Verknüpfungen untersuchen

Analysing combinations

Mathematik Klasse 12 18 Aufgaben
AnalysisExponentiellExtremaFlexionAsymptoten

Verknüpfungen der e-Funktion mit ganzrationalen Termen werden systematisch untersucht: Nullstellen aus dem Nullprodukt (eˣ ist nie null), Grenzverhalten mit dem Wachstumsvergleich (x·eˣ → 0 für x → −∞, waagerechte Asymptote), Extrem- und Wendepunkte mit f′ und f″ sowie der Einfluss eines Parameters an der Schar e^(−a·x²). Der Abschnitt räumt aus, „x·eˣ → −∞ für x → −∞“ zu schließen und eˣ = 0 als Lösung zuzulassen. Er bereitet Sachkontexte mit Maximum und Grenzwert vor.

Nullstellen und Grenzverhalten

Wir untersuchen . Nullstelle: eˣ wird nie null, also entscheidet der Faktor x, und es gibt nur x = 0. Für x < 0 ist f negativ, für x > 0 positiv. Für x → +∞ wachsen beide Faktoren, f(x) → ∞. Für x → −∞ überwiegt eˣ das Wachstum von |x|: f(x) → 0, die x-Achse ist waagerechte Asymptote, der Graph nähert sich ihr von unten. Aus folgt: Bei x = −1 wechselt f′ das Vorzeichen von − nach +. Die zweite Ableitung bestätigt es mit f″(−1) = 1/e > 0: Dort liegt ein Tiefpunkt T(−1 | −1/e) ≈ (−1 | −0,37).

Liniendiagramm für x von −6 bis 1: Graph von f(x) = x·eˣ, unter der x-Achse für x < 0, mit Tiefpunkt bei x = −1 und der Annäherung an y = 0 für x → −∞ −1 0 1 2 3 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 y x y = 0
Graph von x·eˣ: unter der x-Achse für x < 0, Tiefpunkt bei x = −1, links Annäherung an y = 0.

Hochpunkt, Wendepunkte, Parameter

Für mit a > 0 gilt : Nur bei x = 0 ist null, und , unabhängig von a. Die zweite Ableitung ist null bei : Dort liegen die Wendepunkte in der Höhe ≈ 0,61. Ein größeres a macht die Glocke schmaler, der Hochpunkt (0 | 1) bleibt.

Verändere a und x₀: Wo liegen die Wendepunkte W, und was passiert mit f″(x₀), wenn P dort steht?

Voraussetzungen (1)

Regeln kombinieren
Klasse 12
›

Ermöglicht (1)

Wachstum und Abklingen
Klasse 12
›
Leicht
Multiple Choice #1 25s ▶ Testen

Welche Nullstelle hat f(x) = (x − 2)·eˣ?

  • ● x = 2
  • ○ keine, weil eˣ nie null wird
  • ○ x = −2
Ein Produkt ist null, wenn ein Faktor null ist. eˣ wird nie null, also entscheidet der Klammerfaktor: x − 2 = 0 gibt x = 2. Dass eˣ nie null wird, heißt nicht, dass f keine Nullstelle hat; x = −2 verwechselt das Vorzeichen.
Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Die Funktion f(x) = x²·e^(−x) hat genau die Nullstelle x = 0.

✓ Wahr
e^(−x) ist nie null, also bleibt x² = 0 mit der einzigen Lösung x = 0 (eine doppelte Nullstelle).
Multiple Choice #3 30s ▶ Testen

Die Abbildung zeigt f(x) = x·e^(2x) für x von −4 bis 0,5. Wie verhält sich f für x → −∞?

  • ● f(x) nähert sich 0 von unten
  • ○ f(x) fällt gegen −∞
  • ○ f(x) nähert sich 0 von oben
Für x < 0 ist f(x) = x·e^(2x) negativ, und e^(2x) wird für x → −∞ so klein, dass es den wachsenden Betrag von x überwiegt: f(x) → 0. Der Graph nähert sich der x-Achse also von unten. „→ −∞“ übersieht den Faktor e^(2x), „von oben“ das Vorzeichen von x.
Wahr / Falsch #4 15s ▶ Testen

Der Graph von f(x) = x²·eˣ hat für x → −∞ die waagerechte Asymptote y = 0.

✓ Wahr
Für x → −∞ gilt x²·eˣ → 0 (die e-Funktion wächst schneller als jede Potenz; hier nach links betrachtet). Die x-Achse ist die Asymptote.
Wahr / Falsch #5 15s ▶ Testen

Für x → +∞ nähert sich f(x) = x·eˣ ebenfalls der x-Achse.

✓ Falsch
Für große positive x wächst der Faktor eˣ noch schneller als jede Potenz: x·eˣ → +∞. Die x-Achse ist nur die Asymptote für x → −∞. (Bei x = 5 ist f(5) ≈ 742.)
Multiple Choice #6 30s ▶ Testen

Für f(x) = x·e^(−x) gilt f′(1) = 0 und f″(1) = −e⁻¹ ≈ −0,37. Welche Art von Extrempunkt liegt bei x = 1?

  • ● Hochpunkt
  • ○ Tiefpunkt
  • ○ Sattelpunkt
f″(1) < 0 bedeutet: Der Graph ist dort nach unten gekrümmt, also liegt ein Hochpunkt vor. Ein Tiefpunkt bräuchte f″ > 0, ein Sattelpunkt f″ = 0 (ohne Vorzeichenwechsel von f′).
Wahr / Falsch #7 15s ▶ Testen

Bei f(x) = x·eˣ wechselt f′(x) = (1 + x)·eˣ an der Stelle x = −1 das Vorzeichen von − nach +.

✓ Wahr
Für x < −1 ist 1 + x < 0, für x > −1 ist 1 + x > 0; eˣ ist immer positiv. Der Wechsel von − nach + bedeutet ein Minimum: T(−1 | −e⁻¹).
Multiple Choice #8 30s ▶ Testen

Die Abbildung zeigt die Graphen von f_a(x) = e^(−a·x²) für a = 0,5, a = 1 und a = 3. Welche Kurve gehört zu a = 3?

  • ● Kurve C
  • ○ Kurve A
  • ○ Kurve B
Ein größeres a macht den Exponenten −a·x² schneller sehr negativ, die Kurve fällt schneller ab und wird schmaler. a = 3 gehört zur schmalsten Kurve C. Alle Kurven haben denselben Hochpunkt (0 | 1).
Wahr / Falsch #9 15s ▶ Testen

Der Graph von f_a(x) = e^(−a·x²) hat für a = 3 den Hochpunkt (0 | 3).

✓ Falsch
f_a(0) = e⁰ = 1 für jedes a: Der Hochpunkt ist (0 | 1). Ein größeres a macht die Glocke schmaler, ändert aber nicht ihre Höhe.
Mittel
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Bestimme die Nullstelle von f(x) = (4 − x)·eˣ.

✓ Antwort: 4
eˣ ≠ 0, also 4 − x = 0 und x = 4.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Berechne f(−5) für f(x) = x·eˣ auf 0,001 genau.

✓ Antwort: -0.03369
f(−5) = −5·e⁻⁵ ≈ −5·0,00674 = −0,034. Der Wert liegt schon sehr nahe bei 0 und ist negativ.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Berechne den Funktionswert im Tiefpunkt von f(x) = x·eˣ (bei x = −1) auf 0,01 genau.

✓ Antwort: -0.367879
f(−1) = −1·e⁻¹ = −1/e ≈ −0,37. Der Tiefpunkt ist T(−1 | −0,37).
Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Die Wendestellen von f_a(x) = e^(−a·x²) liegen bei x = ±1/√(2a). Berechne die positive Wendestelle für a = 2.

✓ Antwort: 0.5
x = 1/√(2·2) = 1/√4 = 1/2 = 0,5.
Schwer
Zahleneingabe #1 45s ▶ Testen

Bestimme die Nullstelle von f(x) = 3·e^(2x) − 6 auf 0,01 genau.

✓ Antwort: 0.346574
3·e^(2x) = 6 ⇒ e^(2x) = 2 ⇒ 2x = ln 2 ⇒ x = (ln 2)/2 ≈ 0,35. Den Faktor 2 im Exponenten nicht vergessen: x = ln 2 ≈ 0,69 wäre falsch.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Die Funktion f(x) = x²·eˣ − 3 hat für x → −∞ eine waagerechte Asymptote y = c. Bestimme c.

✓ Antwort: -3
x²·eˣ → 0 für x → −∞, also f(x) → 0 − 3 = −3. Der Graph von x²·eˣ ist um 3 nach unten verschoben, und die Asymptote mit ihm.
Zahleneingabe #3 45s ▶ Testen

Der Graph von f(x) = x·e^(−x) hat genau einen Hochpunkt. Bestimme seinen Funktionswert auf 0,01 genau.

✓ Antwort: 0.367879
f′(x) = (1 − x)·e^(−x) = 0 ⇒ x = 1. Dort wechselt f′ von + nach −. f(1) = 1·e⁻¹ = 1/e ≈ 0,37.
KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Untersuche f(x) = x·e^(−2x): Bestimme die Nullstelle, leite f zweimal ab, finde den Extrempunkt samt Art und begründe, welches Verhalten f für x → +∞ zeigt (Hinweis: x·e^(−2x) = x / e^(2x); eˣ wächst schneller als jede Potenz). Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Nullstelle: x = 0 (e^(−2x) > 0). f′(x) = 1·e^(−2x) + x·(−2)e^(−2x) = (1 − 2x)·e^(−2x) = 0 ⇒ x = 1/2. f″(x) = −2e^(−2x) + (1 − 2x)(−2)e^(−2x) = (4x − 4)·e^(−2x); f″(1/2) = −2e⁻¹ < 0 ⇒ Hochpunkt H(0,5 | 0,5·e⁻¹ ≈ 0,18). Für x → +∞: x/e^(2x) → 0, weil die e-Funktion schneller wächst als jede Potenz: die x-Achse ist die Asymptote.
Nullstelle x = 0; f′(x) = (1 − 2x)·e^(−2x) = 0 bei x = ½; f″(½) = −2/e < 0 ⇒ Hochpunkt (0,5 | 0,18); für x → +∞ gilt f(x) → 0.
Zahleneingabe #5 45s ▶ Testen

Für welches a liegt die positive Wendestelle von f_a(x) = e^(−a·x²) bei x = 0,25?

✓ Antwort: 8
1/√(2a) = 0,25 ⇒ √(2a) = 4 ⇒ 2a = 16 ⇒ a = 8. Je näher die Wendestelle an der y-Achse liegt, desto schmaler ist die Glocke, also desto größer a.