Die Raumdiagonale
Ein Quader hat die Grundfläche 12 cm × 5 cm und die Höhe 8 cm. Welche Rechnung liefert die Diagonale e der Grundfläche?
Erklärung: Die Grundfläche ist ein Rechteck mit den Seiten 12 cm und 5 cm. Seine Diagonale ist die Hypotenuse: e = √(144 + 25) = √169 = 13 cm. Die Höhe 8 cm gehört nicht dazu; mit ihr entsteht erst die Raumdiagonale.
Die Grundfläche eines Quaders ist 8 cm × 15 cm groß. Wie lang ist ihre Diagonale?
Erklärung: e² = 8² + 15² = 64 + 225 = 289, e = √289 = 17 cm. 23 addiert die Seiten, 289 ist das Quadrat ohne Wurzel.
Ein Quader hat die Kanten 6 cm, 8 cm und 24 cm. Die Diagonale der Grundfläche 6 cm × 8 cm ist 26 cm lang.
Erklärung: Die Grundflächendiagonale ist √(36 + 64) = 10 cm. Erst mit der Höhe 24 cm kommt 26 cm heraus: √(10² + 24²) = 26 – das ist die Raumdiagonale.
Die Grundfläche eines Quaders ist 24 cm × 32 cm groß. Wie lang ist ihre Diagonale (in cm)?
Erklärung: e² = 24² + 32² = 576 + 1024 = 1600, e = 40 cm.
Die Grundfläche eines Quaders ist 4 cm × 6 cm groß, die Höhe 3 cm. Wie lang ist die Diagonale der Grundfläche (auf 0,01 cm genau)?
Erklärung: e² = 4² + 6² = 16 + 36 = 52, e = √52 ≈ 7,211 cm, gerundet 7,21 cm. Die Höhe wird hier nicht gebraucht.
Ein Quader hat die Kanten a = 4 cm, b = 3 cm und c = 12 cm. Welche Rechnung liefert die Raumdiagonale d?
Erklärung: Zwei Schritte: e² = 4² + 3² = 25 (Grundfläche), dann d² = e² + 12² = 25 + 144 = 169. Zusammengefasst d = √(4² + 3² + 12²) = 13 cm. Die Wurzel gehört über die ganze Summe, nicht nur über einen Teil.
Ein Quader hat die Kanten 2 cm, 3 cm und 6 cm. Wie lang ist seine Raumdiagonale?
Erklärung: d² = 2² + 3² + 6² = 4 + 9 + 36 = 49, d = 7 cm. 11 addiert die Kanten, 49 ist das Quadrat ohne Wurzel.
Ein Quader mit den Kanten 1 cm, 2 cm und 2 cm hat die Raumdiagonale 5 cm.
Erklärung: Die Kanten zu addieren (1 + 2 + 2 = 5) geht nicht. Richtig: d = √(1 + 4 + 4) = √9 = 3 cm.
Ein Quader hat die Kanten 2 cm, 10 cm und 11 cm. Wie lang ist die Raumdiagonale (in cm)?
Erklärung: d² = 4 + 100 + 121 = 225, d = 15 cm.
Ein Quader hat die Kanten 6 cm, 8 cm und 5 cm. Wie lang ist die Raumdiagonale (auf 0,1 cm genau)?
Erklärung: e² = 6² + 8² = 100, d² = 100 + 5² = 125, d = √125 ≈ 11,18 cm, gerundet 11,2 cm.
Ein Quader hat die Kanten a, b und c. Zeichne ein Schrägbild mit der Diagonale e der Grundfläche und der Raumdiagonale d. Begründe mit zwei rechtwinkligen Dreiecken, dass d² = a² + b² + c² gilt.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Zwei Schritte: e² = a² + b², dann d² = e² + c² = a² + b² + c².
In einer quaderförmigen Kiste (innen 60 cm × 40 cm × 30 cm) soll ein möglichst langer gerader Stab liegen. Wie lang darf der Stab höchstens sein?
Erklärung: Der längste Stab liegt auf der Raumdiagonale: √(60² + 40² + 30²) = √6100 ≈ 78,1 cm. 72,1 cm wäre nur die Diagonale des Bodens (die Höhe fehlt), 130 cm die Summe der Kanten.
Ein 1 m langer Stab soll in eine Kiste mit den Innenmaßen 80 cm × 50 cm × 40 cm. Was gilt?
Erklärung: Der Stab darf schräg durch die ganze Kiste laufen: d = √(80² + 50² + 40²) = √10500 ≈ 102,5 cm > 100 cm. Die Kantenlänge (80 cm) und die Bodendiagonale (94,3 cm) sind nicht die Grenze.
Ein Würfel mit der Kante 1 cm hat die Raumdiagonale √3 cm.
Erklärung: d² = 1² + 1² + 1² = 3, also d = √3 ≈ 1,73 cm – länger als jede Kante.
Ein Würfel hat die Kante 10 cm. Wie lang ist seine Raumdiagonale (auf 0,1 cm genau)?
Erklärung: d² = 10² + 10² + 10² = 300, d = √300 ≈ 17,32 cm, gerundet 17,3 cm.
Ein Zimmer ist 5 m lang, 4 m breit und 3 m hoch. Wie lang ist die kürzeste Schnur von einer unteren Ecke zur gegenüberliegenden oberen Ecke (auf 0,1 m genau)?
Erklärung: Die Schnur folgt der Raumdiagonale: d² = 5² + 4² + 3² = 25 + 16 + 9 = 50, d = √50 ≈ 7,07 m, gerundet 7,1 m.