Verkettungen mit eˣ

Compositions with eˣ

Mathematik Klasse 12 21 Aufgaben

AnalysisAbleitungenKettenregelExponentiell

Die äußere Funktion eᵘ bleibt beim Ableiten dieselbe, die innere Ableitung kommt als Faktor dazu: (e^(g(x)))′ = g′(x)·e^(g(x)). Der Abschnitt behandelt e^(kx) mit positivem und negativem k sowie e^(x²) und e^(−x²), deren Graph eine Glocke ist. Er räumt aus, die Potenzregel auf den Exponenten anzuwenden ((e^(x²))′ ≠ x²·e^(x²−1)), die innere Ableitung wegzulassen und das Vorzeichen zu verlieren ((e^(−x))′ = −e^(−x)). Er bereitet die Kombination mit der Produktregel und die Wachstumsmodelle vor.

e hoch kx

Bei $h (x) = e^{k x}$ ist die innere Funktion g(x) = kx mit g′ = k. Die äußere Funktion eᵘ bleibt beim Ableiten dieselbe. Die Kettenregel gibt $h^{'} (x) = k \cdot e^{k x}$ : Die Steigung ist das k-Fache des Funktionswerts. Bei $e^{2 x}$ ist der Graph doppelt so steil wie hoch, bei x = 0 hat er die Steigung k. Für k = −1 ist $(e^{- x})^{'} = - e^{- x}$ : Die Steigung ist negativ, der Graph fällt. Ein weiteres Beispiel: $(e^{4 x})^{'} = 4 e^{4 x}$ .

Stelle k und x₀ ein: Wie hängt die Steigung h′(x₀) von k und h(x₀) ab?

e hoch g(x)

Allgemein bleibt der Exponent stehen, und seine Ableitung kommt als Faktor davor:

$(e^{g (x)})^{'} = g^{'} (x) \cdot e^{g (x)}$

Für $h (x) = e^{x^{2}}$ ist g′ = 2x, also $h^{'} (x) = 2 x \cdot e^{x^{2}}$ . Die Potenzregel darf man am Exponenten nicht anwenden: ( $e^{x^{2}}$ )′ ist nicht x²· $e^{x^{2} - 1}$ . Auch $g (x) = - x^{2}$ ist eine innere Funktion. Der Graph von $e^{- x^{2}}$ ist eine Glocke: symmetrisch zur y-Achse, mit der x-Achse als Asymptote. Merke: Erst den Exponenten ableiten und als Faktor davorschreiben, die äußere Funktion bleibt unverändert stehen. Ein Beispiel mit Summe im Exponenten: $(e^{x^{2} + 5 x})^{'} = (2 x + 5) e^{x^{2} + 5 x}$ .

Ziehe x₀: Wo ist die Tangente waagerecht, und wie passt −2x₀·h(x₀) zur Steigung?

Voraussetzungen (1)

Die Kettenregel

Klasse 12

›

Ermöglicht (1)

Regeln kombinieren

Klasse 12

›

Leicht

Multiple Choice #1 25s ▶ Testen

Welche Ableitung hat h(x) = e^(3x)?

● 3·e^(3x)
○ e^(3x)
○ 3x·e^(3x−1)

Innere Funktion g(x) = 3x mit g′ = 3, äußere Funktion eᵘ mit (eᵘ)′ = eᵘ: h′(x) = 3·e^(3x). Ohne den Faktor 3 fehlt die innere Ableitung; 3x·e^(3x−1) wendet die Potenzregel auf den Exponenten an.

Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Für h(x) = e^(−x) gilt h′(x) = e^(−x).

✓ Falsch

Die innere Funktion g(x) = −x hat g′ = −1, also h′(x) = −1·e^(−x) = −e^(−x). Der Graph von e^(−x) fällt überall, seine Steigung ist negativ.

Wahr / Falsch #3 15s ▶ Testen

Der Graph von h(x) = e^(2x) hat bei x = 0 die Steigung 2.

✓ Wahr

h′(x) = 2·e^(2x), also h′(0) = 2·e⁰ = 2. Allgemein ist die Steigung von e^(kx) bei x = 0 gleich k.

Multiple Choice #4 30s ▶ Testen

Welche Ableitung hat h(x) = e^(x³)?

● 3x²·e^(x³)
○ x³·e^(x³−1)
○ 3x²·eˣ

Innere Funktion g(x) = x³ mit g′ = 3x², äußere Funktion eᵘ, die beim Ableiten gleich bleibt, aber an der Stelle u = x³ steht: h′(x) = 3x²·e^(x³). x³·e^(x³−1) ist die Potenzregel am Exponenten, 3x²·eˣ setzt x statt x³ in die äußere Funktion ein.

Multiple Choice #5 30s ▶ Testen

Welche Ableitung hat h(x) = e^(x² + 3x)?

● (2x + 3)·e^(x² + 3x)
○ e^(2x + 3)
○ (x² + 3x)·e^(x² + 3x)

Die innere Ableitung ist g′(x) = 2x + 3, der Exponent selbst bleibt unverändert stehen: h′(x) = (2x + 3)·e^(x² + 3x). e^(2x + 3) leitet nur den Exponenten ab und verschiebt ihn nach oben; (x² + 3x) als Faktor multipliziert statt abzuleiten.

Multiple Choice #6 30s ▶ Testen

Welche Ableitung hat h(x) = e^(−x²)?

● −2x·e^(−x²)
○ 2x·e^(−x²)
○ −x²·e^(−x² − 1)

Innere Funktion g(x) = −x² mit g′ = −2x: h′(x) = −2x·e^(−x²). Das Minuszeichen der inneren Ableitung darf nicht verloren gehen (sonst 2x·e^(−x²)); die Potenzregel am Exponenten führt zu −x²·e^(−x² − 1).

Multiple Choice #7 30s ▶ Testen

Welchen Hochpunkt hat der Graph von h(x) = e^(−x²)?

● (0 | 1)
○ (1 | e⁻¹)
○ (−1 | 1)

h′(x) = −2x·e^(−x²) ist nur bei x = 0 null, und h(0) = e⁰ = 1. Der Hochpunkt ist (0 | 1). Bei x = 1 ist h(1) = e⁻¹ ≈ 0,37 und die Steigung negativ (−2/e), also kein Extremum.

Wahr / Falsch #8 15s ▶ Testen

Der Graph von h(x) = e^(−x²) ist symmetrisch zur y-Achse.

✓ Wahr

h(−x) = e^(−(−x)²) = e^(−x²) = h(x): Der Funktionswert an der Stelle −x ist derselbe wie an der Stelle x, also ist der Graph symmetrisch zur y-Achse. Bei x = 2 und x = −2 ist er beide Male e⁻⁴ ≈ 0,018.

Wahr / Falsch #9 15s ▶ Testen

Der Graph von h(x) = e^(−x²) schneidet die x-Achse bei x = 1 und x = −1.

✓ Falsch

h(1) = e⁻¹ ≈ 0,37 ist nicht null. h(x) > 0 für alle x, der Graph nähert sich der x-Achse nur an (Asymptote y = 0).

Mittel

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Berechne h′(2) für h(x) = e^(0,5x) auf 0,01 genau.

✓ Antwort: 1.359141

h′(x) = 0,5·e^(0,5x). Bei x = 2 ist der Exponent 1: h′(2) = 0,5·e ≈ 1,36.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Berechne h′(1) für h(x) = e^(x³) auf 0,01 genau.

✓ Antwort: 8.154845

h′(x) = 3x²·e^(x³). Bei x = 1: 3·1·e¹ = 3e ≈ 8,15.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Berechne h′(1) für h(x) = e^(−x²) auf 0,01 genau.

✓ Antwort: -0.735759

h′(x) = −2x·e^(−x²). Bei x = 1: −2·1·e⁻¹ = −2/e ≈ −0,74.

Zahleneingabe #4 60s ▶ Testen

f(x) = e³ˣ. Berechne f'(0).

✓ Antwort: 3

Zahleneingabe #5 60s ▶ Testen

f(x) = e⁵ˣ. Berechne f'(0).

✓ Antwort: 5

Zahleneingabe #6 60s ▶ Testen

Eine Bakterienkultur wächst nach N(t) = 100 · e^(0,5t) (t in Stunden). Wie schnell wächst sie zu Beginn? Berechne N'(0) (Bakterien pro Stunde).

✓ Antwort: 50

Zahleneingabe #7 60s ▶ Testen

Eine Bakterienkultur wächst nach N(t) = 200 · e^(0,2t) (t in Stunden). Wie schnell wächst sie zu Beginn? Berechne N'(0) (Bakterien pro Stunde).

✓ Antwort: 40

Schwer

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Berechne h′(1) für h(x) = 3·e^(2x) auf 0,01 genau.

✓ Antwort: 44.334337

Der Faktor 3 bleibt stehen, die innere Ableitung 2 kommt dazu: h′(x) = 3·2·e^(2x) = 6·e^(2x). Bei x = 1: 6·e² ≈ 6·7,389 = 44,33.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Welche Steigung hat die Tangente an h(x) = e^(−2x) im Punkt (0 | 1)?

✓ Antwort: -2

h′(x) = −2·e^(−2x), also h′(0) = −2·e⁰ = −2. Die Funktion fällt, deshalb ist die Steigung negativ.

Zahleneingabe #3 40s ▶ Testen

Der Graph von h(x) = e^(x² − 4x) hat genau eine waagerechte Tangente. Bei welchem x liegt sie?

✓ Antwort: 2

h′(x) = (2x − 4)·e^(x² − 4x). Da e^(…) nie null wird, muss 2x − 4 = 0 gelten: x = 2.

KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Gegeben ist h(x) = e^(−x² + 2x). Leite h mit der Kettenregel ab, bestimme die Stelle mit waagerechter Tangente und berechne dort den Funktionswert. Begründe mit dem Vorzeichen der Ableitung, dass dort ein Hochpunkt liegt. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: g(x) = −x² + 2x, g′(x) = −2x + 2; äußere Funktion eᵘ. h′(x) = (−2x + 2)·e^(−x² + 2x). h′(x) = 0 ⇔ −2x + 2 = 0 ⇔ x = 1 (die e-Funktion wird nie null). h(1) = e^(−1 + 2) = e ≈ 2,72. Für x < 1 ist −2x + 2 > 0, also h′ > 0; für x > 1 ist h′ < 0: Vorzeichenwechsel von + nach −, also Hochpunkt H(1 | e).

h′(x) = (−2x + 2)·e^(−x² + 2x) ist null nur bei x = 1; dort wechselt das Vorzeichen von + nach −, es ist der Hochpunkt H(1 | e).

Zahleneingabe #5 50s ▶ Testen

Die Tangente an h(x) = e^(−x²) im Punkt P(1 | e⁻¹) schneidet die y-Achse. Berechne den y-Achsenabschnitt auf 0,01 genau.

✓ Antwort: 1.103638

Steigung m = h′(1) = −2/e. Tangente: y = e⁻¹ − (2/e)·(x − 1). Bei x = 0: y = e⁻¹ + 2e⁻¹ = 3/e ≈ 1,10.