Verkettungen mit eˣ
Welche Ableitung hat h(x) = e^(3x)?
Erklärung: Innere Funktion g(x) = 3x mit g′ = 3, äußere Funktion eᵘ mit (eᵘ)′ = eᵘ: h′(x) = 3·e^(3x). Ohne den Faktor 3 fehlt die innere Ableitung; 3x·e^(3x−1) wendet die Potenzregel auf den Exponenten an.
Für h(x) = e^(−x) gilt h′(x) = e^(−x).
Erklärung: Die innere Funktion g(x) = −x hat g′ = −1, also h′(x) = −1·e^(−x) = −e^(−x). Der Graph von e^(−x) fällt überall, seine Steigung ist negativ.
Der Graph von h(x) = e^(2x) hat bei x = 0 die Steigung 2.
Erklärung: h′(x) = 2·e^(2x), also h′(0) = 2·e⁰ = 2. Allgemein ist die Steigung von e^(kx) bei x = 0 gleich k.
Berechne h′(2) für h(x) = e^(0,5x) auf 0,01 genau.
Erklärung: h′(x) = 0,5·e^(0,5x). Bei x = 2 ist der Exponent 1: h′(2) = 0,5·e ≈ 1,36.
Berechne h′(1) für h(x) = 3·e^(2x) auf 0,01 genau.
Erklärung: Der Faktor 3 bleibt stehen, die innere Ableitung 2 kommt dazu: h′(x) = 3·2·e^(2x) = 6·e^(2x). Bei x = 1: 6·e² ≈ 6·7,389 = 44,33.
Welche Steigung hat die Tangente an h(x) = e^(−2x) im Punkt (0 | 1)?
Erklärung: h′(x) = −2·e^(−2x), also h′(0) = −2·e⁰ = −2. Die Funktion fällt, deshalb ist die Steigung negativ.
Welche Ableitung hat h(x) = e^(x³)?
Erklärung: Innere Funktion g(x) = x³ mit g′ = 3x², äußere Funktion eᵘ, die beim Ableiten gleich bleibt, aber an der Stelle u = x³ steht: h′(x) = 3x²·e^(x³). x³·e^(x³−1) ist die Potenzregel am Exponenten, 3x²·eˣ setzt x statt x³ in die äußere Funktion ein.
Welche Ableitung hat h(x) = e^(x² + 3x)?
Erklärung: Die innere Ableitung ist g′(x) = 2x + 3, der Exponent selbst bleibt unverändert stehen: h′(x) = (2x + 3)·e^(x² + 3x). e^(2x + 3) leitet nur den Exponenten ab und verschiebt ihn nach oben; (x² + 3x) als Faktor multipliziert statt abzuleiten.
Berechne h′(1) für h(x) = e^(x³) auf 0,01 genau.
Erklärung: h′(x) = 3x²·e^(x³). Bei x = 1: 3·1·e¹ = 3e ≈ 8,15.
Der Graph von h(x) = e^(x² − 4x) hat genau eine waagerechte Tangente. Bei welchem x liegt sie?
Erklärung: h′(x) = (2x − 4)·e^(x² − 4x). Da e^(…) nie null wird, muss 2x − 4 = 0 gelten: x = 2.
Gegeben ist h(x) = e^(−x² + 2x). Leite h mit der Kettenregel ab, bestimme die Stelle mit waagerechter Tangente und berechne dort den Funktionswert. Begründe mit dem Vorzeichen der Ableitung, dass dort ein Hochpunkt liegt. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: h′(x) = (−2x + 2)·e^(−x² + 2x) ist null nur bei x = 1; dort wechselt das Vorzeichen von + nach −, es ist der Hochpunkt H(1 | e).
Welche Ableitung hat h(x) = e^(−x²)?
Erklärung: Innere Funktion g(x) = −x² mit g′ = −2x: h′(x) = −2x·e^(−x²). Das Minuszeichen der inneren Ableitung darf nicht verloren gehen (sonst 2x·e^(−x²)); die Potenzregel am Exponenten führt zu −x²·e^(−x² − 1).
Welchen Hochpunkt hat der Graph von h(x) = e^(−x²)?
Erklärung: h′(x) = −2x·e^(−x²) ist nur bei x = 0 null, und h(0) = e⁰ = 1. Der Hochpunkt ist (0 | 1). Bei x = 1 ist h(1) = e⁻¹ ≈ 0,37 und die Steigung negativ (−2/e), also kein Extremum.
Der Graph von h(x) = e^(−x²) ist symmetrisch zur y-Achse.
Erklärung: h(−x) = e^(−(−x)²) = e^(−x²) = h(x): Der Funktionswert an der Stelle −x ist derselbe wie an der Stelle x, also ist der Graph symmetrisch zur y-Achse. Bei x = 2 und x = −2 ist er beide Male e⁻⁴ ≈ 0,018.
Der Graph von h(x) = e^(−x²) schneidet die x-Achse bei x = 1 und x = −1.
Erklärung: h(1) = e⁻¹ ≈ 0,37 ist nicht null. h(x) > 0 für alle x, der Graph nähert sich der x-Achse nur an (Asymptote y = 0).
Berechne h′(1) für h(x) = e^(−x²) auf 0,01 genau.
Erklärung: h′(x) = −2x·e^(−x²). Bei x = 1: −2·1·e⁻¹ = −2/e ≈ −0,74.
Die Tangente an h(x) = e^(−x²) im Punkt P(1 | e⁻¹) schneidet die y-Achse. Berechne den y-Achsenabschnitt auf 0,01 genau.
Erklärung: Steigung m = h′(1) = −2/e. Tangente: y = e⁻¹ − (2/e)·(x − 1). Bei x = 0: y = e⁻¹ + 2e⁻¹ = 3/e ≈ 1,10.
f(x) = e³ˣ. Berechne f'(0).
Die innere Ableitung fehlt: Nachdifferenzieren nicht vergessen.
Außen eᵘ, innen 3x. f'(x) = e³ˣ · 3 (die äußere Ableitung an der inneren Stelle mal die innere Ableitung), also f'(0) = 3.
f(x) = e⁵ˣ. Berechne f'(0).
Die innere Ableitung fehlt: Nachdifferenzieren nicht vergessen.
Außen eᵘ, innen 5x. f'(x) = e⁵ˣ · 5 (die äußere Ableitung an der inneren Stelle mal die innere Ableitung), also f'(0) = 5.
Eine Bakterienkultur wächst nach N(t) = 100 · e^(0,5t) (t in Stunden). Wie schnell wächst sie zu Beginn? Berechne N'(0) (Bakterien pro Stunde).
Die innere Ableitung fehlt: Nachdifferenzieren nicht vergessen.
Außen 100 · eᵘ, innen 0,5t. N'(t) = 100 · e^(0,5t) · 0,5 (die äußere Ableitung an der inneren Stelle mal die innere Ableitung), also N'(0) = 50.
Eine Bakterienkultur wächst nach N(t) = 200 · e^(0,2t) (t in Stunden). Wie schnell wächst sie zu Beginn? Berechne N'(0) (Bakterien pro Stunde).
Die innere Ableitung fehlt: Nachdifferenzieren nicht vergessen.
Außen 200 · eᵘ, innen 0,2t. N'(t) = 200 · e^(0,2t) · 0,2 (die äußere Ableitung an der inneren Stelle mal die innere Ableitung), also N'(0) = 40.