Ein Beweis durch Zerlegen

A Proof by Dissection

Mathematik Klasse 9 16 Aufgaben

GeometrieSatz des PythagorasBeweis

Ein Satz hat eine Voraussetzung und eine Behauptung; ein Beispiel prüft ihn nur, ein Beweis zeigt, dass er für alle Fälle gilt. Vier gleiche rechtwinklige Dreiecke füllen ein Quadrat der Seite a + b auf zwei Arten – einmal bleibt c² übrig, einmal a² + b². Daraus folgt der Satz ohne eine einzige Zahl. Räumt die Gleichsetzung von Nachrechnen und Beweisen aus sowie den Fehler (a + b)² = a² + b². Bereitet die Umkehrung und die Beweise von Sinus- und Kosinussatz vor.

Ein mathematischer Satz hat zwei Teile: eine Voraussetzung, die man annimmt, und eine Behauptung, die daraus folgt. Der Satz des Pythagoras lautet: Wenn ein Dreieck rechtwinklig ist, dann gilt $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ . Die Voraussetzung ist der rechte Winkel, die Behauptung die Flächengleichung.

An einem Beispiel nachzurechnen zeigt nur, dass der Satz dort stimmt. Ein Beweis zeigt ihn für jedes rechtwinklige Dreieck zugleich – deshalb kommt er ohne Zahlen aus. Hier gelingt das durch Zerlegen.

Lege vier gleiche rechtwinklige Dreiecke (Katheten a und b) in ein Quadrat der Seite $a + b$ . In Anordnung 1 liegen sie in den Ecken; in der Mitte bleibt ein schiefes Quadrat der Seite c. Es ist ein Quadrat, weil die beiden spitzen Winkel eines Dreiecks zusammen 90° ergeben (180° Winkelsumme minus der rechte Winkel) und an jeder Ecke innen ein rechter Winkel bleibt. In Anordnung 2 bilden die Dreiecke zwei Rechtecke; übrig bleiben ein Quadrat a² und ein Quadrat b².

Wechsle zwischen den Anordnungen und verändere a und b. Ist der Rest in beiden Anordnungen gleich groß – bei jeder Wahl?

Das große Quadrat und die vier Dreiecke sind in beiden Fällen gleich, also auch der Rest. Jedes Dreieck ist ein halbes Rechteck mit den Seiten a und b und hat die Fläche $\frac{1}{2} ab$ :

$(a + b)^{2} = 4 \cdot \frac{1}{2} ab + c^{2} (a + b)^{2} = 4 \cdot \frac{1}{2} ab + a^{2} + b^{2}$

Zieht man die vier Dreiecke ab, bleibt $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ . Achtung: $(a + b)^{2}$ ist nicht $a^{2} + b^{2}$ – die beiden Rechtecke $2 ab$ gehören dazu. Im Bild bei a = 3 und b = 4: $(a + b)^{2} = 49$ , aber $a^{2} + b^{2} = 25$ ; die Differenz 24 sind die beiden Rechtecke, 2 · 3 · 4.

Voraussetzungen (1)

Der Flächensatz

Klasse 9

›

Ermöglicht (1)

Die Umkehrung

Klasse 9

›

Leicht

Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Ein Satz lautet: „Wenn ein Viereck ein Quadrat ist, dann sind alle seine Seiten gleich lang.“ Welcher Teil ist die Voraussetzung?

● Das Viereck ist ein Quadrat
○ Alle Seiten sind gleich lang
○ Das Viereck hat vier Ecken

Die Voraussetzung steht nach „Wenn“: das wird angenommen. Was daraus folgt („alle Seiten gleich lang“), ist die Behauptung. Dass ein Viereck vier Ecken hat, steht gar nicht im Satz.

Multiple Choice #2 20s ▶ Testen

Der Satz lautet: „Wenn ein Dreieck rechtwinklig ist, dann gilt a² + b² = c².“ Welcher Teil ist die Behauptung?

○ Das Dreieck ist rechtwinklig
○ Das Dreieck hat drei Seiten
● a² + b² = c²

Die Behauptung steht nach „dann“: a² + b² = c². Der rechte Winkel ist die Voraussetzung.

Wahr / Falsch #3 15s ▶ Testen

Im Satz „Wenn eine Zahl durch 6 teilbar ist, dann ist sie gerade“ ist „Die Zahl ist durch 6 teilbar“ die Voraussetzung.

✓ Wahr

Nach „Wenn“ steht die Voraussetzung: durch 6 teilbar. Die Behauptung „gerade“ folgt daraus.

Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Ein Quadrat der Seite a + b ist in vier gleiche rechtwinklige Dreiecke und weitere Flächen zerlegt (Bild). Woraus besteht die Zerlegung?

● vier Dreiecke und ein schiefes Quadrat
○ zwei Dreiecke und zwei Quadrate
○ vier Dreiecke und vier Quadrate

In jeder Ecke des großen Quadrats liegt ein Dreieck; in der Mitte bleibt ein einziges schiefes Quadrat übrig. Zwei Quadrate entstehen erst bei der anderen Anordnung.

Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Katheten 4 cm und 6 cm. Welchen Flächeninhalt hat es?

○ 24 cm²
● 12 cm²
○ 10 cm²

Fläche = ½ · a · b = ½ · 4 · 6 = 12 cm². 24 ist das ganze Rechteck (ohne ½), 10 die Summe der Katheten.

Wahr / Falsch #6 15s ▶ Testen

Für a = 3 und b = 4 gilt (a + b)² = a² + b².

✓ Falsch

(3 + 4)² = 7² = 49, aber 3² + 4² = 9 + 16 = 25. Es fehlen die beiden Rechtecke a · b, zusammen 2ab = 24.

Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Welcher Nachweis zeigt, dass a² + b² = c² für ALLE rechtwinkligen Dreiecke gilt?

○ Nachrechnen bei einem Dreieck mit 5 cm, 12 cm und 13 cm
○ Nachmessen an 50 gezeichneten rechtwinkligen Dreiecken
● Zerlegen eines Quadrats der Seite a + b, ohne Zahlen einzusetzen

Nur das Zerlegen mit den Buchstaben a und b gilt für jedes Dreieck. Ein Beispiel oder viele Messungen zeigen nur, dass der Satz dort stimmt – ein neues Dreieck könnte anders ausfallen.

Wahr / Falsch #8 15s ▶ Testen

Jemand rechnet bei 20 verschiedenen rechtwinkligen Dreiecken nach, dass a² + b² = c² stimmt. Damit ist der Satz bewiesen.

✓ Falsch

Auch viele Beispiele sind kein Beweis. Der Term n² + n + 41 liefert für n = 0 bis 39 lauter Primzahlen – und für n = 40 die Zahl 1681 = 41 · 41.

Wahr / Falsch #9 15s ▶ Testen

Das Zerlegungs-Argument gilt auch für ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten 0,7 cm und 2,4 cm.

✓ Wahr

Im Beweis stehen nur a und b, keine Zahlen. Also passt er für jedes rechtwinklige Dreieck, auch für 0,7 und 2,4 (dort ist c = 2,5, denn 0,49 + 5,76 = 6,25).

Mittel

Lückentext #1 20s ▶ Testen

Im Satz „Wenn ein Dreieck gleichseitig ist, dann hat es drei gleich große Winkel“ heißt der Teil „es hat drei gleich große Winkel“ die ___.

✓ Antwort: Behauptung

Was nach „dann“ folgt und bewiesen werden soll, heißt Behauptung.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Zwei Katheten sind 5 cm und 7 cm lang. Wie groß ist das Quadrat mit der Seite a + b (in cm²)?

✓ Antwort: 144

a + b = 5 + 7 = 12, also (a + b)² = 12² = 144 cm².

Lückentext #3 20s ▶ Testen

Ein Beispiel prüft einen Satz nur; erst ein ___ zeigt, dass er immer gilt.

✓ Antwort: Beweis

Ein Beweis argumentiert allgemein, ohne bestimmte Zahlen.

Schwer

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Der Satz lautet: „Wenn ein Dreieck rechtwinklig ist, dann gilt a² + b² = c².“ Ein Dreieck ist rechtwinklig mit den Katheten a = 9 cm und b = 12 cm. Wie groß ist c² (in cm²)?

✓ Antwort: 225

Die Voraussetzung (rechtwinklig) ist erfüllt, also gilt die Behauptung: c² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225 cm².

Zahleneingabe #2 45s ▶ Testen

Ein Quadrat der Seite a + b = 17 cm enthält vier Dreiecke mit den Katheten 5 cm und 12 cm. In der Mitte bleibt ein schiefes Quadrat. Wie groß ist es (in cm²)?

✓ Antwort: 169

Großes Quadrat: 17² = 289 cm². Vier Dreiecke: 4 · ½ · 5 · 12 = 120 cm². Rest: 289 − 120 = 169 cm² – genau 5² + 12².

KI-bewertete Rechnung #3 240s ▶ Testen

Ein Quadrat mit der Seite a + b wird auf zwei Arten mit vier gleichen rechtwinkligen Dreiecken (Katheten a, b, Hypotenuse c) belegt: einmal bleibt ein Quadrat der Seite c übrig, einmal bleiben ein Quadrat der Seite a und eines der Seite b übrig. Zeichne beide Anordnungen, stelle für beide die Flächenbilanz auf und leite daraus a² + b² = c² her. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Skizze beider Anordnungen. Anordnung 1: (a + b)² = 4 · ½ab + c². Anordnung 2: (a + b)² = 4 · ½ab + a² + b². Die linken Seiten und die Dreiecke stimmen überein, also c² = a² + b².

Beide Anordnungen füllen dasselbe Quadrat mit denselben vier Dreiecken. Zieht man die Dreiecke (zusammen 2ab) ab, bleibt links c², rechts a² + b².

Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Der Term n² + n + 41 ergibt für n = 0 bis 39 lauter Primzahlen. Berechne den Wert für n = 40.

✓ Antwort: 1681

40² + 40 + 41 = 1600 + 40 + 41 = 1681 = 41 · 41, keine Primzahl. Aus 40 Beispielen folgt also nichts für alle n.