Eine Kathete berechnen
Im Dreieck ABC gilt γ = 90°, c = 61 cm und b = 11 cm. Welche Rechnung liefert a²?
Erklärung: c² = a² + b² wird nach a² umgestellt: a² = c² − b² = 61² − 11² = 3721 − 121 = 3600, also a = 60 cm. Addieren würde eine Kathete länger als die Hypotenuse machen, 11² − 61² wäre negativ.
Die Hypotenuse ist 25 cm lang, eine Kathete 15 cm. Wie groß ist das Quadrat der anderen Kathete?
Erklärung: a² = c² − b² = 625 − 225 = 400 cm². 850 wäre die Summe der Quadrate, 10 die Differenz der Längen 25 − 15.
Ist c = 17 cm und b = 8 cm, so gilt a² = 17² + 8².
Erklärung: Das Hypotenusenquadrat ist die Summe der Kathetenquadrate: 17² = a² + 8². Also a² = 17² − 8² = 289 − 64 = 225.
Die Hypotenuse ist 10 cm lang, eine Kathete 6 cm. Wie groß ist das Quadrat der anderen Kathete (in cm²)?
Erklärung: a² = 10² − 6² = 100 − 36 = 64 cm².
Die Hypotenuse ist 35 cm lang, eine Kathete 21 cm. Wie lang ist die andere Kathete (in cm)?
Erklärung: a² = 35² − 21² = 1225 − 441 = 784, also a = √784 = 28 cm.
Ein 7,5 m langes Seil ist an einem senkrechten Mast in 6 m Höhe befestigt und am Boden verankert. Mast und Boden bilden einen rechten Winkel; das Seil liegt ihm gegenüber und ist die Hypotenuse. Zeichne das Dreieck, stelle die Gleichung für den Abstand des Ankers vom Mastfuß auf und berechne ihn.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Das Seil ist die Hypotenuse (7,5 m), der Mast eine Kathete (6 m): a² = 56,25 − 36 = 20,25, a = 4,5 m.
Im Dreieck PQR liegt der rechte Winkel bei P. Welche Gleichung stimmt?
Erklärung: Die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenüber: bei P also QR. Auf der Seite des Gleichheitszeichens, auf der sie allein steht, steht QR². Nicht der letzte Buchstabe entscheidet, sondern der rechte Winkel.
Im Dreieck KLM liegt der rechte Winkel bei K. Bekannt sind LM = 37 cm und KL = 12 cm. Welche Rechnung liefert KM²?
Erklärung: Bei K liegt der rechte Winkel, also ist LM die Hypotenuse: LM² = KL² + KM². Umgestellt: KM² = 37² − 12² = 1369 − 144 = 1225, also KM = 35 cm.
Im Dreieck STU liegt der rechte Winkel bei U. Dann gilt ST² = SU² + TU².
Erklärung: Bei U liegt der rechte Winkel, gegenüber liegt ST: Hypotenuse. Ihr Quadrat ist die Summe der beiden anderen Quadrate.
Im Dreieck ABC liegt der rechte Winkel bei A. Es gilt BC² = AB² + AC². Die Seite BC liegt dem Punkt ___ gegenüber.
Erklärung: Die Hypotenuse steht allein auf einer Seite der Gleichung – hier BC. Sie liegt dem rechten Winkel gegenüber, also dem Punkt A. AB und AC berühren A und sind die Katheten.
Im Dreieck DEF liegt der rechte Winkel bei E. Es ist DE = 20 cm und DF = 52 cm. Wie lang ist EF (in cm)?
Erklärung: Der rechte Winkel ist bei E, also ist DF die Hypotenuse: EF² = 52² − 20² = 2704 − 400 = 2304, EF = 48 cm.
Die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks ist 30 cm lang, eine Kathete 18 cm. Welcher Wert kann die andere Kathete sein?
Erklärung: Eine Kathete ist immer kürzer als die Hypotenuse. 35 cm ist zu lang (√(900 + 324) ≈ 35 – das Ergebnis der falschen Addition). 12 cm ist die Differenz 30 − 18. Richtig: √(900 − 324) = √576 = 24 cm.
In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse 12 cm lang. Eine Kathete kann 13 cm lang sein.
Erklärung: Die Hypotenuse ist die längste Seite. Eine Kathete von 13 cm wäre länger als 12 cm – das ist unmöglich.
Die Hypotenuse ist 9 cm lang, eine Kathete 4 cm. Die andere Kathete ist dann etwa 8,1 cm lang.
Erklärung: a² = 81 − 16 = 65, a = √65 ≈ 8,06 cm. Das ist kürzer als die Hypotenuse (9 cm), aber länger als 9 − 4 = 5 cm.
Jede Kathete ist kürzer als die ___.
Erklärung: Die Hypotenuse ist die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck.
Die Hypotenuse ist 12 cm lang, eine Kathete 5 cm. Berechne die andere Kathete (auf 0,1 cm genau).
Erklärung: a² = 12² − 5² = 144 − 25 = 119, a = √119 ≈ 10,91 cm, gerundet 10,9 cm. Kontrolle: 10,9 < 12.