Eine Kathete berechnen

Computing a Leg

Mathematik Klasse 9 16 Aufgaben
GeometrieSatz des PythagorasRechtwinkliges DreieckQuadratwurzeln

Ist die Hypotenuse bekannt, wird die Gleichung umgestellt: a² = c² − b². Es wird subtrahiert, weil das Hypotenusenquadrat das größte ist; und welche Seite die Hypotenuse ist, entscheidet der rechte Winkel, nicht der Buchstabe c. Räumt das Addieren statt Subtrahieren und die feste Zuordnung „c ist die Hypotenuse“ aus; eine berechnete Kathete muss kürzer sein als die Hypotenuse. Bereitet Leiter-, Seil- und Höhenaufgaben vor.

Oft ist gerade die längste Seite bekannt – etwa die 5 Abstände des gespannten Seils aus der Einleitung – und eine Kathete gesucht. Die Hypotenusen-Rechnung hilft dann nicht, denn dort waren beide Katheten gegeben. Ist die Hypotenuse c bekannt und eine Kathete, stellt man die Gleichung nach der gesuchten Kathete um. Aus wird

Jetzt wird subtrahiert: Das Hypotenusenquadrat ist das größte, davon geht das bekannte Kathetenquadrat weg. Beispiel: c = 5 cm und b = 4 cm – das 3-4-5-Dreieck vom Anfang, jetzt von der Hypotenuse aus gerechnet. Dann ist und .

Anschaulich: Vom großen Quadrat über der Hypotenuse wird das Quadrat über der bekannten Kathete weggenommen; was bleibt, ist das Quadrat über der gesuchten Kathete. Deshalb wird subtrahiert. Im Bild: 25 − 16 = 9 ist das rote Quadrat, seine Seite ist 3.

Die Hypotenuse bleibt 5, ihr grünes Quadrat hat 25. Verändere b: Wie groß bleibt das rote Quadrat, wenn vom grünen das blaue abgeht – und was geschieht mit a, wenn b fast 5 wird?

Welche Seite ist die Hypotenuse? Sie liegt dem rechten Winkel gegenüber – nicht immer trägt sie den Buchstaben c. Im Dreieck PQR mit dem rechten Winkel bei P gilt . Erst den rechten Winkel suchen, dann die Gleichung aufstellen.

Kontrolle. Eine berechnete Kathete ist immer kürzer als die Hypotenuse. Kommt eine längere Seite heraus, wurde addiert statt subtrahiert: Mit 5 und 4 ergäbe das – mehr als die Hypotenuse 5.

Voraussetzungen (1)

Die Hypotenuse berechnen
Klasse 9
›

ErmĂśglicht (1)

Leiter, Diagonale, HĂśhe
Klasse 9
›
Leicht
Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Im Dreieck ABC gilt γ = 90°, c = 61 cm und b = 11 cm. Welche Rechnung liefert a²?

  • ○ 61² + 11²
  • ○ 11² − 61²
  • ● 61² − 11²
c² = a² + b² wird nach a² umgestellt: a² = c² − b² = 61² − 11² = 3721 − 121 = 3600, also a = 60 cm. Addieren würde eine Kathete länger als die Hypotenuse machen, 11² − 61² wäre negativ.
Multiple Choice #2 20s ▶ Testen

Die Hypotenuse ist 25 cm lang, eine Kathete 15 cm. Wie groß ist das Quadrat der anderen Kathete?

  • ○ 10 cm²
  • ● 400 cm²
  • ○ 850 cm²
a² = c² − b² = 625 − 225 = 400 cm². 850 wäre die Summe der Quadrate, 10 die Differenz der Längen 25 − 15.
Wahr / Falsch #3 15s ▶ Testen

Ist c = 17 cm und b = 8 cm, so gilt a² = 17² + 8².

✓ Falsch
Das Hypotenusenquadrat ist die Summe der Kathetenquadrate: 17² = a² + 8². Also a² = 17² − 8² = 289 − 64 = 225.
Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Im Dreieck PQR liegt der rechte Winkel bei P. Welche Gleichung stimmt?

  • ● PQ² + PR² = QR²
  • ○ PQ² + QR² = PR²
  • ○ PR² + QR² = PQ²
Die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenßber: bei P also QR. Auf der Seite des Gleichheitszeichens, auf der sie allein steht, steht QR². Nicht der letzte Buchstabe entscheidet, sondern der rechte Winkel.
Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Im Dreieck KLM liegt der rechte Winkel bei K. Bekannt sind LM = 37 cm und KL = 12 cm. Welche Rechnung liefert KM²?

  • ○ 37² + 12²
  • ○ 12² − 37²
  • ● 37² − 12²
Bei K liegt der rechte Winkel, also ist LM die Hypotenuse: LM² = KL² + KM². Umgestellt: KM² = 37² − 12² = 1369 − 144 = 1225, also KM = 35 cm.
Wahr / Falsch #6 15s ▶ Testen

Im Dreieck STU liegt der rechte Winkel bei U. Dann gilt ST² = SU² + TU².

✓ Wahr
Bei U liegt der rechte Winkel, gegenĂźber liegt ST: Hypotenuse. Ihr Quadrat ist die Summe der beiden anderen Quadrate.
Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks ist 30 cm lang, eine Kathete 18 cm. Welcher Wert kann die andere Kathete sein?

  • ● 24 cm
  • ○ 12 cm
  • ○ 35 cm
Eine Kathete ist immer kürzer als die Hypotenuse. 35 cm ist zu lang (√(900 + 324) ≈ 35 – das Ergebnis der falschen Addition). 12 cm ist die Differenz 30 − 18. Richtig: √(900 − 324) = √576 = 24 cm.
Wahr / Falsch #8 15s ▶ Testen

In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse 12 cm lang. Eine Kathete kann 13 cm lang sein.

✓ Falsch
Die Hypotenuse ist die längste Seite. Eine Kathete von 13 cm wäre länger als 12 cm – das ist unmöglich.
Wahr / Falsch #9 15s ▶ Testen

Die Hypotenuse ist 9 cm lang, eine Kathete 4 cm. Die andere Kathete ist dann etwa 8,1 cm lang.

✓ Wahr
a² = 81 − 16 = 65, a = √65 ≈ 8,06 cm. Das ist kürzer als die Hypotenuse (9 cm), aber länger als 9 − 4 = 5 cm.
Mittel
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Die Hypotenuse ist 10 cm lang, eine Kathete 6 cm. Wie groß ist das Quadrat der anderen Kathete (in cm²)?

✓ Antwort: 64
a² = 10² − 6² = 100 − 36 = 64 cm².
Lückentext #2 20s ▶ Testen

Im Dreieck ABC liegt der rechte Winkel bei A. Es gilt BC² = AB² + AC². Die Seite BC liegt dem Punkt ___ gegenßber.

✓ Antwort: A
Die Hypotenuse steht allein auf einer Seite der Gleichung – hier BC. Sie liegt dem rechten Winkel gegenüber, also dem Punkt A. AB und AC berühren A und sind die Katheten.
Lückentext #3 20s ▶ Testen

Jede Kathete ist kĂźrzer als die ___.

✓ Antwort: Hypotenuse
Die Hypotenuse ist die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck.
Schwer
Zahleneingabe #1 35s ▶ Testen

Die Hypotenuse ist 35 cm lang, eine Kathete 21 cm. Wie lang ist die andere Kathete (in cm)?

✓ Antwort: 28
a² = 35² − 21² = 1225 − 441 = 784, also a = √784 = 28 cm.
KI-bewertete Rechnung #2 240s ▶ Testen

Ein 7,5 m langes Seil ist an einem senkrechten Mast in 6 m Höhe befestigt und am Boden verankert. Mast und Boden bilden einen rechten Winkel; das Seil liegt ihm gegenüber und ist die Hypotenuse. Zeichne das Dreieck, stelle die Gleichung für den Abstand des Ankers vom Mastfuß auf und berechne ihn. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Zeichnung: Mast (6 m) und Boden bilden den rechten Winkel, das Seil (7,5 m) ist die Hypotenuse. a² = 7,5² − 6² = 56,25 − 36 = 20,25, also a = 4,5 m.
Das Seil ist die Hypotenuse (7,5 m), der Mast eine Kathete (6 m): a² = 56,25 − 36 = 20,25, a = 4,5 m.
Zahleneingabe #3 40s ▶ Testen

Im Dreieck DEF liegt der rechte Winkel bei E. Es ist DE = 20 cm und DF = 52 cm. Wie lang ist EF (in cm)?

✓ Antwort: 48
Der rechte Winkel ist bei E, also ist DF die Hypotenuse: EF² = 52² − 20² = 2704 − 400 = 2304, EF = 48 cm.
Zahleneingabe #4 35s ▶ Testen

Die Hypotenuse ist 12 cm lang, eine Kathete 5 cm. Berechne die andere Kathete (auf 0,1 cm genau).

✓ Antwort: 10.9
a² = 12² − 5² = 144 − 25 = 119, a = √119 ≈ 10,91 cm, gerundet 10,9 cm. Kontrolle: 10,9 < 12.