Abstand im Koordinatensystem

Distance in the Coordinate Plane

Mathematik Klasse 9 16 Aufgaben
GeometrieSatz des PythagorasAbstandKoordinatensystem

Zwei Punkte im Koordinatensystem spannen ein rechtwinkliges Dreieck auf: Die Katheten sind die Koordinatenunterschiede Δx und Δy, der Abstand ist die Hypotenuse, d = √(Δx² + Δy²). Räumt drei Fehler aus: die Koordinaten selbst statt der Unterschiede einsetzen, die Katheten addieren (der Weg entlang der Gitterlinien) und Vorzeichen falsch behandeln, etwa 4 − (−3). Bereitet die Kreisgleichung und die Länge von Vektoren in den höheren Jahrgangsstufen vor.

Im Koordinatensystem liegen und . Wie weit sind sie voneinander entfernt? Zwischen zwei Punkten ist kein rechtwinkliges Dreieck gezeichnet; man muss es erst finden. Zeichne durch P eine waagerechte Linie – auf ihr ist überall y = 1 – und durch Q eine senkrechte – auf ihr ist überall x = 4. Sie treffen sich in , und weil waagerecht und senkrecht aufeinander stehen, ist PRQ ein rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel bei R.

Ziehe Q. Welche Koordinate hat R immer mit P gemeinsam, welche mit Q?

Die Katheten sind die Koordinatenunterschiede. Den Unterschied der x-Koordinaten schreibt man Δx (gesprochen „Delta x“), den der y-Koordinaten Δy:

Der Abstand ist die Hypotenuse: . Heißen die Punkte allgemein und , dann ist und , also

Ziehe Q oder nutze die Regler. Wie entstehen Δx und Δy aus den Koordinaten – und wann ist d genau Δx?

Man setzt die Unterschiede ein, nicht die Koordinaten selbst. Bei negativen Koordinaten hilft die Klammer: , nicht 2. Die Summe 6 + 4 = 10 wäre der Weg entlang der Gitterlinien, nicht die Luftlinie.

Ein Sonderfall: Zieht man Q auf die Höhe y = 1, liegen P und Q auf einer waagerechten Linie. Dann ist und der Abstand einfach . Man braucht den Satz des Pythagoras dann nicht – er liefert aber dasselbe Ergebnis: .

Voraussetzungen (2)

Die Hypotenuse berechnen
Klasse 9
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Punkte im Koordinatensystem
Klasse 5
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Leicht
Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Der Abstand von P(2 | 1) und Q(14 | 6) soll mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden. Welche Längen haben die beiden Katheten?

  • ○ 14 und 6
  • ● 12 und 5
  • ○ 16 und 7
Die Katheten sind die Unterschiede der Koordinaten: waagerecht 14 − 2 = 12, senkrecht 6 − 1 = 5. 14 und 6 sind die Koordinaten von Q selbst, 16 und 7 die Summen 2 + 14 und 1 + 6.
Multiple Choice #2 20s ▶ Testen

Die Punkte A(2 | 5) und B(9 | 5) haben dieselbe y-Koordinate. Wie weit sind sie voneinander entfernt?

  • ● 7
  • ○ 9
  • ○ 11
Beide liegen auf einer waagerechten Linie: Der Abstand ist der Unterschied der x-Koordinaten, 9 − 2 = 7. 11 ist die Summe 2 + 9, 9 die größere Koordinate.
Wahr / Falsch #3 15s ▶ Testen

Die Punkte P(1 | 2) und Q(7 | 10) haben den Abstand 14.

✓ Falsch
6 + 8 = 14 addiert die beiden Katheten (Δx = 6, Δy = 8) – das wäre der Weg entlang der Gitterlinien. Die Luftlinie ist die Hypotenuse: √(36 + 64) = 10.
Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Welche Rechnung liefert den Abstand der Punkte A(4 | 1) und B(9 | 13)?

  • ○ 5 + 12
  • ● √(5² + 12²)
  • ○ √(9² + 13²)
Katheten: Δx = 9 − 4 = 5 und Δy = 13 − 1 = 12. Abstand = √(25 + 144) = √169 = 13. 5 + 12 addiert die Katheten, √(9² + 13²) verwendet die Koordinaten von B statt der Unterschiede.
Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Wie groß ist der Abstand der Punkte P(2 | 3) und Q(20 | 27)?

  • ● 30
  • ○ 42
  • ○ 900
Δx = 18, Δy = 24: d² = 324 + 576 = 900, d = √900 = 30. 42 = 18 + 24 ist die Summe der Katheten, 900 ist das Quadrat ohne Wurzel.
Wahr / Falsch #6 15s ▶ Testen

Der Abstand der Punkte P(1 | 1) und Q(4 | 5) ist 5.

✓ Wahr
Δx = 3, Δy = 4: d = √(9 + 16) = √25 = 5.
Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Die Punkte P(−3 | 2) und Q(4 | 6) liegen wie im Bild. Wie lang ist die waagerechte Kathete?

  • ○ 1
  • ○ 4
  • ● 7
Δx = 4 − (−3) = 4 + 3 = 7. Das Minuszeichen zu übersehen ergäbe 4 − 3 = 1, und 4 ist nur die x-Koordinate von Q.
Multiple Choice #8 20s ▶ Testen

Wie lang ist die senkrechte Kathete zwischen A(2 | −5) und B(6 | 3)?

  • ○ 2
  • ● 8
  • ○ 15
Δy = 3 − (−5) = 8. Wer die Vorzeichen vergisst, rechnet 5 − 3 = 2; 15 wäre das Produkt 3 · 5.
Wahr / Falsch #9 15s ▶ Testen

Für P(−2 | −3) und Q(4 | 5) ist Δx = 2 und Δy = 2.

✓ Falsch
Δx = 4 − (−2) = 6 und Δy = 5 − (−3) = 8. Die Werte 2 und 2 entstehen, wenn man die Vorzeichen ignoriert (4 − 2 und 5 − 3).
Mittel
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Für P(1 | 3) und Q(9 | 18) ist Δy = y_Q − y_P. Wie groß ist Δy?

✓ Antwort: 15
Δy = 18 − 3 = 15.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Wie groß ist der Abstand des Punktes P(12 | 35) vom Koordinatenursprung O(0 | 0)?

✓ Antwort: 37
Δx = 12, Δy = 35: d = √(144 + 1225) = √1369 = 37.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Wie groß ist der Abstand der Punkte P(−5 | −2) und Q(7 | 3)?

✓ Antwort: 13
Δx = 7 − (−5) = 12, Δy = 3 − (−2) = 5: d = √(144 + 25) = √169 = 13.
Schwer
Zahleneingabe #1 45s ▶ Testen

Die Ecken A(1 | 2), B(13 | 7) und C(13 | 2) bilden ein rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel bei C. Wie groß ist sein Umfang?

✓ Antwort: 30
AC = 13 − 1 = 12, BC = 7 − 2 = 5, AB = √(12² + 5²) = √169 = 13. Umfang: 12 + 5 + 13 = 30.
Zahleneingabe #2 40s ▶ Testen

Wie groß ist der Abstand der Punkte P(1 | 1) und Q(4 | 6) (auf 0,01 genau)?

✓ Antwort: 5.83
Δx = 3, Δy = 5: d = √(9 + 25) = √34 ≈ 5,831, gerundet 5,83.
Zahleneingabe #3 45s ▶ Testen

Wie groß ist der Abstand der Punkte A(−6 | 3) und B(2 | −5) (auf 0,1 genau)?

✓ Antwort: 11.3
Δx = 2 − (−6) = 8, Δy = −5 − 3 = −8. Quadriert ist das Vorzeichen egal: d = √(64 + 64) = √128 ≈ 11,31, gerundet 11,3.
KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Auf einem Stadtplan mit Koordinatengitter (1 Einheit = 100 m) liegt die Schule bei S(−3 | −1) und der Bahnhof bei B(6 | 11). Zeichne ein Koordinatensystem mit dem Steigungsdreieck (Skizze) und berechne die Luftlinie in Metern. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Skizze mit S, B und der Ecke (6 | −1). Δx = 6 − (−3) = 9, Δy = 11 − (−1) = 12. d = √(9² + 12²) = √225 = 15 Einheiten, also 1500 m.
Δx = 9, Δy = 12, d = √225 = 15 Einheiten = 1500 m.