Regeln kombinieren

Combining the rules

Mathematik Klasse 12 17 Aufgaben

AnalysisAbleitungenProduktregelKettenregel

Bei zusammengesetzten Termen entscheidet die zuletzt ausgeführte Rechenart über die erste Regel: Summe, Produkt oder Verkettung, der Rechenbaum macht sie sichtbar. Am Beispiel x·e^(−kx) greift innerhalb der Produktregel für den zweiten Faktor die Kettenregel. Der Abschnitt räumt aus, die Kettenregel auf das ganze Produkt anzuwenden und die 2 aus dem Exponenten vor den Term zu ziehen, und übt das Ausklammern von e^(g(x)) samt Nullprodukt. Er bereitet die Untersuchung von Verknüpfungen mit eˣ vor.

Die äußerste Rechenart

Bei zusammengesetzten Termen entscheidet die zuletzt ausgeführte Rechenart, welche Regel zuerst kommt: eine Summe verlangt die Summenregel, ein Produkt die Produktregel, eine Verkettung die Kettenregel. Der Rechenbaum von $f (x) = x \cdot e^{- 2 x}$ zeigt es: Ganz oben steht das Malzeichen, f ist ein Produkt. Im zweiten Ast steckt eine Verkettung mit der inneren Funktion −2x. Also kommt zuerst die Produktregel und beim Faktor $e^{- 2 x}$ dann die Kettenregel. Bei einer Summe wie x³ + $e^{- x}$ wird dagegen jeder Summand für sich abgeleitet.

Rechenbaum von x·

e^{- 2 x}

: oben das Produkt, im zweiten Ast die Verkettung.

Produkt mit Kette

Mit u = x ist u′ = 1. Mit v = $e^{- 2 x}$ ist v′ = −2· $e^{- 2 x}$ , nach der Kettenregel. Daraus folgt

$f^{'} (x) = 1 \cdot e^{- 2 x} + x \cdot (- 2) e^{- 2 x} = (1 - 2 x) e^{- 2 x}$

Die innere Ableitung −2 gehört nur zum zweiten Summanden, nicht vor das ganze Produkt. Ausgeklammert sieht man: f′ ist null bei x = 0,5; dort ist die Tangente waagerecht, und f(0,5) = 0,5·e⁻¹ ≈ 0,18. Im Bild entspricht k = 2 diesem Beispiel.

Ändere k und x₀: Bei welchem x₀ ist f′(x₀) = 0, und wie hängt es von k ab?

Voraussetzungen (2)

Produktregel anwenden

Ermöglicht (1)

Verknüpfungen untersuchen

Klasse 12

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Leicht

Multiple Choice #1 30s ▶ Testen

Der erste Ableitungsschritt für f(x) = (x² + 1)·e^(2x) ist:

● (x² + 1)′·e^(2x) + (x² + 1)·(e^(2x))′
○ (x² + 1)′·(e^(2x))′
○ 2·(x² + 1)·e^(2x)

Die äußerste Rechenart ist das Produkt der Faktoren u = x² + 1 und v = e^(2x): also u′v + uv′. Danach wird (e^(2x))′ = 2e^(2x) mit der Kettenregel gebildet. u′·v′ ist der Produkt-der-Ableitungen-Fehler; die 2 aus dem Exponenten gehört nicht vor das ganze Produkt.

Multiple Choice #2 30s ▶ Testen

Der Rechenbaum gehört zu f(x) = x² + e^(3x). Welche Ableitung hat f?

● 2x + 3·e^(3x)
○ 2x·3·e^(3x)
○ 2x + e^(3x)

Ganz oben steht ein Pluszeichen: Die beiden Summanden werden getrennt abgeleitet. (x²)′ = 2x und (e^(3x))′ = 3·e^(3x) mit der Kettenregel. Ein Produkt der Ableitungen oder das Weglassen der inneren Ableitung 3 wäre falsch.

Wahr / Falsch #3 15s ▶ Testen

Der Rechenbaum gehört zu f(x) = (x² + 1)·e^(2x). Ganz oben steht ein Malzeichen, f ist also zuerst ein Produkt.

✓ Wahr

Der Baum wird von unten nach oben gelesen und zuletzt multipliziert: (x² + 1) mal e^(2x). Das Pluszeichen und die Potenz stecken in den Faktoren.

Multiple Choice #4 30s ▶ Testen

Welche Ableitung hat f(x) = x·e^(−3x)?

● (1 − 3x)·e^(−3x)
○ (1 + x)·e^(−3x)
○ −3·e^(−3x)

u = x, u′ = 1; v = e^(−3x), v′ = −3e^(−3x) (Kettenregel). f′ = 1·e^(−3x) + x·(−3)e^(−3x) = (1 − 3x)·e^(−3x). (1 + x)·e^(−3x) vergisst die innere Ableitung −3, und −3·e^(−3x) ist u′·v′.

Wahr / Falsch #5 15s ▶ Testen

Bei f(x) = x·e^(2x) darf man die 2 aus dem Exponenten vor das ganze Produkt ziehen: f′(x) = 2·x·e^(2x).

✓ Falsch

Die innere Ableitung gehört nur zum Faktor e^(2x): f′(x) = 1·e^(2x) + x·2e^(2x) = (1 + 2x)·e^(2x). Bei x = 1 sind das 3e² ≈ 22,17, nicht 2e² ≈ 14,78.

Multiple Choice #6 30s ▶ Testen

Bei welchem x hat der Graph von f(x) = x·e^(−x) eine waagerechte Tangente?

● x = 1
○ x = 0
○ x = −1

f′(x) = e^(−x) − x·e^(−x) = (1 − x)·e^(−x) ist null bei x = 1; dort liegt der Hochpunkt. Bei x = 0 ist f(0) = 0, aber f′(0) = 1. x = −1 käme heraus, wenn man die innere Ableitung −1 vergisst, denn (1 + x)·e^(−x) wäre bei x = −1 null.

Multiple Choice #7 30s ▶ Testen

Die Produktregel liefert f′(x) = e^(−x) − x·e^(−x). Welche Form entsteht, wenn man e^(−x) ausklammert?

● e^(−x)·(1 − x)
○ 1 − x
○ −x·e^(−x)

Beide Summanden enthalten e^(−x). Ausgeklammert bleibt e^(−x)·(1 − x). „1 − x“ verliert den Faktor e^(−x); „−x·e^(−x)“ lässt den ersten Summanden weg.

Wahr / Falsch #8 15s ▶ Testen

Die Gleichung (1 − x)·e^(−x) = 0 hat genau die Lösung x = 1.

✓ Wahr

Ein Produkt ist null, wenn ein Faktor null ist. e^(−x) ist nie null, also bleibt 1 − x = 0, also x = 1.

Mittel

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Berechne f′(0) für f(x) = x² + e^(3x).

✓ Antwort: 3

f′(x) = 2x + 3·e^(3x). Bei x = 0: 0 + 3·1 = 3.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Berechne f′(2) für f(x) = x·e^(−x) auf 0,001 genau.

✓ Antwort: -0.135335

f′(x) = (1 − x)·e^(−x). Bei x = 2: (1 − 2)·e⁻² = −e⁻² ≈ −0,135.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Bestimme die größte Lösung von x·(3 − x)·e^(−x) = 0.

✓ Antwort: 3

e^(−x) ist nie null. Die Faktoren x und 3 − x sind bei x = 0 bzw. x = 3 null. Die größte Lösung ist 3.

Zahleneingabe #4 60s ▶ Testen

f(x) = (x + 1) · e²ˣ. Berechne f'(0).

✓ Antwort: 3

Zahleneingabe #5 60s ▶ Testen

f(x) = (x + 2) · e³ˣ. Berechne f'(0).

✓ Antwort: 7

Schwer

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Berechne f′(0) für f(x) = (x + 2)·e^(3x).

✓ Antwort: 7

Produktregel mit u = x + 2 (u′ = 1) und v = e^(3x) (v′ = 3e^(3x) mit der Kettenregel): f′(0) = 1·1 + 2·3 = 7.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Berechne f′(0) für f(x) = (x² + 1)·e^(2x).

✓ Antwort: 2

u = x² + 1 (u′ = 2x), v = e^(2x) (v′ = 2e^(2x)). f′(0) = 0·1 + 1·2·1 = 2.

Zahleneingabe #3 40s ▶ Testen

Der Graph von f(x) = x²·e^(−x) hat für x > 0 genau eine waagerechte Tangente. Bei welchem x liegt sie?

✓ Antwort: 2

f′(x) = 2x·e^(−x) − x²·e^(−x) = x·(2 − x)·e^(−x). Null bei x = 0 oder x = 2; für x > 0 bleibt x = 2.

KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Leite f(x) = (x² + 1)·e^(2x) ab und klammere e^(2x) aus. Zeige, dass f′(x) für alle x positiv ist, der Graph also keinen Hoch- oder Tiefpunkt hat. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: u = x² + 1, u′ = 2x; v = e^(2x), v′ = 2e^(2x) (Kettenregel). f′(x) = 2x·e^(2x) + (x² + 1)·2e^(2x) = e^(2x)·(2x² + 2x + 2) = 2·e^(2x)·(x² + x + 1). e^(2x) > 0. x² + x + 1 = (x + 1/2)² + 3/4 > 0 (oder Diskriminante 1 − 4 < 0). Also f′(x) > 0 für alle x: streng monoton steigend, keine waagerechte Tangente, keine Extrempunkte.

f′(x) = 2·e^(2x)·(x² + x + 1) ist positiv, weil e^(2x) > 0 und x² + x + 1 = (x + ½)² + ¾ > 0 gilt; f hat keine Extrempunkte.