Extremwertprobleme
Ein Rechteck mit den Seiten a und b hat den Umfang 30 m. Seine Fläche ist A = a · b. Welche Funktion beschreibt A in Abhängigkeit von a?
Erklärung: Der Umfang ist 2a + 2b = 30, also a + b = 15 und b = 15 − a. Damit ist A(a) = a · (15 − a). Bei a · (30 − a) wurde der Faktor 2 im Umfang vergessen, bei a · 15 wurde b nicht durch a ausgedrückt.
Ein Rechteck hat den Umfang 20 m. Für seine Fläche gilt in Abhängigkeit von a die Funktion A(a) = a · (10 − a).
Erklärung: Aus 2a + 2b = 20 folgt b = 10 − a. Setzt man das in A = a · b ein, ergibt sich A(a) = a · (10 − a) = −a² + 10a.
Ein Gehege an einer Hauswand wird mit 40 m Zaun an drei Seiten umzäunt (2b + l = 40). Wie lang ist die Seite l an der Wand, wenn die Breite b = 5 m beträgt?
Erklärung: Aus der Nebenbedingung folgt l = 40 − 2b. Mit b = 5 ist l = 40 − 10 = 30 m. Wer 40 − 5 rechnet, vergisst, dass die Breite zweimal vorkommt.
Ein Rechteck hat den Umfang 60 m. Eine Seite ist 12 m lang. Wie groß ist die Fläche in m²?
Erklärung: Aus 2 · 12 + 2b = 60 folgt b = 18 m. Die Fläche ist 12 · 18 = 216 m². Dasselbe liefert die Funktion A(a) = a · (30 − a) an der Stelle a = 12.
Welche dieser Funktionen hat einen größten Funktionswert?
Erklärung: Bei a = −3 < 0 öffnet die Parabel nach unten, ihr Scheitel S(2 | 12) ist der höchste Punkt. Bei a = 3 > 0 ist der Scheitel der tiefste Punkt (ein Minimum), und die lineare Funktion 12x − 3 hat weder Maximum noch Minimum.
Die Stückkosten K(x) = 0,5x² − 6x + 40 (x Stück, K in €) haben ihr Minimum bei x = 6.
Erklärung: Wegen a = 0,5 > 0 öffnet die Parabel nach oben, im Scheitel liegt das Minimum. Seine x-Koordinate ist x = 6 : (2 · 0,5) = 6. Die kleinsten Kosten sind K(6) = 18 − 36 + 40 = 22 €.
Bei welchem x nimmt g(x) = −x² + 6x + 1 sein Maximum an?
Erklärung: Ergänzen: g(x) = −(x − 3)² + 10. Der Scheitel ist S(3 | 10), der größte Wert 10 wird bei x = 3 angenommen. Kontrolle mit x = −6 : (2 · (−1)) = 3.
Zwei Zahlen haben die Summe 12. Wie groß kann ihr Produkt höchstens werden?
Erklärung: Sind x und 12 − x die Zahlen, ist das Produkt P(x) = x · (12 − x) = −x² + 12x = −(x − 6)² + 36. Das Maximum 36 liegt beim Scheitel x = 6: beide Zahlen sind 6.
Ein Landwirt hat 50 m Zaun und will damit an einer Hauswand ein rechteckiges Gehege an drei Seiten
umzäunen (die Wand braucht keinen Zaun). Bezeichne die Breite (senkrecht zur Wand) mit b und die Länge mit l.
Stelle die Nebenbedingung und die Zielfunktion A(b) auf, gib den Definitionsbereich an, bestimme den
Scheitel durch Ergänzen und formuliere einen Antwortsatz mit Breite, Länge und größter Fläche.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Mit l = 50 − 2b wird A(b) = −2b² + 50b. Ergänzen ergibt den Scheitel S(12,5 | 312,5), der im Definitionsbereich 0 < b < 25 liegt. Optimalstelle b = 12,5 m, Optimalwert A = 312,5 m².
Die Zielfunktion A(b) = −2b² + 40b (b in m, A in m²) hat den Scheitel S(10 | 200). Wie groß ist die größte Fläche?
Erklärung: Die Fläche ist der Funktionswert, also die y-Koordinate 200 des Scheitels. Die 10 ist die x-Koordinate, die Breite in m und keine Fläche. 210 ergibt sich, wenn man beide Koordinaten addiert.
Der Graph zeigt den Gewinn G(x) in € bei x verkauften Stück. Bei welcher Stückzahl x ist der Gewinn am größten?
Erklärung: Die Frage nach der Stückzahl fragt nach der Optimalstelle, also nach der x-Koordinate des höchsten Punktes: x = 20. Die 600 ist der zugehörige Gewinn (Optimalwert), und bei x = 40 endet der gezeichnete Graph, dort ist der Gewinn wieder negativ.
Der Graph zeigt A(b) = −2b² + 40b mit dem Scheitel S(10 | 200). Die größte Fläche beträgt 10 m².
Erklärung: Die 10 ist die Optimalstelle (die Breite b in m). Die größte Fläche ist der y-Wert des Scheitels: 200 m².
Die Zielfunktion V(r) = −r² + 6r hat den Scheitel S(3 | 9). Wie groß ist der größte Wert von V?
Erklärung: Der größte Funktionswert ist die y-Koordinate des Scheitels, also 9. Die 3 ist die Stelle r, an der V ihn annimmt.
Der Gewinn einer Firma beträgt G(x) = −2x² + 60x − 100 € bei x verkauften Stück. Wie hoch ist der größtmögliche Gewinn in €?
Erklärung: Der Scheitel liegt bei x = −60 : (2 · (−2)) = 15. Der größte Gewinn ist G(15) = −2 · 225 + 60 · 15 − 100 = −450 + 900 − 100 = 350 €. Die 15 wäre nur die Stückzahl.
Für das Gehege gilt l = 40 − 2b. Die Hauswand ist nur 12 m lang, also l ≤ 12. Welcher Definitionsbereich gilt für die Breite b?
Erklärung: Aus 40 − 2b ≤ 12 folgt 2b ≥ 28, also b ≥ 14. Oben bleibt b < 20, weil l positiv sein muss. Der Bereich 0 < b < 20 gilt nur ohne die Wandgrenze, und b ≤ 12 verwechselt die Länge l mit der Breite b.
Der Graph zeigt A(b) = −2b² + 40b; grün ist der erlaubte Bereich bei 12 m Wandlänge markiert. Dann ist die Fläche bei b = 10 am größten.
Erklärung: Der Scheitel bei b = 10 liegt links vom erlaubten Bereich 14 ≤ b < 20. Im erlaubten Bereich fällt die Parabel, die größte Fläche steht am linken Rand b = 14: A = 14 · 12 = 168 m².
Die Hauswand ist nur 12 m lang. Wie klein darf die Breite b des Geheges mit l = 40 − 2b höchstens sein? Gib das kleinste erlaubte b in m an.
Erklärung: Aus l ≤ 12 folgt 40 − 2b ≤ 12, also 2b ≥ 28 und b ≥ 14. Das kleinste erlaubte b ist 14 m.
Die Hauswand ist nur 12 m lang. Wie groß ist die größte Fläche des Geheges in m²?
Erklärung: Der Scheitel b = 10 ist wegen b ≥ 14 nicht erlaubt. Auf 14 ≤ b < 20 fällt A(b), also steht das Maximum bei b = 14: l = 40 − 28 = 12 m und A = 14 · 12 = 168 m². Die 200 m² des Scheitels sind nicht erreichbar.