Bruchgleichungen mit xÂČ
FĂŒr welche Zahlen ist die Gleichung 5/(x â 3) + 1/x = 2 nicht erklĂ€rt?
ErklĂ€rung: Nicht erklĂ€rt ist ein Bruch, wenn sein Nenner 0 ist: x â 3 = 0 fĂŒr x = 3 und x = 0 beim zweiten Bruch. Wer nur den ersten Bruch beachtet, vergisst x = 0, und x = â3 macht keinen Nenner 0.
Die Gleichung 4/(xÂČ â 9) = 1 ist fĂŒr x = 3 und fĂŒr x = â3 nicht erklĂ€rt.
ErklĂ€rung: Der Nenner xÂČ â 9 ist 0, wenn xÂČ = 9 gilt, also fĂŒr x = 3 und x = â3. Beide Zahlen mĂŒssen aus der Definitionsmenge herausgenommen werden.
Der Graph von f(x) = 2/(x â 3) + 1/(x + 2) hat senkrechte LĂŒcken. FĂŒr welche Zahlen ist die Gleichung f(x) = 1 nicht erklĂ€rt?
ErklĂ€rung: Die Nenner x â 3 und x + 2 sind 0 fĂŒr x = 3 und x = â2. Genau dort reiĂt der Graph. Die anderen Auswahlen vertauschen das Vorzeichen: x â 3 = 0 ergibt x = 3, x + 2 = 0 ergibt x = â2.
Welche Zahl muss man aus der Definitionsmenge von 8/(2x â 6) = 4 ausschlieĂen?
ErklĂ€rung: Der Nenner 2x â 6 ist 0, wenn 2x = 6 gilt, also fĂŒr x = 3. Die Zahl 6 ist nur die Konstante im Nenner, nicht die verbotene Stelle.
Wie viele der Zahlen â2, â1, 0, 1, 2 gehören nicht zur Definitionsmenge der Gleichung 1/(xÂČ â 1) + 1/x = 3?
ErklĂ€rung: xÂČ â 1 = 0 gilt fĂŒr x = 1 und x = â1, dazu kommt x = 0 im zweiten Nenner. Ausgeschlossen sind â1, 0 und 1, das sind drei Zahlen; â2 und 2 sind erlaubt.
Die Gleichung x + 6/x = 5 wird mit x multipliziert, damit der Bruch wegfÀllt. Welche Gleichung entsteht?
ErklĂ€rung: Jeder Summand wird mit x multipliziert: x · x = xÂČ, 6/x · x = 6 und 5 · x = 5x. Bei x + 6 = 5x wurde das erste x nicht mitmultipliziert, bei xÂČ + 6 = 5 fehlt das x auf der rechten Seite.
Multipliziert man 2/x + 3 = 1 mit x, so entsteht 2 + 3 = x.
ErklÀrung: Auch der Summand 3 wird mit x multipliziert: 2/x · x + 3 · x = 1 · x, also 2 + 3x = x. Wer nur den Bruch mit x multipliziert, lÀsst die anderen Summanden unverÀndert.
Bei 2/(x â 3) + 1/x = 4 ist der Hauptnenner x · (x â ___).
ErklĂ€rung: Die beiden Nenner sind x â 3 und x. Der Hauptnenner enthĂ€lt beide Faktoren: x · (x â 3).
Löse 1/x + 1/(x + 2) = 3/4. Wie lautet die positive Lösung?
ErklĂ€rung: Hauptnenner 4x(x + 2): 4(x + 2) + 4x = 3x(x + 2), also 8x + 8 = 3xÂČ + 6x und 3xÂČ â 2x â 8 = 0. Die Lösungsformel ergibt x = (2 ± 10) : 6, also x = 2 oder x = â4/3. Positiv ist nur x = 2; Probe: 1/2 + 1/4 = 3/4.
Gezeichnet sind f(x) = xÂČ/(x â 3) und g(x) = 9/(x â 3). Wie viele Lösungen hat die Gleichung f(x) = g(x)?
ErklĂ€rung: Multipliziert man mit x â 3, entsteht xÂČ = 9 mit den Kandidaten 3 und â3. Bei x = 3 haben beide Graphen eine LĂŒcke, dort gibt es keinen Schnittpunkt. Nur x = â3 bleibt: ein Schnittpunkt, eine Lösung.
Die Gleichung x/(x â 3) = 3/(x â 3) hat die Lösung x = 3.
ErklĂ€rung: Nach dem Multiplizieren mit x â 3 folgt x = 3. Diese Zahl macht aber beide Nenner 0 und gehört nicht zur Definitionsmenge. Die Gleichung hat keine Lösung, L ist leer.
Aus xÂČ/(x â 4) = 16/(x â 4) entsteht nach dem Multiplizieren mit x â 4 die Gleichung xÂČ = 16. Welche der beiden Lösungen von xÂČ = 16 bleibt Lösung der Bruchgleichung?
ErklĂ€rung: Die Kandidaten sind 4 und â4. FĂŒr x = 4 wird der Nenner x â 4 zu 0, also fĂ€llt 4 weg. FĂŒr x = â4 gilt (â4)ÂČ/(â8) = â2 und 16/(â8) = â2. Es bleibt x = â4.
Löse x/(x â 1) = 1/(x â 1) + x â 1. Wie lautet die Lösung?
ErklĂ€rung: Mit (x â 1) multipliziert: x = 1 + (x â 1)ÂČ, also x = 1 + xÂČ â 2x + 1 und xÂČ â 3x + 2 = 0. Das gibt x = 1 oder x = 2. Die Zahl 1 macht den Nenner 0 und ist eine Scheinlösung; bleibt x = 2. Probe: 2/1 = 1/1 + 1.
Löse die Gleichung 2/(x â 1) + 1/(x + 1) = 4/(xÂČ â 1) + 1.
Gib zuerst die Definitionsmenge an, multipliziere jeden Summanden mit dem Hauptnenner, löse die entstehende
quadratische Gleichung, prĂŒfe jede Lösung gegen die Definitionsmenge und mache die Probe an der Ausgangsgleichung.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
ErklĂ€rung: Zuerst D = â \ {â1; 1}. Nach dem Multiplizieren mit xÂČ â 1 bleibt xÂČ â 3x + 2 = 0 mit x = 1 oder x = 2. Die Zahl 1 macht einen Nenner 0 und wird verworfen, x = 2 erfĂŒllt die Ausgangsgleichung: L = {2}.