Bruchgleichungen mit x²

Fractional equations with x²

Mathematik Klasse 9 14 Aufgaben

AlgebraGleichungenRational

Steht die Unbekannte im Nenner, hält man zuerst die Definitionsmenge fest (Nenner ungleich 0), multipliziert dann jeden Summanden mit dem Hauptnenner und löst die entstehende quadratische Gleichung. Zum Schluss wird jede Lösung gegen die Definitionsmenge geprüft: Eine Zahl, die einen Nenner 0 macht, ist eine Scheinlösung. Der Abschnitt räumt aus, nur die Brüche zu multiplizieren (Kirshner und Awtry 2004) oder beide Wurzeln ungeprüft zu übernehmen. Zielort: der Schnitt einer Geraden mit einer Hyperbel im nächsten Abschnitt.

Definitionsmenge und Hauptnenner

Gesucht ist die Lösung von $\frac{3}{x - 1} - \frac{2}{x + 1} = 1$ . Ein Bruch ist nur erklärt, wenn sein Nenner nicht 0 ist. Hier scheiden x = 1 und x = −1 aus: Die Definitionsmenge ist $D = R ∖ {- 1; 1}$ . Zuerst schreibt man D auf, dann räumt man die Brüche weg: Man multipliziert die ganze Gleichung mit dem Hauptnenner $(x - 1) (x + 1)$ , und zwar jeden Summanden, auch die 1 auf der rechten Seite. Es entsteht $3 (x + 1) - 2 (x - 1) = (x - 1) (x + 1)$ , ausmultipliziert $x + 5 = x^{2} - 1$ , also $x^{2} - x - 6 = 0$ . Vergisst man einen Summanden, rechnet man eine andere Gleichung: Aus $\frac{5}{x} + 2 = 4$ wird mit x nicht $5 + 2 = 4 x$ , sondern $5 + 2 x = 4 x$ .

Der Graph der linken Seite reißt an zwei gestrichelten Stellen. Was haben sie mit den Nennern zu tun?

Lösen und prüfen

Die Gleichung $x^{2} - x - 6 = 0$ hat nach der Lösungsformel die Lösungen $x = \frac{1 \pm 5}{2}$ , also x = 3 und x = −2. Beide gehören zu D, es ist $L = {- 2; 3}$ . Nicht immer bleibt jede Lösung übrig: In $\frac{x ^{2}}{x - 2} = \frac{4}{x - 2}$ folgt nach dem Multiplizieren mit x − 2 die Gleichung x² = 4, also x = 2 oder x = −2. Doch 2 gehört nicht zu $D = R ∖ {2}$ : Die Zahl ist eine Scheinlösung und wird verworfen. Es bleibt $L = {- 2}$ . Darum steht die Prüfung gegen D am Ende jeder Bruchgleichung. Das ist keine Formsache: Setzt man x = 2 in die Ausgangsgleichung ein, steht beide Male ein Bruch mit dem Nenner 0. Solche Zahlen findet man sicher, wenn man die Probe an der Ausgangsgleichung macht und nicht an der umgeformten.

Stelle k ein. Der Chip √k − 2 ist der Nenner an der Stelle √k. Wann wird er 0?

Ermöglicht (1)

Gerade schneidet Kurve

Klasse 9

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Leicht

Multiple Choice #1 30s ▶ Testen

Für welche Zahlen ist die Gleichung 5/(x − 3) + 1/x = 2 nicht erklärt?

● x = 0 und x = 3
○ x = 3
○ x = 0 und x = −3

Nicht erklärt ist ein Bruch, wenn sein Nenner 0 ist: x − 3 = 0 für x = 3 und x = 0 beim zweiten Bruch. Wer nur den ersten Bruch beachtet, vergisst x = 0, und x = −3 macht keinen Nenner 0.

Wahr / Falsch #2 25s ▶ Testen

Die Gleichung 4/(x² − 9) = 1 ist für x = 3 und für x = −3 nicht erklärt.

✓ Wahr

Der Nenner x² − 9 ist 0, wenn x² = 9 gilt, also für x = 3 und x = −3. Beide Zahlen müssen aus der Definitionsmenge herausgenommen werden.

Multiple Choice #3 30s ▶ Testen

Der Graph von f(x) = 2/(x − 3) + 1/(x + 2) hat senkrechte Lücken. Für welche Zahlen ist die Gleichung f(x) = 1 nicht erklärt?

● x = 3 und x = −2
○ x = 3 und x = 2
○ x = −3 und x = 2

Die Nenner x − 3 und x + 2 sind 0 für x = 3 und x = −2. Genau dort reißt der Graph. Die anderen Auswahlen vertauschen das Vorzeichen: x − 3 = 0 ergibt x = 3, x + 2 = 0 ergibt x = −2.

Multiple Choice #4 30s ▶ Testen

Die Gleichung x + 6/x = 5 wird mit x multipliziert, damit der Bruch wegfällt. Welche Gleichung entsteht?

● x² + 6 = 5x
○ x + 6 = 5x
○ x² + 6 = 5

Jeder Summand wird mit x multipliziert: x · x = x², 6/x · x = 6 und 5 · x = 5x. Bei x + 6 = 5x wurde das erste x nicht mitmultipliziert, bei x² + 6 = 5 fehlt das x auf der rechten Seite.

Wahr / Falsch #5 25s ▶ Testen

Multipliziert man 2/x + 3 = 1 mit x, so entsteht 2 + 3 = x.

✓ Falsch

Auch der Summand 3 wird mit x multipliziert: 2/x · x + 3 · x = 1 · x, also 2 + 3x = x. Wer nur den Bruch mit x multipliziert, lässt die anderen Summanden unverändert.

Multiple Choice #6 35s ▶ Testen

Gezeichnet sind f(x) = x²/(x − 3) und g(x) = 9/(x − 3). Wie viele Lösungen hat die Gleichung f(x) = g(x)?

● 1
○ 2
○ 0

Multipliziert man mit x − 3, entsteht x² = 9 mit den Kandidaten 3 und −3. Bei x = 3 haben beide Graphen eine Lücke, dort gibt es keinen Schnittpunkt. Nur x = −3 bleibt: ein Schnittpunkt, eine Lösung.

Wahr / Falsch #7 25s ▶ Testen

Die Gleichung x/(x − 3) = 3/(x − 3) hat die Lösung x = 3.

✓ Falsch

Nach dem Multiplizieren mit x − 3 folgt x = 3. Diese Zahl macht aber beide Nenner 0 und gehört nicht zur Definitionsmenge. Die Gleichung hat keine Lösung, L ist leer.

Mittel

Zahleneingabe #1 25s ▶ Testen

Welche Zahl muss man aus der Definitionsmenge von 8/(2x − 6) = 4 ausschließen?

✓ Antwort: 3

Der Nenner 2x − 6 ist 0, wenn 2x = 6 gilt, also für x = 3. Die Zahl 6 ist nur die Konstante im Nenner, nicht die verbotene Stelle.

Lückentext #2 15s ▶ Testen

Bei 2/(x − 3) + 1/x = 4 ist der Hauptnenner x · (x − ___).

✓ Antwort: 3

Die beiden Nenner sind x − 3 und x. Der Hauptnenner enthält beide Faktoren: x · (x − 3).

Zahleneingabe #3 35s ▶ Testen

Aus x²/(x − 4) = 16/(x − 4) entsteht nach dem Multiplizieren mit x − 4 die Gleichung x² = 16. Welche der beiden Lösungen von x² = 16 bleibt Lösung der Bruchgleichung?

✓ Antwort: -4

Die Kandidaten sind 4 und −4. Für x = 4 wird der Nenner x − 4 zu 0, also fällt 4 weg. Für x = −4 gilt (−4)²/(−8) = −2 und 16/(−8) = −2. Es bleibt x = −4.

Schwer

Zahleneingabe #1 35s ▶ Testen

Wie viele der Zahlen −2, −1, 0, 1, 2 gehören nicht zur Definitionsmenge der Gleichung 1/(x² − 1) + 1/x = 3?

✓ Antwort: 3

x² − 1 = 0 gilt für x = 1 und x = −1, dazu kommt x = 0 im zweiten Nenner. Ausgeschlossen sind −1, 0 und 1, das sind drei Zahlen; −2 und 2 sind erlaubt.

Zahleneingabe #2 75s ▶ Testen

Löse 1/x + 1/(x + 2) = 3/4. Wie lautet die positive Lösung?

✓ Antwort: 2

Hauptnenner 4x(x + 2): 4(x + 2) + 4x = 3x(x + 2), also 8x + 8 = 3x² + 6x und 3x² − 2x − 8 = 0. Die Lösungsformel ergibt x = (2 ± 10) : 6, also x = 2 oder x = −4/3. Positiv ist nur x = 2; Probe: 1/2 + 1/4 = 3/4.

Zahleneingabe #3 70s ▶ Testen

Löse x/(x − 1) = 1/(x − 1) + x − 1. Wie lautet die Lösung?

✓ Antwort: 2

Mit (x − 1) multipliziert: x = 1 + (x − 1)², also x = 1 + x² − 2x + 1 und x² − 3x + 2 = 0. Das gibt x = 1 oder x = 2. Die Zahl 1 macht den Nenner 0 und ist eine Scheinlösung; bleibt x = 2. Probe: 2/1 = 1/1 + 1.

KI-bewertete Rechnung #4 300s ▶ Testen

Löse die Gleichung 2/(x − 1) + 1/(x + 1) = 4/(x² − 1) + 1. Gib zuerst die Definitionsmenge an, multipliziere jeden Summanden mit dem Hauptnenner, löse die entstehende quadratische Gleichung, prüfe jede Lösung gegen die Definitionsmenge und mache die Probe an der Ausgangsgleichung. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: D = ℝ \ {−1; 1}, denn x² − 1 = (x − 1)(x + 1). Hauptnenner x² − 1, jeden Summanden multiplizieren, auch die 1 rechts: 2(x + 1) + (x − 1) = 4 + (x² − 1), also 3x + 1 = x² + 3 und x² − 3x + 2 = 0. Lösungsformel: x = (3 ± 1) : 2, also x = 2 oder x = 1. Die Zahl 1 gehört nicht zu D (Nenner 0) und ist eine Scheinlösung. Probe für x = 2: links 2/1 + 1/3 = 7/3, rechts 4/3 + 1 = 7/3. L = {2}.

Zuerst D = ℝ \ {−1; 1}. Nach dem Multiplizieren mit x² − 1 bleibt x² − 3x + 2 = 0 mit x = 1 oder x = 2. Die Zahl 1 macht einen Nenner 0 und wird verworfen, x = 2 erfüllt die Ausgangsgleichung: L = {2}.