Regeln kombinieren
Der erste Ableitungsschritt für f(x) = (x² + 1)·e^(2x) ist:
Erklärung: Die äußerste Rechenart ist das Produkt der Faktoren u = x² + 1 und v = e^(2x): also u′v + uv′. Danach wird (e^(2x))′ = 2e^(2x) mit der Kettenregel gebildet. u′·v′ ist der Produkt-der-Ableitungen-Fehler; die 2 aus dem Exponenten gehört nicht vor das ganze Produkt.
Der Rechenbaum gehört zu f(x) = x² + e^(3x). Welche Ableitung hat f?
Erklärung: Ganz oben steht ein Pluszeichen: Die beiden Summanden werden getrennt abgeleitet. (x²)′ = 2x und (e^(3x))′ = 3·e^(3x) mit der Kettenregel. Ein Produkt der Ableitungen oder das Weglassen der inneren Ableitung 3 wäre falsch.
Der Rechenbaum gehört zu f(x) = (x² + 1)·e^(2x). Ganz oben steht ein Malzeichen, f ist also zuerst ein Produkt.
Erklärung: Der Baum wird von unten nach oben gelesen und zuletzt multipliziert: (x² + 1) mal e^(2x). Das Pluszeichen und die Potenz stecken in den Faktoren.
Berechne f′(0) für f(x) = x² + e^(3x).
Erklärung: f′(x) = 2x + 3·e^(3x). Bei x = 0: 0 + 3·1 = 3.
Berechne f′(0) für f(x) = (x + 2)·e^(3x).
Erklärung: Produktregel mit u = x + 2 (u′ = 1) und v = e^(3x) (v′ = 3e^(3x) mit der Kettenregel): f′(0) = 1·1 + 2·3 = 7.
Welche Ableitung hat f(x) = x·e^(−3x)?
Erklärung: u = x, u′ = 1; v = e^(−3x), v′ = −3e^(−3x) (Kettenregel). f′ = 1·e^(−3x) + x·(−3)e^(−3x) = (1 − 3x)·e^(−3x). (1 + x)·e^(−3x) vergisst die innere Ableitung −3, und −3·e^(−3x) ist u′·v′.
Bei f(x) = x·e^(2x) darf man die 2 aus dem Exponenten vor das ganze Produkt ziehen: f′(x) = 2·x·e^(2x).
Erklärung: Die innere Ableitung gehört nur zum Faktor e^(2x): f′(x) = 1·e^(2x) + x·2e^(2x) = (1 + 2x)·e^(2x). Bei x = 1 sind das 3e² ≈ 22,17, nicht 2e² ≈ 14,78.
Bei welchem x hat der Graph von f(x) = x·e^(−x) eine waagerechte Tangente?
Erklärung: f′(x) = e^(−x) − x·e^(−x) = (1 − x)·e^(−x) ist null bei x = 1; dort liegt der Hochpunkt. Bei x = 0 ist f(0) = 0, aber f′(0) = 1. x = −1 käme heraus, wenn man die innere Ableitung −1 vergisst, denn (1 + x)·e^(−x) wäre bei x = −1 null.
Berechne f′(2) für f(x) = x·e^(−x) auf 0,001 genau.
Erklärung: f′(x) = (1 − x)·e^(−x). Bei x = 2: (1 − 2)·e⁻² = −e⁻² ≈ −0,135.
Berechne f′(0) für f(x) = (x² + 1)·e^(2x).
Erklärung: u = x² + 1 (u′ = 2x), v = e^(2x) (v′ = 2e^(2x)). f′(0) = 0·1 + 1·2·1 = 2.
Die Produktregel liefert f′(x) = e^(−x) − x·e^(−x). Welche Form entsteht, wenn man e^(−x) ausklammert?
Erklärung: Beide Summanden enthalten e^(−x). Ausgeklammert bleibt e^(−x)·(1 − x). „1 − x“ verliert den Faktor e^(−x); „−x·e^(−x)“ lässt den ersten Summanden weg.
Die Gleichung (1 − x)·e^(−x) = 0 hat genau die Lösung x = 1.
Erklärung: Ein Produkt ist null, wenn ein Faktor null ist. e^(−x) ist nie null, also bleibt 1 − x = 0, also x = 1.
Bestimme die größte Lösung von x·(3 − x)·e^(−x) = 0.
Erklärung: e^(−x) ist nie null. Die Faktoren x und 3 − x sind bei x = 0 bzw. x = 3 null. Die größte Lösung ist 3.
Der Graph von f(x) = x²·e^(−x) hat für x > 0 genau eine waagerechte Tangente. Bei welchem x liegt sie?
Erklärung: f′(x) = 2x·e^(−x) − x²·e^(−x) = x·(2 − x)·e^(−x). Null bei x = 0 oder x = 2; für x > 0 bleibt x = 2.
Leite f(x) = (x² + 1)·e^(2x) ab und klammere e^(2x) aus. Zeige, dass f′(x) für alle x positiv ist, der Graph also keinen Hoch- oder Tiefpunkt hat. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: f′(x) = 2·e^(2x)·(x² + x + 1) ist positiv, weil e^(2x) > 0 und x² + x + 1 = (x + ½)² + ¾ > 0 gilt; f hat keine Extrempunkte.
f(x) = (x + 1) · e²ˣ. Berechne f'(0).
Das ist u' · v'. Die Produktregel sagt: u'v + uv'.
u = x + 1, v = e²ˣ; u' = 1, v' = 2e²ˣ. f' = u'v + uv' = e²ˣ + (x + 1) · 2e²ˣ, also f'(0) = 3.
f(x) = (x + 2) · e³ˣ. Berechne f'(0).
Das ist u' · v'. Die Produktregel sagt: u'v + uv'.
u = x + 2, v = e³ˣ; u' = 1, v' = 3e³ˣ. f' = u'v + uv' = e³ˣ + (x + 2) · 3e³ˣ, also f'(0) = 7.