Der Flächensatz
The Area Theorem
Die Seite gegenüber dem rechten Winkel heißt Hypotenuse, die beiden anliegenden Seiten heißen Katheten – in jeder Lage des Dreiecks. Über den drei Seiten liegen Quadrate, und der Satz des Pythagoras sagt: Die beiden Kathetenquadrate haben zusammen genau die Fläche des Hypotenusenquadrats. Räumt zwei Fehlbilder aus: die Hypotenuse sei die untere oder schräge Seite, und der Satz addiere Längen (a + b = c). Bereitet den Beweis durch Zerlegen und alle Berechnungen vor.
Hypotenuse und Katheten
In einem rechtwinkligen Dreieck haben die Seiten feste Namen. Die Seite, die dem rechten Winkel
gegenüberliegt, ist die
Die Namen hängen an der Lage zum rechten Winkel, nicht an der Lage auf dem Blatt: Die Hypotenuse muss weder unten noch schräg stehen. Drehe das Dreieck und suche sie jedes Mal neu. Tipp: Markiere zuerst den rechten Winkel; die Seite gegenüber ist dann die Hypotenuse.
Der Flächensatz
Über jeder Seite lässt sich ein Quadrat zeichnen. Seine Fläche ist das Quadrat der Seitenlänge: Über einer
Seite von 3 cm liegt ein Quadrat von 9 cm². Umgekehrt ist die Seite die Wurzel der Fläche: Zum Quadrat mit
9 cm² gehört die Seite
Im Bild unten hat das Dreieck die Katheten 3 cm und 4 cm und die Hypotenuse 5 cm. Die Quadrate über den Katheten haben 9 cm² und 16 cm², zusammen 25 cm² – so viel wie das Quadrat über der Hypotenuse, 5 · 5 = 25. Der Satz des Pythagoras sagt, dass diese Flächenrechnung in jedem rechtwinkligen Dreieck aufgeht:
Die beiden Kathetenquadrate ergeben zusammen genau das Hypotenusenquadrat. Es geht um Flächen, nicht um Längen – 3 + 4 ist nicht 5. Der Satz gilt nur im rechtwinkligen Dreieck. Er trägt den Namen des griechischen Gelehrten Pythagoras (6. Jahrhundert v. Chr.); die Beziehung selbst kannten schon die Babylonier, Jahrhunderte früher.
Bei a = 3 geht alles glatt auf: 25 ist eine Quadratzahl, c = 5. Stelle a = 2 ein. Jetzt hat das grüne Quadrat 4 + 16 = 20 cm², und 20 ist keine Quadratzahl. Der Chip zeigt c ≈ 4,47 – aber welche Seite gehört zu 20 cm², wenn kein Bild sie misst? Das rechnet der Satz noch nicht aus; er liefert erst die Fläche.
Voraussetzungen (1)
Ermöglicht (2)
Im Dreieck KLM liegt der rechte Winkel bei L. Welche Seite ist die Hypotenuse?
Tippe auf die Hypotenuse.
Im Dreieck PQR liegt der rechte Winkel bei P. Dann ist PQ die Hypotenuse.
Über einer 7 cm langen Seite liegt ein Quadrat. Welchen Flächeninhalt hat es?
Das Quadrat über der Hypotenuse hat 81 cm² Fläche. Wie lang ist die Hypotenuse?
Über einer 1,5 cm langen Seite liegt ein Quadrat mit dem Flächeninhalt 2,25 cm².
Über den Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks liegen Quadrate mit 25 cm² und 144 cm². Welchen Flächeninhalt hat das Quadrat über der Hypotenuse?
Die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks sind 8 cm und 15 cm lang. Die Hypotenuse ist 23 cm lang.
Über den Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks liegen Quadrate mit 20 cm² und 5 cm². Das Quadrat über der Hypotenuse hat dann 25 cm².
Im Dreieck ABC liegt der rechte Winkel bei B. Die Seite AC heißt ___.
Das Quadrat über einer Seite hat den Flächeninhalt 169 cm². Wie lang ist die Seite (in cm)?
Über den Katheten liegen Quadrate mit 36 cm² und 64 cm². Wie groß ist das Quadrat über der Hypotenuse (in cm²)?
Im Dreieck KLM liegt der rechte Winkel bei M. Es ist KL = 26 cm, LM = 10 cm und KM = 24 cm. Wie lang ist die Hypotenuse (in cm)?
Über einer Seite liegt ein Quadrat mit 30 cm² Fläche. Wie lang ist die Seite (auf 0,1 cm genau)?
Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Katheten 7 cm und 24 cm. Wie groß ist das Quadrat über der Hypotenuse (in cm²)?
Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Katheten 6 cm und 8 cm. Zeichne das Dreieck mit den Quadraten über allen drei Seiten, berechne die Flächen der beiden Kathetenquadrate und begründe damit, wie groß das Hypotenusenquadrat sein muss und welche Seite zu dieser Fläche gehört. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.