Die Umkehrung

The Converse

Mathematik Klasse 9 16 Aufgaben

GeometrieSatz des PythagorasBeweis

Die Umkehrung des Satzes vertauscht Voraussetzung und Behauptung: Gilt a² + b² = c², dann ist das Dreieck rechtwinklig. Eine Umkehrung ist nicht automatisch wahr – hier gilt sie und erklärt den Seilspanner mit den zwölf Knoten und die pythagoreischen Tripel. Beim Test steht die längste Seite als c. Räumt die Verwechslung von Satz und Umkehrung aus und das „fast gleich, also rechtwinklig“. Bereitet den Kosinussatz vor, in dem der Satz des Pythagoras als Spezialfall steckt.

Satz und Umkehrung

In der Einleitung hast du die zwölf Knotenabstände verteilt: Nur bei 3, 4 und 5 saß bei C ein rechter Winkel. Der Satz des Pythagoras erklärt das noch nicht. Er setzt den rechten Winkel schon voraus und sagt nur, was dann für die Seiten gilt. Der Zimmermann braucht die andere Richtung: von den Seiten zum Winkel.

Probiere diese Richtung im Bild aus. Die Seiten a = 3 und b = 4 liegen fest, der Winkel γ bei C zwischen ihnen ist frei, und die dritte Seite c spannt sich dazwischen.

Öffne den Winkel: Bei welchem γ wird c² genau a² + b² = 25 und c genau 5 – und gibt es einen zweiten solchen Winkel?

Bei 70° ist $c^{2} \approx 16, 8$ , also kleiner als 25; bei 110° ist $c^{2} \approx 33, 2$ , größer. Genau 25 wird es nur bei γ = 90°. Das ist die Umkehrung des Satzes. Der Satz sagt: Wenn ein Dreieck rechtwinklig ist, dann gilt $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ . Die Umkehrung tauscht die beiden Teile: Wenn $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ gilt, dann ist das Dreieck rechtwinklig, mit dem rechten Winkel gegenüber von c.

Eine Umkehrung ist nicht automatisch wahr: „Wenn ein Viereck ein Quadrat ist, hat es vier gleich lange Seiten“ stimmt, die Umkehrung nicht (Raute). Beim Satz des Pythagoras gilt sie, und das Bild ist nicht der einzige Grund: Zeichnet man ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten a und b, hat seine Hypotenuse nach dem Satz die Länge c. Nach dem Kongruenzsatz SSS legen drei Seitenlängen ein Dreieck bis auf Kongruenz fest; ein Dreieck mit den Seiten a, b und c ist also ebenfalls rechtwinklig. Darum bildet das Seil, zu 3 + 4 + 5 gespannt, einen rechten Winkel: $3^{2} + 4^{2} = 5^{2}$ .

Der Test

Ob ein Dreieck mit gegebenen Seiten rechtwinklig ist, klärt ein Test: Die längste Seite ist die mögliche Hypotenuse c. Rechne $a^{2} + b^{2}$ und $c^{2}$ aus. Sind beide genau gleich, ist das Dreieck rechtwinklig, sonst nicht. „Fast gleich“ genügt nicht: Bei den Seiten 5, 6 und 8 ist $5^{2} + 6^{2} = 61$ , aber $8^{2} = 64$ . Der Winkel gegenüber der 8 ist dann etwa 93°, wie im Bild oben ein γ knapp über 90°: c² ist ein wenig zu groß.

Pythagoreische Tripel

Drei natürliche Zahlen mit $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ heißen pythagoreisches Tripel: (3 | 4 | 5), (5 | 12 | 13), (8 | 15 | 17). Multipliziert man alle drei Zahlen mit demselben Faktor, entsteht wieder ein Tripel: (6 | 8 | 10), (9 | 12 | 15). Bauleute stecken damit noch heute rechte Winkel ab. Die Zahlen müssen ganz sein: Mit (1 | 1 | $2$ ) gilt die Gleichung ebenfalls, ein Tripel ist es nicht.

Vervielfache das Tripel (3 | 4 | 5) mit k. Bleibt die Gleichung erhalten?

Voraussetzungen (1)

Ein Beweis durch Zerlegen

Klasse 9

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Leicht

Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Ein Satz lautet: „Wenn ein Viereck ein Quadrat ist, dann hat es vier gleich lange Seiten.“ Welcher Satz ist seine Umkehrung?

● Wenn ein Viereck vier gleich lange Seiten hat, dann ist es ein Quadrat
○ Wenn ein Viereck kein Quadrat ist, dann hat es nicht vier gleich lange Seiten
○ Wenn ein Viereck ein Quadrat ist, dann hat es vier gleich lange Seiten

Bei der Umkehrung tauschen Voraussetzung und Behauptung die Plätze. Der zweite Satz verneint beides, der dritte ist der ursprüngliche Satz.

Multiple Choice #2 20s ▶ Testen

Ein Handwerker misst ein Dreieck mit den Seiten 28 m, 45 m und 53 m und rechnet nach: 28² + 45² = 53². Was darf er daraus schließen?

● Der Winkel zwischen den Seiten 28 m und 45 m ist ein rechter
○ Der Winkel zwischen den Seiten 28 m und 53 m ist ein rechter
○ Nichts – erst Nachmessen zeigt es

Nach der Umkehrung ist das Dreieck rechtwinklig. Der rechte Winkel liegt der längsten Seite (53 m) gegenüber – also zwischen 28 m und 45 m. Nachmessen ist überflüssig.

Wahr / Falsch #3 15s ▶ Testen

Die Umkehrung des Satzes „Wenn ein Viereck ein Quadrat ist, sind alle seine Seiten gleich lang“ ist wahr.

✓ Falsch

Eine Raute mit der Seitenlänge 5 cm hat vier gleich lange Seiten, ist aber kein Quadrat. Nicht jede Umkehrung gilt. Beim Satz des Pythagoras gilt sie – das muss man aber eigens zeigen.

Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Ein Dreieck hat die Seiten 15 cm, 36 cm und 39 cm. Welche Gleichung prüft, ob es rechtwinklig ist?

○ 15² + 39² = 36²
● 15² + 36² = 39²
○ 15 + 36 = 39

Die längste Seite (39 cm) spielt die Rolle von c und steht allein. 15² + 36² = 225 + 1296 = 1521 = 39², das Dreieck ist rechtwinklig. 15 + 36 = 39 addiert Längen.

Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Welches Dreieck ist rechtwinklig?

○ Seiten 4 cm, 5 cm, 6 cm
○ Seiten 7 cm, 9 cm, 12 cm
● Seiten 9 cm, 40 cm, 41 cm

9² + 40² = 81 + 1600 = 1681 = 41². Bei 4, 5, 6 ist 16 + 25 = 41 ≠ 36, bei 7, 9, 12 ist 49 + 81 = 130 ≠ 144.

Wahr / Falsch #6 15s ▶ Testen

Ein Dreieck hat die Seiten 5 cm, 6 cm und 8 cm. Es ist nicht rechtwinklig, denn 5² + 6² = 61, aber 8² = 64.

✓ Wahr

Nur genau gleich zählt: 61 ≠ 64. Das Dreieck sieht fast rechtwinklig aus (etwa 93°), ist es aber nicht.

Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Welche drei Zahlen bilden ein pythagoreisches Tripel?

○ 16, 30, 32
● 16, 30, 34
○ 16, 30, 36

16² + 30² = 256 + 900 = 1156 = 34². Bei 32 wäre das Quadrat 1024, bei 36 wäre es 1296.

Wahr / Falsch #8 15s ▶ Testen

Ist (3 | 4 | 5) ein pythagoreisches Tripel, dann ist auch (9 | 12 | 15) eines.

✓ Wahr

9² + 12² = 81 + 144 = 225 = 15². Multipliziert man alle drei Zahlen mit demselben Faktor (hier 3), bleibt die Gleichung erhalten: 3² · (3² + 4²) = 3² · 5².

Wahr / Falsch #9 15s ▶ Testen

Aus dem Tripel (5 | 12 | 13) entsteht durch Addieren von 1 zu jeder Zahl wieder ein Tripel, nämlich (6 | 13 | 14).

✓ Falsch

6² + 13² = 36 + 169 = 205, aber 14² = 196. Ein Tripel bleibt nur beim Multiplizieren mit einem gemeinsamen Faktor erhalten, nicht beim Addieren.

Mittel

Lückentext #1 20s ▶ Testen

Gilt für die Seiten eines Dreiecks a² + b² = c², so ist es rechtwinklig. Diese Aussage heißt ___ des Satzes des Pythagoras.

✓ Antwort: Umkehrung

Sie dreht den Satz um: Aus der Gleichung folgt der rechte Winkel.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Ein Dreieck hat die Seiten a = 9 cm, b = 12 cm und c = 16 cm. Berechne c² − (a² + b²).

✓ Antwort: 31

c² = 256, a² + b² = 81 + 144 = 225. Die Differenz 256 − 225 = 31 ist nicht 0 – das Dreieck ist nicht rechtwinklig.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Ergänze das Tripel (12 | 16 | ?).

✓ Antwort: 20

12² + 16² = 144 + 256 = 400 = 20². Es ist das 3-4-5-Tripel mal 4.

Schwer

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Die Umkehrung von „Wenn n durch 4 teilbar ist, dann ist n gerade“ lautet „Wenn n gerade ist, dann ist n durch 4 teilbar“. Wie lautet die kleinste positive Zahl n, die diese Umkehrung widerlegt?

✓ Antwort: 2

n = 2 ist gerade, aber nicht durch 4 teilbar – ein Gegenbeispiel. Ein einziges genügt, um die Umkehrung zu widerlegen.

Zahleneingabe #2 60s ▶ Testen

Sechs Dreiecke haben die Seiten (8, 15, 17), (9, 12, 16), (10, 24, 26), (7, 8, 11), (20, 21, 29) und (12, 13, 17) (in cm). Wie viele davon sind rechtwinklig?

✓ Antwort: 3

8² + 15² = 289 = 17² ✓; 9² + 12² = 225 ≠ 256 ✗; 10² + 24² = 676 = 26² ✓; 7² + 8² = 113 ≠ 121 ✗; 20² + 21² = 841 = 29² ✓; 12² + 13² = 313 ≠ 289 ✗. Drei Dreiecke sind rechtwinklig.

KI-bewertete Rechnung #3 240s ▶ Testen

Ein Handwerker misst an einer Ecke die Längen 0,9 m, 1,2 m und 1,5 m. Prüfe rechnerisch, ob die Ecke rechtwinklig ist. Begründe, welche Länge du als c einsetzt. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Die längste Länge 1,5 m ist c. 0,9² + 1,2² = 0,81 + 1,44 = 2,25 und 1,5² = 2,25. Die Gleichung gilt, also ist die Ecke nach der Umkehrung des Satzes des Pythagoras rechtwinklig.

c ist die längste Länge. Beide Seiten der Gleichung ergeben 2,25 – die Ecke ist rechtwinklig.

Zahleneingabe #4 40s ▶ Testen

Ein Seil mit 60 gleichen Abschnitten wird zu einem Dreieck im Verhältnis 3 : 4 : 5 gespannt. Wie viele Abschnitte hat die kürzeste Seite?

✓ Antwort: 15

3 + 4 + 5 = 12, und 60 : 12 = 5. Jede Zahl wird mit 5 multipliziert: (15 | 20 | 25). Die kürzeste Seite hat 15 Abschnitte. Das Dreieck ist rechtwinklig, denn 15² + 20² = 25².