Abstand im Koordinatensystem
Der Abstand von P(2 | 1) und Q(14 | 6) soll mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden. Welche Längen haben die beiden Katheten?
Erklärung: Die Katheten sind die Unterschiede der Koordinaten: waagerecht 14 − 2 = 12, senkrecht 6 − 1 = 5. 14 und 6 sind die Koordinaten von Q selbst, 16 und 7 die Summen 2 + 14 und 1 + 6.
Die Punkte A(2 | 5) und B(9 | 5) haben dieselbe y-Koordinate. Wie weit sind sie voneinander entfernt?
Erklärung: Beide liegen auf einer waagerechten Linie: Der Abstand ist der Unterschied der x-Koordinaten, 9 − 2 = 7. 11 ist die Summe 2 + 9, 9 die größere Koordinate.
Die Punkte P(1 | 2) und Q(7 | 10) haben den Abstand 14.
Erklärung: 6 + 8 = 14 addiert die beiden Katheten (Δx = 6, Δy = 8) – das wäre der Weg entlang der Gitterlinien. Die Luftlinie ist die Hypotenuse: √(36 + 64) = 10.
Für P(1 | 3) und Q(9 | 18) ist Δy = y_Q − y_P. Wie groß ist Δy?
Erklärung: Δy = 18 − 3 = 15.
Die Ecken A(1 | 2), B(13 | 7) und C(13 | 2) bilden ein rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel bei C. Wie groß ist sein Umfang?
Erklärung: AC = 13 − 1 = 12, BC = 7 − 2 = 5, AB = √(12² + 5²) = √169 = 13. Umfang: 12 + 5 + 13 = 30.
Welche Rechnung liefert den Abstand der Punkte A(4 | 1) und B(9 | 13)?
Erklärung: Katheten: Δx = 9 − 4 = 5 und Δy = 13 − 1 = 12. Abstand = √(25 + 144) = √169 = 13. 5 + 12 addiert die Katheten, √(9² + 13²) verwendet die Koordinaten von B statt der Unterschiede.
Wie groß ist der Abstand der Punkte P(2 | 3) und Q(20 | 27)?
Erklärung: Δx = 18, Δy = 24: d² = 324 + 576 = 900, d = √900 = 30. 42 = 18 + 24 ist die Summe der Katheten, 900 ist das Quadrat ohne Wurzel.
Der Abstand der Punkte P(1 | 1) und Q(4 | 5) ist 5.
Erklärung: Δx = 3, Δy = 4: d = √(9 + 16) = √25 = 5.
Wie groß ist der Abstand des Punktes P(12 | 35) vom Koordinatenursprung O(0 | 0)?
Erklärung: Δx = 12, Δy = 35: d = √(144 + 1225) = √1369 = 37.
Wie groß ist der Abstand der Punkte P(1 | 1) und Q(4 | 6) (auf 0,01 genau)?
Erklärung: Δx = 3, Δy = 5: d = √(9 + 25) = √34 ≈ 5,831, gerundet 5,83.
Die Punkte P(−3 | 2) und Q(4 | 6) liegen wie im Bild. Wie lang ist die waagerechte Kathete?
Erklärung: Δx = 4 − (−3) = 4 + 3 = 7. Das Minuszeichen zu übersehen ergäbe 4 − 3 = 1, und 4 ist nur die x-Koordinate von Q.
Wie lang ist die senkrechte Kathete zwischen A(2 | −5) und B(6 | 3)?
Erklärung: Δy = 3 − (−5) = 8. Wer die Vorzeichen vergisst, rechnet 5 − 3 = 2; 15 wäre das Produkt 3 · 5.
Für P(−2 | −3) und Q(4 | 5) ist Δx = 2 und Δy = 2.
Erklärung: Δx = 4 − (−2) = 6 und Δy = 5 − (−3) = 8. Die Werte 2 und 2 entstehen, wenn man die Vorzeichen ignoriert (4 − 2 und 5 − 3).
Wie groß ist der Abstand der Punkte P(−5 | −2) und Q(7 | 3)?
Erklärung: Δx = 7 − (−5) = 12, Δy = 3 − (−2) = 5: d = √(144 + 25) = √169 = 13.
Wie groß ist der Abstand der Punkte A(−6 | 3) und B(2 | −5) (auf 0,1 genau)?
Erklärung: Δx = 2 − (−6) = 8, Δy = −5 − 3 = −8. Quadriert ist das Vorzeichen egal: d = √(64 + 64) = √128 ≈ 11,31, gerundet 11,3.
Auf einem Stadtplan mit Koordinatengitter (1 Einheit = 100 m) liegt die Schule bei S(−3 | −1) und der Bahnhof bei B(6 | 11). Zeichne ein Koordinatensystem mit dem Steigungsdreieck (Skizze) und berechne die Luftlinie in Metern.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Δx = 9, Δy = 12, d = √225 = 15 Einheiten = 1500 m.