Wachstum und Abklingen

Growth and decay

Mathematik Klasse 12 18 Aufgaben

AnalysisExponentiellModellierenWachstumsmodelleAnwendungen

Im Sachkontext beschreibt N(t) = N₀·e^(kt) Wachstum (k > 0) und Abklingen (k < 0); die Kettenregel liefert N′ = k·N: Die Änderungsrate ist proportional zum Bestand. Die Konstante k folgt aus zwei Messwerten oder der Halbwertszeit (k = −ln 2 / T). Ein Produktmodell a·t·e^(−kt) beschreibt ein Medikament, das erst steigt und dann abklingt, mit dem Maximum bei t = 1/k. Der Abschnitt räumt aus, Rate und Bestand zu verwechseln, und lässt Ergebnisse im Kontext und an den Modellgrenzen bewerten. Er bereitet Anwendungen in Jahrgangsstufe 13 vor.

Das Modell

Ist die Änderungsrate eines Bestands proportional zum Bestand, passt $N (t) = N_{0} \cdot e^{k t}$ mit dem Anfangsbestand N₀ und der Konstante k. Die Kettenregel liefert

$N^{'} (t) = k \cdot N (t)$

Wer den Bestand kennt, kennt die Änderungsrate. Für k > 0 wächst der Bestand, für k < 0 klingt er ab. Beispiel: N(t) = 500· $e^{0, 3 t}$ mit t in Stunden hat N(4) ≈ 1660 und N′(4) ≈ 498 je Stunde; verdoppelt ist der Bestand nach (ln 2)/0,3 ≈ 2,31 Stunden. Die Konstante k folgt aus Messwerten: Wächst ein Bestand von 500 auf 800 in 3 Stunden, gilt $e^{3 k}$ = 1,6 und k = (ln 1,6)/3 ≈ 0,157. Bei der Halbwertszeit T ist k = −(ln 2)/T.

Verändere N₀, k und t₀ (N in Tausend, t in Stunden) und vergleiche N′(t₀) mit k·N(t₀).

Ein Medikament

Nach dem Einnehmen steigt die Konzentration im Blut erst an und sinkt dann wieder: $c (t) = 4 t \cdot e^{- 0, 5 t}$ (t in Stunden, c in mg/l). Produkt- und Kettenregel geben $c^{'} (t) = 4 (1 - 0, 5 t) e^{- 0, 5 t}$ ; null wird das bei t = 2, dort liegt das Maximum 8/e ≈ 2,94 mg/l. Allgemein hat a·t· $e^{- k t}$ sein Maximum bei t = 1/k. Der Wert c(0) = 0 passt: Vor der Einnahme ist nichts im Blut. Nach 30 Stunden ist praktisch nichts mehr da. Ein Modell gilt nur in seinem Bereich: N₀· $e^{k t}$ wüchse unbegrenzt.

Konzentration c(t) = 4t·

e^{- 0, 5 t}

: Anstieg bis t = 2, dann langsamer Abbau.

Voraussetzungen (1)

Verknüpfungen untersuchen

Klasse 12

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Leicht

Multiple Choice #1 30s ▶ Testen

Ein Bestand wird durch N(t) = 200·e^(0,5t) beschrieben (t in Stunden). Wie schnell wächst er zum Zeitpunkt t = 0?

● 100 pro Stunde
○ 200 pro Stunde
○ 0,5 pro Stunde

N′(t) = 0,5·200·e^(0,5t) = 100·e^(0,5t), also N′(0) = 100 pro Stunde. 200 ist der Bestand, nicht die Änderungsrate; 0,5 ist nur der Faktor k.

Multiple Choice #2 30s ▶ Testen

Die Abbildung zeigt drei Bestandskurven. Welche gehört zu N(t) = 3·e^(−0,3t)?

● Kurve B
○ Kurve A
○ Kurve C

N(0) = 3·e⁰ = 3, und wegen k = −0,3 < 0 sinkt der Bestand: Abklingen. Kurve B startet bei 3 und fällt. Kurve A startet ebenfalls bei 3, steigt aber (k = +0,3); Kurve C steigt und startet erst bei 1,5.

Multiple Choice #3 30s ▶ Testen

Ein Wirkstoff halbiert sich alle 6 Stunden. Welcher Ansatz beschreibt den Bestand N(t) (t in Stunden)?

● N(t) = N₀·e^(−(ln 2 / 6)·t)
○ N(t) = N₀·e^(−6t)
○ N(t) = N₀·e^(−t/6)

Nach 6 Stunden muss e^(6k) = ½ gelten, also k = −(ln 2)/6 ≈ −0,1155. e^(−6t) fällt viel zu schnell (nach 1 h nur noch 0,25 %), und e^(−t/6) halbiert schon nach 6·ln 2 ≈ 4,2 Stunden.

Wahr / Falsch #4 15s ▶ Testen

Bei N(t) = N₀·e^(−0,1155·t) (t in Stunden) ist der Bestand nach 6 Stunden ungefähr halb so groß wie am Anfang.

✓ Wahr

e^(−0,1155·6) = e^(−0,693) ≈ 0,5, denn ln 2 ≈ 0,693. Die Halbwertszeit ist (ln 2)/0,1155 ≈ 6 Stunden.

Multiple Choice #5 30s ▶ Testen

Die Konzentration eines anderen Medikaments folgt c(t) = 3t·e^(−0,2t) (t in Stunden, c in mg/l). Wann ist sie am höchsten?

● t = 5 Stunden
○ t = 0,2 Stunden
○ t = 3 Stunden

c′(t) = 3·e^(−0,2t) + 3t·(−0,2)e^(−0,2t) = 3·(1 − 0,2t)·e^(−0,2t) ist null bei t = 5. Die Zahlen 0,2 (= k) und 3 (= a) sind typische Verwechslungen: Das Maximum liegt bei 1/k.

Wahr / Falsch #6 15s ▶ Testen

Bei c(t) = 3t·e^(−0,2t) ist die Konzentration zu Beginn (t = 0) am höchsten.

✓ Falsch

c(0) = 3·0·e⁰ = 0: Vor der Einnahme ist noch kein Wirkstoff im Blut. Die Konzentration steigt erst und erreicht ihr Maximum bei t = 5 Stunden.

Multiple Choice #7 30s ▶ Testen

Das Modell N(t) = 500·e^(0,3t) beschreibt eine Bakterienkultur. Für t = 100 Stunden liefert es N(100) = 500·e^(30) ≈ 5·10¹⁵. Wie ist das Ergebnis zu bewerten?

● unrealistisch: das Modell wächst ohne Grenze und gilt nur für kleine t
○ realistisch, denn e^(30) ist nur eine endliche Zahl
○ realistisch, denn das Modell stimmt am Anfang mit den Messungen überein

Exponentielles Wachstum kennt keine Grenze, in der Wirklichkeit begrenzen Platz und Nahrung den Bestand. Das Modell taugt für den Anfang, nicht für 100 Stunden. Dass es anfangs zu den Messungen passt, beweist nicht, dass es für immer gilt, und e^(30) ist zwar eine endliche, aber eine riesige Zahl.

Multiple Choice #8 30s ▶ Testen

Die Abbildung zeigt c(t) = 3t·e^(−0,2t). Wie ist der Wert c(0) = 0 zu deuten?

● Im Moment der Einnahme ist noch kein Wirkstoff im Blut
○ Die Konzentration ist zu Beginn am höchsten
○ Das Modell ist fehlerhaft, weil c(0) nicht positiv ist

c(0) = 0 passt zum Sachverhalt: Das Medikament muss erst aufgenommen werden, die Konzentration steigt dann bis t = 5 h auf ihr Maximum. Fehlerhaft ist das Modell dadurch nicht.

Wahr / Falsch #9 15s ▶ Testen

Beim Modell c(t) = 3t·e^(−0,2t) ist die Konzentration nach 60 Stunden mit etwa 0,001 mg/l praktisch null.

✓ Wahr

c(60) = 3·60·e^(−12) = 180·6,14·10⁻⁶ ≈ 0,0011 mg/l. Die e-Funktion e^(−0,2t) siegt für große t über den Faktor t: c(t) → 0.

Mittel

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Für N(t) = 200·e^(0,5t) ist N′(t) = 100·e^(0,5t). Berechne N′(2) auf 0,1 genau.

✓ Antwort: 271.828183

N′(2) = 100·e¹ ≈ 271,8 pro Stunde. Zum selben Zeitpunkt ist N(2) = 200·e ≈ 543,7: Die Rate ist 0,5 mal der Bestand.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Eine Kultur wächst von 200 auf 500 in 4 Stunden. Aus 500 = 200·e^(4k) folgt e^(4k) = 2,5. Bestimme k auf 0,001 genau.

✓ Antwort: 0.229073

4k = ln 2,5 ≈ 0,916, also k = 0,916/4 ≈ 0,229 pro Stunde. Ein Fehler wäre k = ln 2,5 ≈ 0,92 (Faktor 4 im Exponenten vergessen).

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Das Maximum von c(t) = 3t·e^(−0,2t) liegt bei t = 5. Berechne die maximale Konzentration in mg/l auf 0,01 genau.

✓ Antwort: 5.518192

c(5) = 3·5·e⁻¹ = 15/e ≈ 5,52 mg/l.

Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Berechne c(20) für c(t) = 3t·e^(−0,2t) auf 0,01 genau (in mg/l).

✓ Antwort: 1.098938

c(20) = 60·e⁻⁴ ≈ 60·0,0183 = 1,10 mg/l: Nach 20 Stunden ist nur noch etwa ein Fünftel der Höchstkonzentration von 5,52 mg/l vorhanden.

Schwer

Zahleneingabe #1 40s ▶ Testen

Ein Bestand wächst nach N(t) = N₀·e^(0,5t) (t in Stunden). Nach wie vielen Stunden hat er sich verdoppelt? Gib das Ergebnis auf 0,01 genau an.

✓ Antwort: 1.386294

N₀·e^(0,5t) = 2N₀ ⇒ e^(0,5t) = 2 ⇒ 0,5t = ln 2 ⇒ t = (ln 2)/0,5 ≈ 1,39 Stunden. Der Anfangsbestand N₀ kürzt sich heraus.

Zahleneingabe #2 45s ▶ Testen

Die Konzentration eines Wirkstoffs sinkt von 8 mg/l auf 5 mg/l in 4 Stunden nach c(t) = 8·e^(kt). Bestimme k auf 0,001 genau.

✓ Antwort: -0.117501

5 = 8·e^(4k) ⇒ e^(4k) = 0,625 ⇒ 4k = ln 0,625 ≈ −0,470 ⇒ k ≈ −0,1175 pro Stunde. Das Vorzeichen ist negativ, weil die Konzentration abklingt.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Für ein anderes Medikament gilt c(t) = 6t·e^(−0,25t). Zu welchem Zeitpunkt (in Stunden) ist die Konzentration am höchsten?

✓ Antwort: 4

c′(t) = 6·(1 − 0,25t)·e^(−0,25t) = 0 ⇒ t = 1/0,25 = 4 Stunden.

KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Die Konzentration eines Medikaments im Blut folgt c(t) = 5t·e^(−0,4t) (t in Stunden, c in mg/l). Bestimme mit der Ableitung den Zeitpunkt der höchsten Konzentration und diesen Wert (auf 0,01 genau). Deute außerdem c(0) und c(24) (auf 0,001 genau) im Sachzusammenhang. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: c′(t) = 5·e^(−0,4t) + 5t·(−0,4)e^(−0,4t) = 5·(1 − 0,4t)·e^(−0,4t) = 0 ⇔ t = 2,5. Vorzeichenwechsel von + nach −: Maximum. c(2,5) = 12,5·e⁻¹ ≈ 4,60 mg/l. c(0) = 0: vor der Einnahme ist kein Wirkstoff im Blut. c(24) = 120·e^(−9,6) ≈ 0,008 mg/l: nach einem Tag ist der Wirkstoff praktisch abgebaut.

Maximum bei t = 2,5 h mit c ≈ 4,60 mg/l; c(0) = 0 (noch nichts im Blut), c(24) ≈ 0,008 mg/l (praktisch abgebaut).

Zahleneingabe #5 45s ▶ Testen

Ein Wirkstoff klingt nach c(t) = 8·e^(−(ln 2 / 6)·t) ab (t in Stunden, c in mg/l). Nach wie vielen Stunden liegt die Konzentration bei 1 mg/l?

✓ Antwort: 18

8·e^(−(ln 2/6)·t) = 1 ⇒ e^(−(ln 2/6)·t) = 1/8 ⇒ (ln 2/6)·t = ln 8 = 3·ln 2 ⇒ t = 18. Es sind drei Halbwertszeiten: 8 → 4 → 2 → 1 mg/l in 3·6 = 18 Stunden.