Wachstum und Abklingen
Ein Bestand wird durch N(t) = 200·e^(0,5t) beschrieben (t in Stunden). Wie schnell wÀchst er zum Zeitpunkt t = 0?
ErklĂ€rung: NâČ(t) = 0,5·200·e^(0,5t) = 100·e^(0,5t), also NâČ(0) = 100 pro Stunde. 200 ist der Bestand, nicht die Ănderungsrate; 0,5 ist nur der Faktor k.
Die Abbildung zeigt drei Bestandskurven. Welche gehört zu N(t) = 3·e^(â0,3t)?
ErklĂ€rung: N(0) = 3·eâ° = 3, und wegen k = â0,3 < 0 sinkt der Bestand: Abklingen. Kurve B startet bei 3 und fĂ€llt. Kurve A startet ebenfalls bei 3, steigt aber (k = +0,3); Kurve C steigt und startet erst bei 1,5.
FĂŒr N(t) = 200·e^(0,5t) ist NâČ(t) = 100·e^(0,5t). Berechne NâČ(2) auf 0,1 genau.
ErklĂ€rung: NâČ(2) = 100·eÂč â 271,8 pro Stunde. Zum selben Zeitpunkt ist N(2) = 200·e â 543,7: Die Rate ist 0,5 mal der Bestand.
Ein Bestand wĂ€chst nach N(t) = Nâ·e^(0,5t) (t in Stunden). Nach wie vielen Stunden hat er sich verdoppelt? Gib das Ergebnis auf 0,01 genau an.
ErklĂ€rung: Nâ·e^(0,5t) = 2Nâ â e^(0,5t) = 2 â 0,5t = ln 2 â t = (ln 2)/0,5 â 1,39 Stunden. Der Anfangsbestand Nâ kĂŒrzt sich heraus.
Ein Wirkstoff halbiert sich alle 6 Stunden. Welcher Ansatz beschreibt den Bestand N(t) (t in Stunden)?
ErklĂ€rung: Nach 6 Stunden muss e^(6k) = Âœ gelten, also k = â(ln 2)/6 â â0,1155. e^(â6t) fĂ€llt viel zu schnell (nach 1 h nur noch 0,25 %), und e^(ât/6) halbiert schon nach 6·ln 2 â 4,2 Stunden.
Bei N(t) = Nâ·e^(â0,1155·t) (t in Stunden) ist der Bestand nach 6 Stunden ungefĂ€hr halb so groĂ wie am Anfang.
ErklĂ€rung: e^(â0,1155·6) = e^(â0,693) â 0,5, denn ln 2 â 0,693. Die Halbwertszeit ist (ln 2)/0,1155 â 6 Stunden.
Eine Kultur wÀchst von 200 auf 500 in 4 Stunden. Aus 500 = 200·e^(4k) folgt e^(4k) = 2,5. Bestimme k auf 0,001 genau.
ErklĂ€rung: 4k = ln 2,5 â 0,916, also k = 0,916/4 â 0,229 pro Stunde. Ein Fehler wĂ€re k = ln 2,5 â 0,92 (Faktor 4 im Exponenten vergessen).
Die Konzentration eines Wirkstoffs sinkt von 8 mg/l auf 5 mg/l in 4 Stunden nach c(t) = 8·e^(kt). Bestimme k auf 0,001 genau.
ErklĂ€rung: 5 = 8·e^(4k) â e^(4k) = 0,625 â 4k = ln 0,625 â â0,470 â k â â0,1175 pro Stunde. Das Vorzeichen ist negativ, weil die Konzentration abklingt.
Die Konzentration eines anderen Medikaments folgt c(t) = 3t·e^(â0,2t) (t in Stunden, c in mg/l). Wann ist sie am höchsten?
ErklĂ€rung: câČ(t) = 3·e^(â0,2t) + 3t·(â0,2)e^(â0,2t) = 3·(1 â 0,2t)·e^(â0,2t) ist null bei t = 5. Die Zahlen 0,2 (= k) und 3 (= a) sind typische Verwechslungen: Das Maximum liegt bei 1/k.
Bei c(t) = 3t·e^(â0,2t) ist die Konzentration zu Beginn (t = 0) am höchsten.
ErklÀrung: c(0) = 3·0·eⰠ= 0: Vor der Einnahme ist noch kein Wirkstoff im Blut. Die Konzentration steigt erst und erreicht ihr Maximum bei t = 5 Stunden.
Das Maximum von c(t) = 3t·e^(â0,2t) liegt bei t = 5. Berechne die maximale Konzentration in mg/l auf 0,01 genau.
ErklĂ€rung: c(5) = 3·5·eâ»Âč = 15/e â 5,52 mg/l.
FĂŒr ein anderes Medikament gilt c(t) = 6t·e^(â0,25t). Zu welchem Zeitpunkt (in Stunden) ist die Konzentration am höchsten?
ErklĂ€rung: câČ(t) = 6·(1 â 0,25t)·e^(â0,25t) = 0 â t = 1/0,25 = 4 Stunden.
Die Konzentration eines Medikaments im Blut folgt c(t) = 5t·e^(â0,4t) (t in Stunden, c in mg/l). Bestimme mit der Ableitung den Zeitpunkt der höchsten Konzentration und diesen Wert (auf 0,01 genau). Deute auĂerdem c(0) und c(24) (auf 0,001 genau) im Sachzusammenhang. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
ErklĂ€rung: Maximum bei t = 2,5 h mit c â 4,60 mg/l; c(0) = 0 (noch nichts im Blut), c(24) â 0,008 mg/l (praktisch abgebaut).
Das Modell N(t) = 500·e^(0,3t) beschreibt eine Bakterienkultur. FĂŒr t = 100 Stunden liefert es N(100) = 500·e^(30) â 5·10Âčâ”. Wie ist das Ergebnis zu bewerten?
ErklĂ€rung: Exponentielles Wachstum kennt keine Grenze, in der Wirklichkeit begrenzen Platz und Nahrung den Bestand. Das Modell taugt fĂŒr den Anfang, nicht fĂŒr 100 Stunden. Dass es anfangs zu den Messungen passt, beweist nicht, dass es fĂŒr immer gilt, und e^(30) ist zwar eine endliche, aber eine riesige Zahl.
Die Abbildung zeigt c(t) = 3t·e^(â0,2t). Wie ist der Wert c(0) = 0 zu deuten?
ErklÀrung: c(0) = 0 passt zum Sachverhalt: Das Medikament muss erst aufgenommen werden, die Konzentration steigt dann bis t = 5 h auf ihr Maximum. Fehlerhaft ist das Modell dadurch nicht.
Beim Modell c(t) = 3t·e^(â0,2t) ist die Konzentration nach 60 Stunden mit etwa 0,001 mg/l praktisch null.
ErklĂ€rung: c(60) = 3·60·e^(â12) = 180·6,14·10â»â¶ â 0,0011 mg/l. Die e-Funktion e^(â0,2t) siegt fĂŒr groĂe t ĂŒber den Faktor t: c(t) â 0.
Berechne c(20) fĂŒr c(t) = 3t·e^(â0,2t) auf 0,01 genau (in mg/l).
ErklĂ€rung: c(20) = 60·eâ»âŽ â 60·0,0183 = 1,10 mg/l: Nach 20 Stunden ist nur noch etwa ein FĂŒnftel der Höchstkonzentration von 5,52 mg/l vorhanden.
Ein Wirkstoff klingt nach c(t) = 8·e^(â(ln 2 / 6)·t) ab (t in Stunden, c in mg/l). Nach wie vielen Stunden liegt die Konzentration bei 1 mg/l?
ErklĂ€rung: 8·e^(â(ln 2/6)·t) = 1 â e^(â(ln 2/6)·t) = 1/8 â (ln 2/6)·t = ln 8 = 3·ln 2 â t = 18. Es sind drei Halbwertszeiten: 8 â 4 â 2 â 1 mg/l in 3·6 = 18 Stunden.