Ein Beweis durch Zerlegen
Ein Satz lautet: „Wenn ein Viereck ein Quadrat ist, dann sind alle seine Seiten gleich lang.“ Welcher Teil ist die Voraussetzung?
Erklärung: Die Voraussetzung steht nach „Wenn“: das wird angenommen. Was daraus folgt („alle Seiten gleich lang“), ist die Behauptung. Dass ein Viereck vier Ecken hat, steht gar nicht im Satz.
Der Satz lautet: „Wenn ein Dreieck rechtwinklig ist, dann gilt a² + b² = c².“ Welcher Teil ist die Behauptung?
Erklärung: Die Behauptung steht nach „dann“: a² + b² = c². Der rechte Winkel ist die Voraussetzung.
Im Satz „Wenn eine Zahl durch 6 teilbar ist, dann ist sie gerade“ ist „Die Zahl ist durch 6 teilbar“ die Voraussetzung.
Erklärung: Nach „Wenn“ steht die Voraussetzung: durch 6 teilbar. Die Behauptung „gerade“ folgt daraus.
Im Satz „Wenn ein Dreieck gleichseitig ist, dann hat es drei gleich große Winkel“ heißt der Teil „es hat drei gleich große Winkel“ die ___.
Erklärung: Was nach „dann“ folgt und bewiesen werden soll, heißt Behauptung.
Der Satz lautet: „Wenn ein Dreieck rechtwinklig ist, dann gilt a² + b² = c².“ Ein Dreieck ist rechtwinklig mit den Katheten a = 9 cm und b = 12 cm. Wie groß ist c² (in cm²)?
Erklärung: Die Voraussetzung (rechtwinklig) ist erfüllt, also gilt die Behauptung: c² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225 cm².
Ein Quadrat der Seite a + b ist in vier gleiche rechtwinklige Dreiecke und weitere Flächen zerlegt (Bild). Woraus besteht die Zerlegung?
Erklärung: In jeder Ecke des großen Quadrats liegt ein Dreieck; in der Mitte bleibt ein einziges schiefes Quadrat übrig. Zwei Quadrate entstehen erst bei der anderen Anordnung.
Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Katheten 4 cm und 6 cm. Welchen Flächeninhalt hat es?
Erklärung: Fläche = ½ · a · b = ½ · 4 · 6 = 12 cm². 24 ist das ganze Rechteck (ohne ½), 10 die Summe der Katheten.
Für a = 3 und b = 4 gilt (a + b)² = a² + b².
Erklärung: (3 + 4)² = 7² = 49, aber 3² + 4² = 9 + 16 = 25. Es fehlen die beiden Rechtecke a · b, zusammen 2ab = 24.
Zwei Katheten sind 5 cm und 7 cm lang. Wie groß ist das Quadrat mit der Seite a + b (in cm²)?
Erklärung: a + b = 5 + 7 = 12, also (a + b)² = 12² = 144 cm².
Ein Quadrat der Seite a + b = 17 cm enthält vier Dreiecke mit den Katheten 5 cm und 12 cm. In der Mitte bleibt ein schiefes Quadrat. Wie groß ist es (in cm²)?
Erklärung: Großes Quadrat: 17² = 289 cm². Vier Dreiecke: 4 · ½ · 5 · 12 = 120 cm². Rest: 289 − 120 = 169 cm² – genau 5² + 12².
Ein Quadrat mit der Seite a + b wird auf zwei Arten mit vier gleichen rechtwinkligen Dreiecken (Katheten a, b, Hypotenuse c) belegt: einmal bleibt ein Quadrat der Seite c übrig, einmal bleiben ein Quadrat der Seite a und eines der Seite b übrig. Zeichne beide Anordnungen, stelle für beide die Flächenbilanz auf und leite daraus a² + b² = c² her.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Beide Anordnungen füllen dasselbe Quadrat mit denselben vier Dreiecken. Zieht man die Dreiecke (zusammen 2ab) ab, bleibt links c², rechts a² + b².
Welcher Nachweis zeigt, dass a² + b² = c² für ALLE rechtwinkligen Dreiecke gilt?
Erklärung: Nur das Zerlegen mit den Buchstaben a und b gilt für jedes Dreieck. Ein Beispiel oder viele Messungen zeigen nur, dass der Satz dort stimmt – ein neues Dreieck könnte anders ausfallen.
Jemand rechnet bei 20 verschiedenen rechtwinkligen Dreiecken nach, dass a² + b² = c² stimmt. Damit ist der Satz bewiesen.
Erklärung: Auch viele Beispiele sind kein Beweis. Der Term n² + n + 41 liefert für n = 0 bis 39 lauter Primzahlen – und für n = 40 die Zahl 1681 = 41 · 41.
Das Zerlegungs-Argument gilt auch für ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten 0,7 cm und 2,4 cm.
Erklärung: Im Beweis stehen nur a und b, keine Zahlen. Also passt er für jedes rechtwinklige Dreieck, auch für 0,7 und 2,4 (dort ist c = 2,5, denn 0,49 + 5,76 = 6,25).
Ein Beispiel prüft einen Satz nur; erst ein ___ zeigt, dass er immer gilt.
Erklärung: Ein Beweis argumentiert allgemein, ohne bestimmte Zahlen.
Der Term n² + n + 41 ergibt für n = 0 bis 39 lauter Primzahlen. Berechne den Wert für n = 40.
Erklärung: 40² + 40 + 41 = 1600 + 40 + 41 = 1681 = 41 · 41, keine Primzahl. Aus 40 Beispielen folgt also nichts für alle n.