Das Gauß-Verfahren
Aus dem System soll x aus Gleichung (II) eliminiert werden. Welche Umformung leistet das?
Erklärung: In (II) steht 3x, in (I) steht x. Zieht man das Dreifache von (I) ab, fällt x weg: 3x − 3x = 0. Bei II − I bleibt 2x übrig, bei II + 3·I würde 6x entstehen.
Gegeben sind (I) x + y + z = 6 und (II) 3x + y − z = 4. Die Umformung II − 3·I ergibt die Gleichung −2y − 4z = −14.
Erklärung: Links: 3x − 3x = 0, y − 3y = −2y und −z − 3z = −4z. Die rechte Seite wird mit umgeformt: 4 − 3 · 6 = 4 − 18 = −14. Wer nur die linke Seite rechnet, behält die 4 und bekommt eine falsche Gleichung.
Gegeben sind (I) x + 2y + z = 7 und (II) 2x + y − z = 6. Die Umformung II − 2·I ergibt −3y − 3z = c. Bestimme c.
Erklärung: Rechte Seite: 6 − 2 · 7 = 6 − 14 = −8. Links: y − 4y = −3y und −z − 2z = −3z, das x fällt weg.
Nach dem ersten Schritt gilt (II′) 2y − z = 3 und (III′) y + 2z = 9. Eliminiere y, indem du (II′) von 2·(III′) abziehst, und berechne dann z.
Erklärung: 2·(y + 2z) − (2y − z) = 4z + z = 5z, rechts 18 − 3 = 15. Aus 5z = 15 folgt z = 3. Probe in (II′): 2y − 3 = 3 gibt y = 3, und in (III′): 3 + 6 = 9 stimmt.
Welches der drei Systeme hat Dreiecksform?
Erklärung: Dreiecksform heißt: In der letzten Gleichung steht nur z, in der mittleren nur y und z. Beim zweiten System steht x in der mittleren Gleichung, beim dritten y in der letzten.
Das Schema zeigt ein System in Dreiecksform. Aus welcher Gleichung lässt sich als Erstes eine Unbekannte berechnen?
Erklärung: In (III) steht nur noch z (4z = 8, also z = 2). Erst danach lässt sich (II) nach y auflösen und zuletzt (I) nach x. Von oben anzufangen geht nicht, weil (I) drei Unbekannte enthält.
Das System (I) x + y + z = 3, (II) y = 2, (III) x + z = 1 hat Dreiecksform.
Erklärung: In (III) steht x. Dreiecksform verlangt, dass in der letzten Gleichung nur z steht. Nur weil irgendwo Unbekannte fehlen, entsteht noch keine Stufenform.
Das System (I) x + 2y + z = 9, (II) 3y − z = 4, (III) 2z = 6 hat Dreiecksform. Welche Unbekannte berechnet man zuerst? ___
Erklärung: In der letzten Gleichung (III) steht nur z: 2z = 6 gibt z = 3. Danach lässt sich (II) nach y auflösen und zuletzt (I) nach x.
Nach dem ersten Schritt gilt (II′) y − z = −1 und (III′) −2y − z = −7. Die Umformung (III′) + 2·(II′) liefert die letzte Gleichung −3z = c. Bestimme c.
Erklärung: Links: (−2y − z) + 2 · (y − z) = −3z. Rechts: −7 + 2 · (−1) = −9. Die Dreiecksform ist erreicht, und aus −3z = −9 folgt z = 3.
Aus (III) folgt z = 3. Welche Gleichung enthält jetzt nur noch eine unbekannte Zahl?
Erklärung: Mit z = 3 bleibt in (II) nur y übrig: 2y − 3 = 3, also y = 3. In (I) fehlen noch x und y, und (III) ist mit z = 3 schon abgehakt.
Für (I) x + y + z = 6, (II) x − y + 2z = 6, (III) 2x + y − z = 6 wurde (3 | 1 | 2) gefunden. Das Tripel erfüllt (I) und (II), also ist es die Lösung des Systems.
Erklärung: In (III) gilt 2 · 3 + 1 − 2 = 5, nicht 6. Die Lösung muss alle drei Gleichungen erfüllen, deshalb gehört die Probe in jede einzelne Ausgangsgleichung.
Dreiecksform: (I) x + y + z = 10, (II) y + 2z = 8, (III) 3z = 9. Berechne y.
Erklärung: Aus (III) folgt z = 3. In (II) ergibt y + 2 · 3 = 8 das y = 2. Für x würde man danach y = 2 und z = 3 in (I) einsetzen: x = 5.
Löse das System (I) x + y = 5, (II) y + z = 7, (III) x + z = 6. Wie groß ist x?
Erklärung: (III) − (II) ergibt x − y = −1. Mit (I) gibt (x + y) + (x − y) = 5 + (−1) das 2x = 4, also x = 2. Dann y = 3 und z = 4; Probe: 3 + 4 = 7 und 2 + 4 = 6.
Eine Bäckerei verkauft Brezeln (x € je Stück), Semmeln (y €) und Croissants (z €). Für 3 Brezeln, 2 Semmeln und 1 Croissant zahlt man 5,40 €. Welche Gleichung gehört zu dieser Angabe?
Erklärung: Die Anzahlen stehen vor den Preisen: 3 · x + 2 · y + 1 · z. Bei x + y + z würden die Anzahlen fehlen, bei x + 2y + 3z stünden sie bei den falschen Preisen.
Für die Preise x, y, z von Brezel, Semmel und Croissant gilt 3x + 2y + z = 5,40, x + y + z = 3,20 und x + y = 1,40. Damit sind x, y und z eindeutig bestimmt.
Erklärung: Drei voneinander unabhängige Gleichungen bestimmen drei Unbekannte. Die zweite minus die dritte Gleichung gibt z = 1,80, dann bleibt 3x + 2y = 3,60 mit x + y = 1,40, also x = 0,80 und y = 0,60. Mit nur zwei dieser Gleichungen wäre die Lösung nicht eindeutig.
Für 4 Tickets zu je x €, 2 Tickets zu je y € und 1 Ticket zu z € zahlt man 46 €: 4x + 2y + ___ = 46
Erklärung: Das einzelne Ticket kostet z €, es kommt einmal vor: 4x + 2y + z = 46.
Drei Zahlen x, y, z haben die Summe 14. Die erste Zahl ist doppelt so groß wie die zweite, die dritte ist um 2 größer als die zweite. Wie groß ist die größte der drei Zahlen?
Erklärung: Gleichungen: x + y + z = 14, x = 2y, z = y + 2. Einsetzen: 2y + y + (y + 2) = 14, also 4y = 12 und y = 3. Dann x = 6 und z = 5; die größte Zahl ist 6. Probe: 6 + 3 + 5 = 14.
Im Kino kostet eine Kinderkarte x €, eine Jugendkarte y € und eine Erwachsenenkarte z €.
Familie A zahlt für 2 Kinder-, 1 Jugend- und 1 Erwachsenenkarte 30 €, Familie B für
1 Kinder-, 2 Jugend- und 1 Erwachsenenkarte 32 €, Familie C für 1 Kinder-, 1 Jugend- und
2 Erwachsenenkarten 34 €. Lege fest, was x, y und z bedeuten, stelle das Gleichungssystem auf,
löse es mit dem Gauß-Verfahren, mache die Probe in allen drei Gleichungen und formuliere einen Antwortsatz.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Jede Angabe liefert genau eine Gleichung. Die Differenzen II − I und III − I eliminieren x, danach reicht Einsetzen: x = 6, y = 8, z = 10. Die Probe steht in allen drei Gleichungen.