Verknüpfungen untersuchen
Welche Nullstelle hat f(x) = (x − 2)·eˣ?
Erklärung: Ein Produkt ist null, wenn ein Faktor null ist. eˣ wird nie null, also entscheidet der Klammerfaktor: x − 2 = 0 gibt x = 2. Dass eˣ nie null wird, heißt nicht, dass f keine Nullstelle hat; x = −2 verwechselt das Vorzeichen.
Die Funktion f(x) = x²·e^(−x) hat genau die Nullstelle x = 0.
Erklärung: e^(−x) ist nie null, also bleibt x² = 0 mit der einzigen Lösung x = 0 (eine doppelte Nullstelle).
Bestimme die Nullstelle von f(x) = (4 − x)·eˣ.
Erklärung: eˣ ≠ 0, also 4 − x = 0 und x = 4.
Bestimme die Nullstelle von f(x) = 3·e^(2x) − 6 auf 0,01 genau.
Erklärung: 3·e^(2x) = 6 ⇒ e^(2x) = 2 ⇒ 2x = ln 2 ⇒ x = (ln 2)/2 ≈ 0,35. Den Faktor 2 im Exponenten nicht vergessen: x = ln 2 ≈ 0,69 wäre falsch.
Die Abbildung zeigt f(x) = x·e^(2x) für x von −4 bis 0,5. Wie verhält sich f für x → −∞?
Erklärung: Für x < 0 ist f(x) = x·e^(2x) negativ, und e^(2x) wird für x → −∞ so klein, dass es den wachsenden Betrag von x überwiegt: f(x) → 0. Der Graph nähert sich der x-Achse also von unten. „→ −∞“ übersieht den Faktor e^(2x), „von oben“ das Vorzeichen von x.
Der Graph von f(x) = x²·eˣ hat für x → −∞ die waagerechte Asymptote y = 0.
Erklärung: Für x → −∞ gilt x²·eˣ → 0 (die e-Funktion wächst schneller als jede Potenz; hier nach links betrachtet). Die x-Achse ist die Asymptote.
Für x → +∞ nähert sich f(x) = x·eˣ ebenfalls der x-Achse.
Erklärung: Für große positive x wächst der Faktor eˣ noch schneller als jede Potenz: x·eˣ → +∞. Die x-Achse ist nur die Asymptote für x → −∞. (Bei x = 5 ist f(5) ≈ 742.)
Berechne f(−5) für f(x) = x·eˣ auf 0,001 genau.
Erklärung: f(−5) = −5·e⁻⁵ ≈ −5·0,00674 = −0,034. Der Wert liegt schon sehr nahe bei 0 und ist negativ.
Die Funktion f(x) = x²·eˣ − 3 hat für x → −∞ eine waagerechte Asymptote y = c. Bestimme c.
Erklärung: x²·eˣ → 0 für x → −∞, also f(x) → 0 − 3 = −3. Der Graph von x²·eˣ ist um 3 nach unten verschoben, und die Asymptote mit ihm.
Für f(x) = x·e^(−x) gilt f′(1) = 0 und f″(1) = −e⁻¹ ≈ −0,37. Welche Art von Extrempunkt liegt bei x = 1?
Erklärung: f″(1) < 0 bedeutet: Der Graph ist dort nach unten gekrümmt, also liegt ein Hochpunkt vor. Ein Tiefpunkt bräuchte f″ > 0, ein Sattelpunkt f″ = 0 (ohne Vorzeichenwechsel von f′).
Bei f(x) = x·eˣ wechselt f′(x) = (1 + x)·eˣ an der Stelle x = −1 das Vorzeichen von − nach +.
Erklärung: Für x < −1 ist 1 + x < 0, für x > −1 ist 1 + x > 0; eˣ ist immer positiv. Der Wechsel von − nach + bedeutet ein Minimum: T(−1 | −e⁻¹).
Berechne den Funktionswert im Tiefpunkt von f(x) = x·eˣ (bei x = −1) auf 0,01 genau.
Erklärung: f(−1) = −1·e⁻¹ = −1/e ≈ −0,37. Der Tiefpunkt ist T(−1 | −0,37).
Der Graph von f(x) = x·e^(−x) hat genau einen Hochpunkt. Bestimme seinen Funktionswert auf 0,01 genau.
Erklärung: f′(x) = (1 − x)·e^(−x) = 0 ⇒ x = 1. Dort wechselt f′ von + nach −. f(1) = 1·e⁻¹ = 1/e ≈ 0,37.
Untersuche f(x) = x·e^(−2x): Bestimme die Nullstelle, leite f zweimal ab, finde den Extrempunkt samt Art und begründe, welches Verhalten f für x → +∞ zeigt (Hinweis: x·e^(−2x) = x / e^(2x); eˣ wächst schneller als jede Potenz). Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Nullstelle x = 0; f′(x) = (1 − 2x)·e^(−2x) = 0 bei x = ½; f″(½) = −2/e < 0 ⇒ Hochpunkt (0,5 | 0,18); für x → +∞ gilt f(x) → 0.
Die Abbildung zeigt die Graphen von f_a(x) = e^(−a·x²) für a = 0,5, a = 1 und a = 3. Welche Kurve gehört zu a = 3?
Erklärung: Ein größeres a macht den Exponenten −a·x² schneller sehr negativ, die Kurve fällt schneller ab und wird schmaler. a = 3 gehört zur schmalsten Kurve C. Alle Kurven haben denselben Hochpunkt (0 | 1).
Der Graph von f_a(x) = e^(−a·x²) hat für a = 3 den Hochpunkt (0 | 3).
Erklärung: f_a(0) = e⁰ = 1 für jedes a: Der Hochpunkt ist (0 | 1). Ein größeres a macht die Glocke schmaler, ändert aber nicht ihre Höhe.
Die Wendestellen von f_a(x) = e^(−a·x²) liegen bei x = ±1/√(2a). Berechne die positive Wendestelle für a = 2.
Erklärung: x = 1/√(2·2) = 1/√4 = 1/2 = 0,5.
Für welches a liegt die positive Wendestelle von f_a(x) = e^(−a·x²) bei x = 0,25?
Erklärung: 1/√(2a) = 0,25 ⇒ √(2a) = 4 ⇒ 2a = 16 ⇒ a = 8. Je näher die Wendestelle an der y-Achse liegt, desto schmaler ist die Glocke, also desto größer a.