Die Hypotenuse berechnen

Computing the Hypotenuse

Mathematik Klasse 9 16 Aufgaben
GeometrieSatz des PythagorasRechtwinkliges DreieckQuadratwurzeln

Aus den Katheten a und b folgt c² = a² + b², und erst die Wurzel liefert die Länge c. Drei Kontrollen fangen die häufigsten Fehler ab: Quadrate addieren, nicht Längen; am Ende die Wurzel ziehen; und prüfen, dass c länger ist als jede Kathete, aber kürzer als a + b. Räumt c = a + b und das vergessene Wurzelziehen aus. Bereitet die Kathetenberechnung, die Anwendungen, den Abstand im Koordinatensystem und die Raumdiagonale vor.

Sind die beiden Katheten a und b bekannt, lässt sich die Hypotenuse c berechnen. Der Satz liefert zuerst das Quadrat der Hypotenuse, also eine Fläche – bei a = 2 und b = 4 also 20 cm². Gesucht ist aber eine Länge, die Seite dieses Quadrats, und die Seite eines Quadrats ist die Wurzel seiner Fläche, wie beim Quadrat mit 9 cm²:

Beispiel: a = 2 cm und b = 4 cm. Dann ist und . Die Wurzel gehört an den Schluss – 20 ist erst die Fläche des grünen Hypotenusenquadrats im Bild. 20 ist keine Quadratzahl, also ist nicht ganz: Wegen liegt c zwischen 4 und 5.

Das grüne Quadrat ist c², c ist seine Seite. Verändere a und b. Liegt c immer zwischen der längeren Kathete und a + b?

Kontrolle. Die Hypotenuse ist länger als jede Kathete, aber kürzer als , denn der Weg über beide Katheten ist ein Umweg. Hier: 4 < 4,47 < 6. Genau bei 6 landet, wer die Wurzel zu früh zieht: ist nicht . Liegt c außerhalb dieses Bereichs, hat man sich verrechnet.

Mit dem Taschenrechner rundet man erst am Ende. Wer schon rundet, trägt den Rundungsfehler in die Wurzel hinein. Und die Einheit nicht vergessen: Aus cm² wird nach der Wurzel wieder cm.

Voraussetzungen (2)

Der Flächensatz
Klasse 9
›
Wurzel als Quadratseite
Klasse 9
›

Ermöglicht (3)

Abstand im Koordinatensystem
Klasse 9
›
Eine Kathete berechnen
Klasse 9
›
Leiter, Diagonale, Höhe
Klasse 9
›
Leicht
Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Im Dreieck ABC gilt γ = 90°, a = 6 cm und b = 8 cm. Welche Rechnung liefert c²?

  • ● 6² + 8²
  • ○ 6 + 8
  • ○ (6 + 8)²
Der Satz addiert die Quadrate der Katheten: c² = a² + b² = 6² + 8². 6 + 8 addiert nur die Längen, (6 + 8)² quadriert die Summe (mit den Rechtecken 2ab zu viel).
Multiple Choice #2 20s ▶ Testen

Die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks sind 9 cm und 40 cm lang. Wie groß ist c²?

  • ○ 49 cm²
  • ● 1681 cm²
  • ○ 2401 cm²
c² = 9² + 40² = 81 + 1600 = 1681 cm². 49 wäre 9 + 40 (Längen addiert), 2401 wäre (9 + 40)².
Wahr / Falsch #3 15s ▶ Testen

Die Katheten sind 20 cm und 21 cm lang. Dann ist c² = 841 cm².

✓ Wahr
20² + 21² = 400 + 441 = 841 cm². (Die Hypotenuse ist dann √841 = 29 cm.)
Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Es ist c² = 225 cm². Wie lang ist die Hypotenuse?

  • ○ 112,5 cm
  • ○ 225 cm
  • ● 15 cm
Gesucht ist die Länge c, nicht ihr Quadrat: c = √225 = 15 cm, denn 15 · 15 = 225. 225 cm ist das Quadrat ohne Wurzel, 112,5 cm die Hälfte davon.
Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Die Katheten sind 12 cm und 35 cm lang. Welche Rechnung liefert die Länge der Hypotenuse?

  • ○ 12² + 35²
  • ○ √12² + √35²
  • ● √(12² + 35²)
Erst die Quadrate addieren, dann aus der Summe die Wurzel ziehen: √(144 + 1225) = √1369 = 37. 12² + 35² ist erst c². Die Wurzeln einzeln zu ziehen ergibt 12 + 35 = 47.
Wahr / Falsch #6 15s ▶ Testen

Ist c² = 50 cm², dann ist c = 25 cm.

✓ Falsch
25 · 25 = 625, nicht 50. Es ist c = √50 ≈ 7,07 cm. 25 ist die Hälfte von 50 – die Wurzel ist keine Halbierung.
Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks sind 6 cm und 9 cm lang. Welcher Wert kann die Hypotenuse sein?

  • ● 10,8 cm
  • ○ 5 cm
  • ○ 15 cm
Die Hypotenuse ist länger als jede Kathete (also über 9 cm) und kürzer als a + b = 15 cm. Nur 10,8 cm passt – es ist √117 ≈ 10,8. 5 cm wäre kürzer als eine Kathete, 15 cm ist a + b.
Wahr / Falsch #8 15s ▶ Testen

Die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks sind 5 cm und 8 cm lang. Die Hypotenuse ist 13 cm lang.

✓ Falsch
13 = 5 + 8 addiert die Längen. Die Hypotenuse ist aber kürzer als a + b: c = √89 ≈ 9,43 cm.
Wahr / Falsch #9 15s ▶ Testen

Die Katheten sind 3 cm und 7 cm lang. Die Hypotenuse ist länger als 7 cm und kürzer als 10 cm.

✓ Wahr
c = √(9 + 49) = √58 ≈ 7,62 cm. Das liegt zwischen der längeren Kathete (7 cm) und a + b = 10 cm.
Mittel
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Die Katheten sind 15 cm und 8 cm lang. Wie groß ist c² (in cm²)?

✓ Antwort: 289
c² = 15² + 8² = 225 + 64 = 289 cm².
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Die Katheten sind 9 cm und 12 cm lang. Wie lang ist die Hypotenuse (in cm)?

✓ Antwort: 15
c² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225, also c = √225 = 15 cm.
Lückentext #3 20s ▶ Testen

Die Hypotenuse ist länger als jede ___, aber kürzer als a + b.

✓ Antwort: Kathete
Die Hypotenuse ist die längste Seite; der Umweg über beide Katheten (a + b) ist länger als der direkte Weg.
Schwer
Zahleneingabe #1 35s ▶ Testen

Die Katheten sind 0,6 m und 0,8 m lang. Wie groß ist c² (in m²)?

✓ Antwort: 1
c² = 0,6² + 0,8² = 0,36 + 0,64 = 1 m². Die Katheten sind Dezimalzahlen – quadriert werden sie ganz normal: 0,6 · 0,6 = 0,36.
KI-bewertete Rechnung #2 240s ▶ Testen

Ein Boot fährt 6 km nach Osten und dann 3 km nach Norden. Osten und Norden stehen senkrecht aufeinander: Die beiden Etappen sind die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks, die Luftlinie zum Start ist seine Hypotenuse. Zeichne das Dreieck, stelle die Gleichung für die Luftlinie auf und berechne sie auf 0,1 km genau. Prüfe, ob das Ergebnis plausibel ist. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Zeichnung: Katheten 6 km und 3 km, die Luftlinie c ist die Hypotenuse. c² = 6² + 3² = 36 + 9 = 45, also c = √45 ≈ 6,7 km. Plausibel: länger als 6 km, kürzer als 6 + 3 = 9 km.
Die Luftlinie ist die Hypotenuse: c² = 36 + 9 = 45, c ≈ 6,7 km; zwischen 6 km und 9 km.
Zahleneingabe #3 35s ▶ Testen

Die Katheten sind 2 cm und 5 cm lang. Wie lang ist die Hypotenuse (auf 0,01 cm genau)?

✓ Antwort: 5.39
c² = 2² + 5² = 4 + 25 = 29, also c = √29 ≈ 5,385 cm, gerundet 5,39 cm.
Zahleneingabe #4 35s ▶ Testen

Die Katheten sind 4 cm und 7 cm lang. Berechne die Hypotenuse (auf 0,1 cm genau) und prüfe, dass sie zwischen 7 cm und 11 cm liegt.

✓ Antwort: 8.1
c² = 16 + 49 = 65, c = √65 ≈ 8,06 cm, gerundet 8,1 cm. Kontrolle: 7 < 8,1 < 4 + 7 = 11.