Das Gauß-Verfahren

Gaussian elimination

Mathematik Klasse 9 18 Aufgaben

AlgebraLineare GleichungssystemeGleichungen

Ein Gleichungssystem mit drei Unbekannten löst man nach festem Schema: Vielfache einer Gleichung von den anderen abziehen, bis eine Unbekannte nach der anderen verschwindet (Dreiecksform), dann von unten nach oben einsetzen und in allen Ausgangsgleichungen die Probe machen. Der Abschnitt räumt aus, dass man nur die linke Seite umformt oder ein Vielfaches wählt, das nicht zum Koeffizienten passt, und zeigt, wie aus einem Text drei Gleichungen werden. Er bereitet die Parabel durch drei Punkte vor. Zielort: alle Systeme mit drei Bedingungen, bis in die Vektorrechnung.

Eine Unbekannte verschwindet

Drei Gleichungen, drei Unbekannte:

$(I) (II) (III) x + y + z = 6 2 x - y + z = 3 x + 2 y - z = 2$

Das Gauß-Verfahren löst solche Systeme nach einem festen Schema. Zuerst soll die Unbekannte x nur noch in Gleichung (I) vorkommen. Dazu zieht man von (II) das Doppelte von (I) ab und von (III) einmal (I). Man rechnet mit der ganzen Gleichung, also auch mit der rechten Seite, und das Vielfache passt zum Koeffizienten von x: 2 in (II), 1 in (III). Es entstehen zwei neue Gleichungen ohne x: (II′) $- 3 y - z = - 9$ und (III′) $y - 2 z = - 4$ .

Rot: die Gleichung, mit der eliminiert wird. Orange: die Zahlen in der Spalte x, die nach dem Schritt zu 0 werden.

Dreiecksform und Rückwärtseinsetzen

Nun soll auch y aus der letzten Gleichung verschwinden: Das Dreifache von (III′) plus (II′) ergibt $- 7 z = - 21$ . Das System hat jetzt Dreiecksform: In der letzten Gleichung steht nur noch z, in der mittleren y und z, in der ersten alle drei Unbekannten.

Jetzt löst man von unten nach oben: Aus $- 7 z = - 21$ folgt z = 3. In (II′) ergibt $- 3 y - 3 = - 9$ das y = 2, in (I) ergibt $x + 2 + 3 = 6$ das x = 1. Die Probe gehört in alle drei ursprünglichen Gleichungen. Weil jeder Schritt gleich abläuft, egal welche Zahlen im System stehen, ist das Gauß-Verfahren ein Algorithmus.

Grün: die Stufen der Dreiecksform. Gelöst wird von unten nach oben: erst z, dann y, zuletzt x.

Vom Text zum System

Am Schulfest zahlt Tisch 1 für 2 Kaffee, 1 Tee und 1 Kuchen 8 €, Tisch 2 für 1 Kaffee, 2 Tee und 2 Kuchen 10 €, Tisch 3 für 3 Kaffee, 1 Tee und 2 Kuchen 13 €. Was kostet ein Stück? Zuerst benennt man die Unbekannten mit Einheit: x, y und z sind die Preise in Euro für einen Kaffee, einen Tee und einen Kuchen. Dann wird aus jeder Angabe genau eine Gleichung. Drei Unbekannte brauchen drei Gleichungen. Das Verfahren liefert x = 2, y = 1 und z = 3. Die Probe gilt an allen drei Tischen: 2 · 2 + 1 + 3 = 8, 2 + 2 · 1 + 2 · 3 = 10 und 3 · 2 + 1 + 2 · 3 = 13.

Eine Angabe, eine Gleichung: Zuerst steht fest, was x, y und z bedeuten.

Ermöglicht (1)

Die Parabel durch drei Punkte

Klasse 9

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Leicht

Multiple Choice #1 25s ▶ Testen

Aus dem System soll x aus Gleichung (II) eliminiert werden. Welche Umformung leistet das?

● II − 3·I
○ II − I
○ II + 3·I

In (II) steht 3x, in (I) steht x. Zieht man das Dreifache von (I) ab, fällt x weg: 3x − 3x = 0. Bei II − I bleibt 2x übrig, bei II + 3·I würde 6x entstehen.

Wahr / Falsch #2 30s ▶ Testen

Gegeben sind (I) x + y + z = 6 und (II) 3x + y − z = 4. Die Umformung II − 3·I ergibt die Gleichung −2y − 4z = −14.

✓ Wahr

Links: 3x − 3x = 0, y − 3y = −2y und −z − 3z = −4z. Die rechte Seite wird mit umgeformt: 4 − 3 · 6 = 4 − 18 = −14. Wer nur die linke Seite rechnet, behält die 4 und bekommt eine falsche Gleichung.

Multiple Choice #3 30s ▶ Testen

Welches der drei Systeme hat Dreiecksform?

● x + y + z = 6 | y − z = 1 | 2z = 4
○ x + y + z = 6 | x − z = 1 | 2z = 4
○ x + y + z = 6 | y − z = 1 | y + 2z = 5

Dreiecksform heißt: In der letzten Gleichung steht nur z, in der mittleren nur y und z. Beim zweiten System steht x in der mittleren Gleichung, beim dritten y in der letzten.

Multiple Choice #4 25s ▶ Testen

Das Schema zeigt ein System in Dreiecksform. Aus welcher Gleichung lässt sich als Erstes eine Unbekannte berechnen?

● III
○ I
○ II

In (III) steht nur noch z (4z = 8, also z = 2). Erst danach lässt sich (II) nach y auflösen und zuletzt (I) nach x. Von oben anzufangen geht nicht, weil (I) drei Unbekannte enthält.

Wahr / Falsch #5 20s ▶ Testen

Das System (I) x + y + z = 3, (II) y = 2, (III) x + z = 1 hat Dreiecksform.

✓ Falsch

In (III) steht x. Dreiecksform verlangt, dass in der letzten Gleichung nur z steht. Nur weil irgendwo Unbekannte fehlen, entsteht noch keine Stufenform.

Multiple Choice #6 25s ▶ Testen

Aus (III) folgt z = 3. Welche Gleichung enthält jetzt nur noch eine unbekannte Zahl?

● (II) 2y − z = 3
○ (I) x + y + z = 10
○ (III) 3z = 9

Mit z = 3 bleibt in (II) nur y übrig: 2y − 3 = 3, also y = 3. In (I) fehlen noch x und y, und (III) ist mit z = 3 schon abgehakt.

Wahr / Falsch #7 30s ▶ Testen

Für (I) x + y + z = 6, (II) x − y + 2z = 6, (III) 2x + y − z = 6 wurde (3 | 1 | 2) gefunden. Das Tripel erfüllt (I) und (II), also ist es die Lösung des Systems.

✓ Falsch

In (III) gilt 2 · 3 + 1 − 2 = 5, nicht 6. Die Lösung muss alle drei Gleichungen erfüllen, deshalb gehört die Probe in jede einzelne Ausgangsgleichung.

Multiple Choice #8 30s ▶ Testen

Eine Bäckerei verkauft Brezeln (x € je Stück), Semmeln (y €) und Croissants (z €). Für 3 Brezeln, 2 Semmeln und 1 Croissant zahlt man 5,40 €. Welche Gleichung gehört zu dieser Angabe?

● 3x + 2y + z = 5,4
○ x + y + z = 5,4
○ x + 2y + 3z = 5,4

Die Anzahlen stehen vor den Preisen: 3 · x + 2 · y + 1 · z. Bei x + y + z würden die Anzahlen fehlen, bei x + 2y + 3z stünden sie bei den falschen Preisen.

Wahr / Falsch #9 45s ▶ Testen

Für die Preise x, y, z von Brezel, Semmel und Croissant gilt 3x + 2y + z = 5,40, x + y + z = 3,20 und x + y = 1,40. Damit sind x, y und z eindeutig bestimmt.

✓ Wahr

Drei voneinander unabhängige Gleichungen bestimmen drei Unbekannte. Die zweite minus die dritte Gleichung gibt z = 1,80, dann bleibt 3x + 2y = 3,60 mit x + y = 1,40, also x = 0,80 und y = 0,60. Mit nur zwei dieser Gleichungen wäre die Lösung nicht eindeutig.

Mittel

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Gegeben sind (I) x + 2y + z = 7 und (II) 2x + y − z = 6. Die Umformung II − 2·I ergibt −3y − 3z = c. Bestimme c.

✓ Antwort: -8

Rechte Seite: 6 − 2 · 7 = 6 − 14 = −8. Links: y − 4y = −3y und −z − 2z = −3z, das x fällt weg.

Lückentext #2 15s ▶ Testen

Das System (I) x + 2y + z = 9, (II) 3y − z = 4, (III) 2z = 6 hat Dreiecksform. Welche Unbekannte berechnet man zuerst? ___

✓ Antwort: z

In der letzten Gleichung (III) steht nur z: 2z = 6 gibt z = 3. Danach lässt sich (II) nach y auflösen und zuletzt (I) nach x.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Dreiecksform: (I) x + y + z = 10, (II) y + 2z = 8, (III) 3z = 9. Berechne y.

✓ Antwort: 2

Aus (III) folgt z = 3. In (II) ergibt y + 2 · 3 = 8 das y = 2. Für x würde man danach y = 2 und z = 3 in (I) einsetzen: x = 5.

Lückentext #4 15s ▶ Testen

Für 4 Tickets zu je x €, 2 Tickets zu je y € und 1 Ticket zu z € zahlt man 46 €: 4x + 2y + ___ = 46

✓ Antwort: z

Das einzelne Ticket kostet z €, es kommt einmal vor: 4x + 2y + z = 46.

Schwer

Zahleneingabe #1 35s ▶ Testen

Nach dem ersten Schritt gilt (II′) 2y − z = 3 und (III′) y + 2z = 9. Eliminiere y, indem du (II′) von 2·(III′) abziehst, und berechne dann z.

✓ Antwort: 3

2·(y + 2z) − (2y − z) = 4z + z = 5z, rechts 18 − 3 = 15. Aus 5z = 15 folgt z = 3. Probe in (II′): 2y − 3 = 3 gibt y = 3, und in (III′): 3 + 6 = 9 stimmt.

Zahleneingabe #2 35s ▶ Testen

Nach dem ersten Schritt gilt (II′) y − z = −1 und (III′) −2y − z = −7. Die Umformung (III′) + 2·(II′) liefert die letzte Gleichung −3z = c. Bestimme c.

✓ Antwort: -9

Links: (−2y − z) + 2 · (y − z) = −3z. Rechts: −7 + 2 · (−1) = −9. Die Dreiecksform ist erreicht, und aus −3z = −9 folgt z = 3.

Zahleneingabe #3 60s ▶ Testen

Löse das System (I) x + y = 5, (II) y + z = 7, (III) x + z = 6. Wie groß ist x?

✓ Antwort: 2

(III) − (II) ergibt x − y = −1. Mit (I) gibt (x + y) + (x − y) = 5 + (−1) das 2x = 4, also x = 2. Dann y = 3 und z = 4; Probe: 3 + 4 = 7 und 2 + 4 = 6.

Zahleneingabe #4 60s ▶ Testen

Drei Zahlen x, y, z haben die Summe 14. Die erste Zahl ist doppelt so groß wie die zweite, die dritte ist um 2 größer als die zweite. Wie groß ist die größte der drei Zahlen?

✓ Antwort: 6

Gleichungen: x + y + z = 14, x = 2y, z = y + 2. Einsetzen: 2y + y + (y + 2) = 14, also 4y = 12 und y = 3. Dann x = 6 und z = 5; die größte Zahl ist 6. Probe: 6 + 3 + 5 = 14.

KI-bewertete Rechnung #5 300s ▶ Testen

Im Kino kostet eine Kinderkarte x €, eine Jugendkarte y € und eine Erwachsenenkarte z €. Familie A zahlt für 2 Kinder-, 1 Jugend- und 1 Erwachsenenkarte 30 €, Familie B für 1 Kinder-, 2 Jugend- und 1 Erwachsenenkarte 32 €, Familie C für 1 Kinder-, 1 Jugend- und 2 Erwachsenenkarten 34 €. Lege fest, was x, y und z bedeuten, stelle das Gleichungssystem auf, löse es mit dem Gauß-Verfahren, mache die Probe in allen drei Gleichungen und formuliere einen Antwortsatz. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: x, y, z sind die Preise in € einer Kinder-, Jugend- und Erwachsenenkarte. (I) 2x + y + z = 30, (II) x + 2y + z = 32, (III) x + y + 2z = 34. II − I: −x + y = 2, III − I: −x + z = 4, also y = x + 2 und z = x + 4. In (I): 2x + (x + 2) + (x + 4) = 30, 4x = 24, x = 6, y = 8, z = 10. Probe: 12 + 8 + 10 = 30, 6 + 16 + 10 = 32, 6 + 8 + 20 = 34. Antwort: Kinderkarte 6 €, Jugendkarte 8 €, Erwachsenenkarte 10 €.

Jede Angabe liefert genau eine Gleichung. Die Differenzen II − I und III − I eliminieren x, danach reicht Einsetzen: x = 6, y = 8, z = 10. Die Probe steht in allen drei Gleichungen.