ▶ Testen

f(x) = (2x + 1) · (x² − 1). Berechne f'(2).

✓ Antwort: 26

Zahleneingabe #7 60s ▶ Testen

f(x) = (3x − 1) · (x² + 2). Berechne f'(1).

✓ Antwort: 13

Schwer

Zahleneingabe #1 40s ▶ Testen

Ein Rechteck von 6 cm · 4 cm wächst auf 6,5 cm · 4,25 cm. Berechne den Zuwachs des Flächeninhalts in cm².

✓ Antwort: 3.625

Rechter Streifen 0,5 · 4 = 2, oberer Streifen 6 · 0,25 = 1,5, Eckstück 0,5 · 0,25 = 0,125: zusammen 3,625 cm². Kontrolle: 6,5 · 4,25 − 24 = 27,625 − 24.

Zahleneingabe #2 35s ▶ Testen

Ein Rechteck ist 5 cm breit und 2 cm hoch. Die Breite wächst momentan mit 0,4 cm/s, die Höhe mit 0,1 cm/s. Wie schnell wächst der Flächeninhalt momentan (in cm²/s)?

✓ Antwort: 1.3

Rate = u′·v + u·v′ = 0,4·2 + 5·0,1 = 0,8 + 0,5 = 1,3 cm²/s.

KI-bewertete Rechnung #3 240s ▶ Testen

Ein Rechteck hat die Seiten u(x) und v(x), sein Inhalt ist A(x) = u(x)·v(x). Wächst x um h, so wächst u um Δu und v um Δv. Zeichne das Rechteck mit den beiden Streifen und dem Eckstück, gib den Flächenzuwachs ΔA an, teile durch h und begründe, warum für h → 0 die Ableitung (u·v)′ = u′·v + u·v′ übrig bleibt. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Skizze: altes Rechteck u·v, rechts ein Streifen Δu·v, oben ein Streifen u·Δv, in der Ecke das Stück Δu·Δv. ΔA = Δu·v + u·Δv + Δu·Δv. Division durch h: ΔA/h = (Δu/h)·v + u·(Δv/h) + (Δu/h)·Δv. Für h → 0 gilt Δu/h → u′, Δv/h → v′ und Δv → 0, das Eckstück fällt weg: (u·v)′ = u′·v + u·v′.

Der Zuwachs besteht aus zwei Streifen und einem Eckstück. Das Eckstück ist nach Division durch h noch mit Δv multipliziert und verschwindet für h → 0; es bleiben u′·v und u·v′.

Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Es sei u(x) = x + 2 und v(x) = x − 2, also u·v = x² − 4. Berechne (u·v)′ an der Stelle x = 3 mit der Produktregel.

✓ Antwort: 6

u(3) = 5, u′ = 1, v(3) = 1, v′ = 1: (u·v)′(3) = 1·1 + 5·1 = 6. Kontrolle: (x² − 4)′ = 2x = 6. Das Produkt u′·v′ = 1 stimmt nicht.