Die Hypotenuse berechnen
Im Dreieck ABC gilt γ = 90°, a = 6 cm und b = 8 cm. Welche Rechnung liefert c²?
Erklärung: Der Satz addiert die Quadrate der Katheten: c² = a² + b² = 6² + 8². 6 + 8 addiert nur die Längen, (6 + 8)² quadriert die Summe (mit den Rechtecken 2ab zu viel).
Die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks sind 9 cm und 40 cm lang. Wie groß ist c²?
Erklärung: c² = 9² + 40² = 81 + 1600 = 1681 cm². 49 wäre 9 + 40 (Längen addiert), 2401 wäre (9 + 40)².
Die Katheten sind 20 cm und 21 cm lang. Dann ist c² = 841 cm².
Erklärung: 20² + 21² = 400 + 441 = 841 cm². (Die Hypotenuse ist dann √841 = 29 cm.)
Die Katheten sind 15 cm und 8 cm lang. Wie groß ist c² (in cm²)?
Erklärung: c² = 15² + 8² = 225 + 64 = 289 cm².
Die Katheten sind 0,6 m und 0,8 m lang. Wie groß ist c² (in m²)?
Erklärung: c² = 0,6² + 0,8² = 0,36 + 0,64 = 1 m². Die Katheten sind Dezimalzahlen – quadriert werden sie ganz normal: 0,6 · 0,6 = 0,36.
Ein Boot fährt 6 km nach Osten und dann 3 km nach Norden. Osten und Norden stehen senkrecht aufeinander: Die beiden Etappen sind die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks, die Luftlinie zum Start ist seine Hypotenuse. Zeichne das Dreieck, stelle die Gleichung für die Luftlinie auf und berechne sie auf 0,1 km genau. Prüfe, ob das Ergebnis plausibel ist.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Die Luftlinie ist die Hypotenuse: c² = 36 + 9 = 45, c ≈ 6,7 km; zwischen 6 km und 9 km.
Es ist c² = 225 cm². Wie lang ist die Hypotenuse?
Erklärung: Gesucht ist die Länge c, nicht ihr Quadrat: c = √225 = 15 cm, denn 15 · 15 = 225. 225 cm ist das Quadrat ohne Wurzel, 112,5 cm die Hälfte davon.
Die Katheten sind 12 cm und 35 cm lang. Welche Rechnung liefert die Länge der Hypotenuse?
Erklärung: Erst die Quadrate addieren, dann aus der Summe die Wurzel ziehen: √(144 + 1225) = √1369 = 37. 12² + 35² ist erst c². Die Wurzeln einzeln zu ziehen ergibt 12 + 35 = 47.
Ist c² = 50 cm², dann ist c = 25 cm.
Erklärung: 25 · 25 = 625, nicht 50. Es ist c = √50 ≈ 7,07 cm. 25 ist die Hälfte von 50 – die Wurzel ist keine Halbierung.
Die Katheten sind 9 cm und 12 cm lang. Wie lang ist die Hypotenuse (in cm)?
Erklärung: c² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225, also c = √225 = 15 cm.
Die Katheten sind 2 cm und 5 cm lang. Wie lang ist die Hypotenuse (auf 0,01 cm genau)?
Erklärung: c² = 2² + 5² = 4 + 25 = 29, also c = √29 ≈ 5,385 cm, gerundet 5,39 cm.
Die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks sind 6 cm und 9 cm lang. Welcher Wert kann die Hypotenuse sein?
Erklärung: Die Hypotenuse ist länger als jede Kathete (also über 9 cm) und kürzer als a + b = 15 cm. Nur 10,8 cm passt – es ist √117 ≈ 10,8. 5 cm wäre kürzer als eine Kathete, 15 cm ist a + b.
Die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks sind 5 cm und 8 cm lang. Die Hypotenuse ist 13 cm lang.
Erklärung: 13 = 5 + 8 addiert die Längen. Die Hypotenuse ist aber kürzer als a + b: c = √89 ≈ 9,43 cm.
Die Katheten sind 3 cm und 7 cm lang. Die Hypotenuse ist länger als 7 cm und kürzer als 10 cm.
Erklärung: c = √(9 + 49) = √58 ≈ 7,62 cm. Das liegt zwischen der längeren Kathete (7 cm) und a + b = 10 cm.
Die Hypotenuse ist länger als jede ___, aber kürzer als a + b.
Erklärung: Die Hypotenuse ist die längste Seite; der Umweg über beide Katheten (a + b) ist länger als der direkte Weg.
Die Katheten sind 4 cm und 7 cm lang. Berechne die Hypotenuse (auf 0,1 cm genau) und prüfe, dass sie zwischen 7 cm und 11 cm liegt.
Erklärung: c² = 16 + 49 = 65, c = √65 ≈ 8,06 cm, gerundet 8,1 cm. Kontrolle: 7 < 8,1 < 4 + 7 = 11.