Die Raumdiagonale

Erst die Grundfläche

Ein Quader hat die Kanten a, b und c; hier ist c also eine Kante und nicht die Hypotenuse. Die Raumdiagonale verbindet zwei gegenüberliegende Ecken durch das Innere; sie liegt in keiner Seitenfläche. Man baut sie aus zwei rechtwinkligen Dreiecken. Zuerst die Diagonale e der Grundfläche: Sie ist die Hypotenuse mit den Katheten a und b, also $e^2=a^2+b^2$. Im Bild ist dieses Dreieck violett; sein rechter Winkel liegt an der vorderen rechten Ecke am Boden, zwischen a und b. Bei 4 × 3 ist $e^2=16+9=25$, also $e=5$ – auf dem Boden liegt das Dreieck 3, 4, 5. Im Schrägbild sind die Tiefenkanten verkürzt gezeichnet; gerechnet wird immer mit den wahren Längen.

Dann die Raumdiagonale

Die Diagonale e liegt waagerecht, die Kante c steht senkrecht darauf: ein zweites rechtwinkliges Dreieck. Im Bild steht es grün senkrecht auf dem violetten; sein rechter Winkel liegt hinten rechts am Boden, zwischen e und c. Seine Hypotenuse ist die Raumdiagonale d. Also $d^2=e^2+c^2=a^2+b^2+c^2$. Bei c = 2 ist $d^2=25+4=29$, also $d\approx 5,39$. So lang ist auch der längste gerade Stab, der in eine Kiste dieser Maße passt.

Beim Würfel mit der Kante a sind alle drei Kanten gleich:

$$d=\sqrt{a^2+a^2+a^2}=\sqrt{3}\cdot \sqrt{a^2}=a\sqrt{3}$$

Die Raumdiagonale ist also rund 1,73-mal so lang wie die Kante. Weder $a+b+c=4+3+2=9$ noch $\sqrt{a^2+b^2}+c=5+2=7$ ist die Raumdiagonale 5,39 des Quaders von oben: Beide Wege laufen an den Kanten entlang, die Raumdiagonale quer durch den Quader.

Rückblick

Seil, Leiter, Feld, gleichschenkliges Dreieck, zwei Punkte, Kiste: Jedes Mal hat dieselbe Frage die Rechnung gelöst. Wo ist der rechte Winkel? Die Seite gegenüber ist die Hypotenuse. Ihr Quadrat ist die Summe der beiden anderen Quadrate, also wird addiert, wenn sie gesucht ist, und subtrahiert, wenn eine Kathete gesucht ist. Die Wurzel kommt zum Schluss. Und das Dreieck 3, 4, 5 des Zimmermanns kam immer wieder vor: im Seil, in der Rechnung nach einer Kathete, im gleichschenkligen Dreieck und auf dem Boden des Quaders.

Ohne rechten Winkel gilt der Satz nicht, das hat das Bild mit dem Winkel γ bei der Umkehrung gezeigt. Es hat c² dort mit einer allgemeineren Regel berechnet, dem Kosinussatz. Er gilt in jedem Dreieck und wird bei γ = 90° wieder zu $a^2+b^2=c^2$. Der nächste Kurs beginnt mit den Seitenverhältnissen am rechtwinkligen Dreieck, aus denen diese Regel später entsteht.