Der Flächensatz
Im Dreieck KLM liegt der rechte Winkel bei L. Welche Seite ist die Hypotenuse?
Erklärung: Die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenüber. Der rechte Winkel ist bei L, also ist KM die Hypotenuse – auch wenn sie waagerecht unten liegt. KL und LM liegen am rechten Winkel an: das sind die Katheten.
Tippe auf die Hypotenuse.
Erklärung: Der rechte Winkel ist bei E. Ihm gegenüber liegt DF – das ist die Hypotenuse, obwohl die Seite steil steht. DE und EF liegen am rechten Winkel an (Katheten).
Im Dreieck PQR liegt der rechte Winkel bei P. Dann ist PQ die Hypotenuse.
Erklärung: Bei P liegt der rechte Winkel, gegenüber liegt QR – das ist die Hypotenuse. PQ und PR berühren P und sind Katheten.
Im Dreieck ABC liegt der rechte Winkel bei B. Die Seite AC heißt ___.
Erklärung: AC liegt dem rechten Winkel bei B gegenüber, also ist AC die Hypotenuse.
Im Dreieck KLM liegt der rechte Winkel bei M. Es ist KL = 26 cm, LM = 10 cm und KM = 24 cm. Wie lang ist die Hypotenuse (in cm)?
Erklärung: Der rechte Winkel ist bei M, gegenüber liegt KL. Die Hypotenuse ist also KL = 26 cm – zugleich die längste Seite. KM und LM sind die Katheten.
Über einer 7 cm langen Seite liegt ein Quadrat. Welchen Flächeninhalt hat es?
Erklärung: Fläche eines Quadrats = Seite · Seite = 7 · 7 = 49 cm². 14 wäre 2 · 7, 28 wäre 4 · 7 (der Umfang).
Das Quadrat über der Hypotenuse hat 81 cm² Fläche. Wie lang ist die Hypotenuse?
Erklärung: Gesucht ist die Seite s mit s · s = 81. Das ist s = √81 = 9 cm. 40,5 wäre 81 : 2, 20,25 wäre 81 : 4.
Über einer 1,5 cm langen Seite liegt ein Quadrat mit dem Flächeninhalt 2,25 cm².
Erklärung: 1,5 · 1,5 = 2,25 – gerechnet wie bei ganzen Zahlen. Nicht 1,5 · 2 = 3 und nicht 2,5.
Das Quadrat über einer Seite hat den Flächeninhalt 169 cm². Wie lang ist die Seite (in cm)?
Erklärung: s · s = 169 → s = √169 = 13 cm, denn 13 · 13 = 169.
Über einer Seite liegt ein Quadrat mit 30 cm² Fläche. Wie lang ist die Seite (auf 0,1 cm genau)?
Erklärung: s = √30 ≈ 5,477 cm, gerundet 5,5 cm (5 · 5 = 25 ist zu klein, 6 · 6 = 36 zu groß).
Über den Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks liegen Quadrate mit 25 cm² und 144 cm². Welchen Flächeninhalt hat das Quadrat über der Hypotenuse?
Erklärung: Die Kathetenquadrate ergeben zusammen das Hypotenusenquadrat: 25 + 144 = 169 cm². 119 wäre die Differenz 144 − 25; 13 ist die Seitenlänge (√169), keine Fläche.
Die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks sind 8 cm und 15 cm lang. Die Hypotenuse ist 23 cm lang.
Erklärung: 8 + 15 = 23 addiert die Längen. Der Satz addiert die Quadrate: 8² + 15² = 64 + 225 = 289 = 17², die Hypotenuse ist 17 cm lang.
Über den Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks liegen Quadrate mit 20 cm² und 5 cm². Das Quadrat über der Hypotenuse hat dann 25 cm².
Erklärung: 20 + 5 = 25. Die Seitenlängen √20 und √5 sind keine ganzen Zahlen – der Flächensatz gilt trotzdem.
Über den Katheten liegen Quadrate mit 36 cm² und 64 cm². Wie groß ist das Quadrat über der Hypotenuse (in cm²)?
Erklärung: 36 + 64 = 100 cm².
Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Katheten 7 cm und 24 cm. Wie groß ist das Quadrat über der Hypotenuse (in cm²)?
Erklärung: Kathetenquadrate: 7² = 49 und 24² = 576. Zusammen 49 + 576 = 625 cm².
Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Katheten 6 cm und 8 cm. Zeichne das Dreieck mit den Quadraten über allen drei Seiten, berechne die Flächen der beiden Kathetenquadrate und begründe damit, wie groß das Hypotenusenquadrat sein muss und welche Seite zu dieser Fläche gehört.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Die Kathetenquadrate 36 cm² und 64 cm² ergeben zusammen 100 cm²; die Seite dieses Quadrats ist √100 = 10 cm.