Extremwertprobleme

Extremum problems

Mathematik Klasse 9 18 Aufgaben
FunktionenQuadratischOptimierung

Ein Extremwertproblem sucht die größte oder kleinste Größe unter einer Bedingung. Man schreibt die Zielgröße auf, löst die Nebenbedingung nach einer Variablen auf und setzt ein, bis eine quadratische Zielfunktion entsteht; ihr Scheitel liefert das Optimum. Der Abschnitt trennt die Optimalstelle (x-Wert) vom Optimalwert (y-Wert) und räumt aus, den Scheitel blind zu übernehmen: Er muss im Definitionsbereich liegen, sonst steht das Optimum am Rand. Der Zaun am Haus dient als durchgehendes Beispiel. Zielort: Extremstellen mit der Ableitung (Jahrgangsstufe 11) und das Modellieren im letzten Abschnitt.

Zielgröße und Nebenbedingung

Ein Landwirt hat 40 m Zaun und baut ein rechteckiges Gehege an einer Hauswand; die Wand braucht keinen Zaun. Wie groß kann die Fläche werden? Gesucht ist die größte Fläche A = b · l (die Zielgröße) mit der Breite b und der Länge l. Sie hängt von zwei Variablen ab. Die Nebenbedingung verbindet beide: , also . Setzt man das ein, hängt A nur noch von b ab: . Für b = 4 m ist zum Beispiel l = 32 m und A = 128 m².

Verändere die Breite b. Wie verändern sich l und die rot gefärbte Fläche A?

Der Scheitel liefert das Optimum

ist eine Parabel mit a = −2 < 0, sie öffnet nach unten, und ihr Scheitel ist der höchste Punkt. Durch Ergänzen erhält man und damit den Scheitel S(10 | 200); ohne Ergänzen liefert die Formel für den Scheitel dieselbe Stelle. Die Optimalstelle ist b = 10 m, dann ist l = 20 m. Der Optimalwert ist die Fläche A = 200 m². Antwortsatz: Bei 10 m Breite und 20 m Länge ist die Fläche mit 200 m² am größten. Die 200 ist der y-Wert des Scheitels, nicht der x-Wert.

Schiebe P über den Graphen. Bei welchem b ist A(b) am größten?

Der Definitionsbereich

Der Scheitel darf nur gewählt werden, wenn er zur Sachlage passt. Hier gilt 0 < b < 20, denn l muss positiv sein; die erlaubten Werte von b heißen Definitionsbereich. Ist die Wand nur 12 m lang, muss l ≤ 12 gelten, also und . Der Scheitel bei b = 10 liegt außerhalb dieses Definitionsbereichs. Auf dem erlaubten Stück fällt die Parabel, deshalb steht das Maximum am Rand: b = 14, l = 12, A = 168 m². Bei jedem Extremwertproblem gehört also die Frage dazu, ob der Scheitel im Definitionsbereich liegt.

Verändere die Wandlänge L. Ab welchem L fällt das Optimum Q mit dem Scheitel S zusammen?

Ermöglicht (1)

Modellieren und prüfen
Klasse 9
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Leicht
Multiple Choice #1 35s ▶ Testen

Ein Rechteck mit den Seiten a und b hat den Umfang 30 m. Seine Fläche ist A = a · b. Welche Funktion beschreibt A in Abhängigkeit von a?

  • ● A(a) = a · (15 − a)
  • ○ A(a) = a · (30 − a)
  • ○ A(a) = a · 15
Der Umfang ist 2a + 2b = 30, also a + b = 15 und b = 15 − a. Damit ist A(a) = a · (15 − a). Bei a · (30 − a) wurde der Faktor 2 im Umfang vergessen, bei a · 15 wurde b nicht durch a ausgedrückt.
Wahr / Falsch #2 25s ▶ Testen

Ein Rechteck hat den Umfang 20 m. Für seine Fläche gilt in Abhängigkeit von a die Funktion A(a) = a · (10 − a).

✓ Wahr
Aus 2a + 2b = 20 folgt b = 10 − a. Setzt man das in A = a · b ein, ergibt sich A(a) = a · (10 − a) = −a² + 10a.
Multiple Choice #3 25s ▶ Testen

Welche dieser Funktionen hat einen größten Funktionswert?

  • ● f(x) = −3x² + 12x
  • ○ f(x) = 3x² − 12x
  • ○ f(x) = 12x − 3
Bei a = −3 < 0 öffnet die Parabel nach unten, ihr Scheitel S(2 | 12) ist der höchste Punkt. Bei a = 3 > 0 ist der Scheitel der tiefste Punkt (ein Minimum), und die lineare Funktion 12x − 3 hat weder Maximum noch Minimum.
Wahr / Falsch #4 30s ▶ Testen

Die Stückkosten K(x) = 0,5x² − 6x + 40 (x Stück, K in €) haben ihr Minimum bei x = 6.

✓ Wahr
Wegen a = 0,5 > 0 öffnet die Parabel nach oben, im Scheitel liegt das Minimum. Seine x-Koordinate ist x = 6 : (2 · 0,5) = 6. Die kleinsten Kosten sind K(6) = 18 − 36 + 40 = 22 €.
Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Die Zielfunktion A(b) = −2b² + 40b (b in m, A in m²) hat den Scheitel S(10 | 200). Wie groß ist die größte Fläche?

  • ● 200 m²
  • ○ 10 m²
  • ○ 210 m²
Die Fläche ist der Funktionswert, also die y-Koordinate 200 des Scheitels. Die 10 ist die x-Koordinate, die Breite in m und keine Fläche. 210 ergibt sich, wenn man beide Koordinaten addiert.
Multiple Choice #6 30s ▶ Testen

Der Graph zeigt den Gewinn G(x) in € bei x verkauften Stück. Bei welcher Stückzahl x ist der Gewinn am größten?

  • ● 20
  • ○ 600
  • ○ 40
Die Frage nach der Stückzahl fragt nach der Optimalstelle, also nach der x-Koordinate des höchsten Punktes: x = 20. Die 600 ist der zugehörige Gewinn (Optimalwert), und bei x = 40 endet der gezeichnete Graph, dort ist der Gewinn wieder negativ.
Wahr / Falsch #7 20s ▶ Testen

Der Graph zeigt A(b) = −2b² + 40b mit dem Scheitel S(10 | 200). Die größte Fläche beträgt 10 m².

✓ Falsch
Die 10 ist die Optimalstelle (die Breite b in m). Die größte Fläche ist der y-Wert des Scheitels: 200 m².
Multiple Choice #8 40s ▶ Testen

Für das Gehege gilt l = 40 − 2b. Die Hauswand ist nur 12 m lang, also l ≤ 12. Welcher Definitionsbereich gilt für die Breite b?

  • ● 14 ≤ b < 20
  • ○ 0 < b < 20
  • ○ 0 < b ≤ 12
Aus 40 − 2b ≤ 12 folgt 2b ≥ 28, also b ≥ 14. Oben bleibt b < 20, weil l positiv sein muss. Der Bereich 0 < b < 20 gilt nur ohne die Wandgrenze, und b ≤ 12 verwechselt die Länge l mit der Breite b.
Wahr / Falsch #9 30s ▶ Testen

Der Graph zeigt A(b) = −2b² + 40b; grün ist der erlaubte Bereich bei 12 m Wandlänge markiert. Dann ist die Fläche bei b = 10 am größten.

✓ Falsch
Der Scheitel bei b = 10 liegt links vom erlaubten Bereich 14 ≤ b < 20. Im erlaubten Bereich fällt die Parabel, die größte Fläche steht am linken Rand b = 14: A = 14 · 12 = 168 m².
Mittel
Zahleneingabe #1 25s ▶ Testen

Ein Gehege an einer Hauswand wird mit 40 m Zaun an drei Seiten umzäunt (2b + l = 40). Wie lang ist die Seite l an der Wand, wenn die Breite b = 5 m beträgt?

✓ Antwort: 30
Aus der Nebenbedingung folgt l = 40 − 2b. Mit b = 5 ist l = 40 − 10 = 30 m. Wer 40 − 5 rechnet, vergisst, dass die Breite zweimal vorkommt.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Bei welchem x nimmt g(x) = −x² + 6x + 1 sein Maximum an?

✓ Antwort: 3
Ergänzen: g(x) = −(x − 3)² + 10. Der Scheitel ist S(3 | 10), der größte Wert 10 wird bei x = 3 angenommen. Kontrolle mit x = −6 : (2 · (−1)) = 3.
Zahleneingabe #3 15s ▶ Testen

Die Zielfunktion V(r) = −r² + 6r hat den Scheitel S(3 | 9). Wie groß ist der größte Wert von V?

✓ Antwort: 9
Der größte Funktionswert ist die y-Koordinate des Scheitels, also 9. Die 3 ist die Stelle r, an der V ihn annimmt.
Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Die Hauswand ist nur 12 m lang. Wie klein darf die Breite b des Geheges mit l = 40 − 2b höchstens sein? Gib das kleinste erlaubte b in m an.

✓ Antwort: 14
Aus l ≤ 12 folgt 40 − 2b ≤ 12, also 2b ≥ 28 und b ≥ 14. Das kleinste erlaubte b ist 14 m.
Schwer
Zahleneingabe #1 35s ▶ Testen

Ein Rechteck hat den Umfang 60 m. Eine Seite ist 12 m lang. Wie groß ist die Fläche in m²?

✓ Antwort: 216
Aus 2 · 12 + 2b = 60 folgt b = 18 m. Die Fläche ist 12 · 18 = 216 m². Dasselbe liefert die Funktion A(a) = a · (30 − a) an der Stelle a = 12.
Zahleneingabe #2 45s ▶ Testen

Zwei Zahlen haben die Summe 12. Wie groß kann ihr Produkt höchstens werden?

✓ Antwort: 36
Sind x und 12 − x die Zahlen, ist das Produkt P(x) = x · (12 − x) = −x² + 12x = −(x − 6)² + 36. Das Maximum 36 liegt beim Scheitel x = 6: beide Zahlen sind 6.
KI-bewertete Rechnung #3 300s ▶ Testen

Ein Landwirt hat 50 m Zaun und will damit an einer Hauswand ein rechteckiges Gehege an drei Seiten umzäunen (die Wand braucht keinen Zaun). Bezeichne die Breite (senkrecht zur Wand) mit b und die Länge mit l. Stelle die Nebenbedingung und die Zielfunktion A(b) auf, gib den Definitionsbereich an, bestimme den Scheitel durch Ergänzen und formuliere einen Antwortsatz mit Breite, Länge und größter Fläche. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Nebenbedingung 2b + l = 50, also l = 50 − 2b. Zielfunktion A(b) = b · (50 − 2b) = −2b² + 50b mit 0 < b < 25 (l > 0). Ergänzen: A(b) = −2(b − 12,5)² + 312,5, Scheitel S(12,5 | 312,5). Wegen a = −2 < 0 ist das ein Maximum, und 12,5 liegt im Definitionsbereich. Antwort: Bei 12,5 m Breite und l = 25 m Länge ist die Fläche mit 312,5 m² am größten.
Mit l = 50 − 2b wird A(b) = −2b² + 50b. Ergänzen ergibt den Scheitel S(12,5 | 312,5), der im Definitionsbereich 0 < b < 25 liegt. Optimalstelle b = 12,5 m, Optimalwert A = 312,5 m².
Zahleneingabe #4 45s ▶ Testen

Der Gewinn einer Firma beträgt G(x) = −2x² + 60x − 100 € bei x verkauften Stück. Wie hoch ist der größtmögliche Gewinn in €?

✓ Antwort: 350
Der Scheitel liegt bei x = −60 : (2 · (−2)) = 15. Der größte Gewinn ist G(15) = −2 · 225 + 60 · 15 − 100 = −450 + 900 − 100 = 350 €. Die 15 wäre nur die Stückzahl.
Zahleneingabe #5 45s ▶ Testen

Die Hauswand ist nur 12 m lang. Wie groß ist die größte Fläche des Geheges in m²?

✓ Antwort: 168
Der Scheitel b = 10 ist wegen b ≥ 14 nicht erlaubt. Auf 14 ≤ b < 20 fällt A(b), also steht das Maximum bei b = 14: l = 40 − 28 = 12 m und A = 14 · 12 = 168 m². Die 200 m² des Scheitels sind nicht erreichbar.