Die Umkehrung
Ein Satz lautet: „Wenn ein Viereck ein Quadrat ist, dann hat es vier gleich lange Seiten.“ Welcher Satz ist seine Umkehrung?
Erklärung: Bei der Umkehrung tauschen Voraussetzung und Behauptung die Plätze. Der zweite Satz verneint beides, der dritte ist der ursprüngliche Satz.
Ein Handwerker misst ein Dreieck mit den Seiten 28 m, 45 m und 53 m und rechnet nach: 28² + 45² = 53². Was darf er daraus schließen?
Erklärung: Nach der Umkehrung ist das Dreieck rechtwinklig. Der rechte Winkel liegt der längsten Seite (53 m) gegenüber – also zwischen 28 m und 45 m. Nachmessen ist überflüssig.
Die Umkehrung des Satzes „Wenn ein Viereck ein Quadrat ist, sind alle seine Seiten gleich lang“ ist wahr.
Erklärung: Eine Raute mit der Seitenlänge 5 cm hat vier gleich lange Seiten, ist aber kein Quadrat. Nicht jede Umkehrung gilt. Beim Satz des Pythagoras gilt sie – das muss man aber eigens zeigen.
Gilt für die Seiten eines Dreiecks a² + b² = c², so ist es rechtwinklig. Diese Aussage heißt ___ des Satzes des Pythagoras.
Erklärung: Sie dreht den Satz um: Aus der Gleichung folgt der rechte Winkel.
Die Umkehrung von „Wenn n durch 4 teilbar ist, dann ist n gerade“ lautet „Wenn n gerade ist, dann ist n durch 4 teilbar“. Wie lautet die kleinste positive Zahl n, die diese Umkehrung widerlegt?
Erklärung: n = 2 ist gerade, aber nicht durch 4 teilbar – ein Gegenbeispiel. Ein einziges genügt, um die Umkehrung zu widerlegen.
Ein Dreieck hat die Seiten 15 cm, 36 cm und 39 cm. Welche Gleichung prüft, ob es rechtwinklig ist?
Erklärung: Die längste Seite (39 cm) spielt die Rolle von c und steht allein. 15² + 36² = 225 + 1296 = 1521 = 39², das Dreieck ist rechtwinklig. 15 + 36 = 39 addiert Längen.
Welches Dreieck ist rechtwinklig?
Erklärung: 9² + 40² = 81 + 1600 = 1681 = 41². Bei 4, 5, 6 ist 16 + 25 = 41 ≠36, bei 7, 9, 12 ist 49 + 81 = 130 ≠144.
Ein Dreieck hat die Seiten 5 cm, 6 cm und 8 cm. Es ist nicht rechtwinklig, denn 5² + 6² = 61, aber 8² = 64.
Erklärung: Nur genau gleich zählt: 61 ≠64. Das Dreieck sieht fast rechtwinklig aus (etwa 93°), ist es aber nicht.
Ein Dreieck hat die Seiten a = 9 cm, b = 12 cm und c = 16 cm. Berechne c² − (a² + b²).
Erklärung: c² = 256, a² + b² = 81 + 144 = 225. Die Differenz 256 − 225 = 31 ist nicht 0 – das Dreieck ist nicht rechtwinklig.
Sechs Dreiecke haben die Seiten (8, 15, 17), (9, 12, 16), (10, 24, 26), (7, 8, 11), (20, 21, 29) und (12, 13, 17) (in cm). Wie viele davon sind rechtwinklig?
Erklärung: 8² + 15² = 289 = 17² ✓; 9² + 12² = 225 ≠256 ✗; 10² + 24² = 676 = 26² ✓; 7² + 8² = 113 ≠121 ✗; 20² + 21² = 841 = 29² ✓; 12² + 13² = 313 ≠289 ✗. Drei Dreiecke sind rechtwinklig.
Ein Handwerker misst an einer Ecke die Längen 0,9 m, 1,2 m und 1,5 m. Prüfe rechnerisch, ob die Ecke rechtwinklig ist. Begründe, welche Länge du als c einsetzt.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: c ist die längste Länge. Beide Seiten der Gleichung ergeben 2,25 – die Ecke ist rechtwinklig.
Welche drei Zahlen bilden ein pythagoreisches Tripel?
Erklärung: 16² + 30² = 256 + 900 = 1156 = 34². Bei 32 wäre das Quadrat 1024, bei 36 wäre es 1296.
Ist (3 | 4 | 5) ein pythagoreisches Tripel, dann ist auch (9 | 12 | 15) eines.
Erklärung: 9² + 12² = 81 + 144 = 225 = 15². Multipliziert man alle drei Zahlen mit demselben Faktor (hier 3), bleibt die Gleichung erhalten: 3² · (3² + 4²) = 3² · 5².
Aus dem Tripel (5 | 12 | 13) entsteht durch Addieren von 1 zu jeder Zahl wieder ein Tripel, nämlich (6 | 13 | 14).
Erklärung: 6² + 13² = 36 + 169 = 205, aber 14² = 196. Ein Tripel bleibt nur beim Multiplizieren mit einem gemeinsamen Faktor erhalten, nicht beim Addieren.
Ergänze das Tripel (12 | 16 | ?).
Erklärung: 12² + 16² = 144 + 256 = 400 = 20². Es ist das 3-4-5-Tripel mal 4.
Ein Seil mit 60 gleichen Abschnitten wird zu einem Dreieck im Verhältnis 3 : 4 : 5 gespannt. Wie viele Abschnitte hat die kürzeste Seite?
Erklärung: 3 + 4 + 5 = 12, und 60 : 12 = 5. Jede Zahl wird mit 5 multipliziert: (15 | 20 | 25). Die kürzeste Seite hat 15 Abschnitte. Das Dreieck ist rechtwinklig, denn 15² + 20² = 25².