Modellieren und prüfen
Aus den Messwerten eines Wurfs wird die Funktion h(t) = −5t² + 15t + 1 bestimmt. Welcher Schritt des Modellierungskreislaufs ist das?
Erklärung: Die Funktion ist das mathematische Modell des Wurfs. Sie entsteht aus den Messpunkten nach dem Vereinfachen der Situation (Luftwiderstand ignorieren) und vor dem Lösen, etwa von h(t) = 0.
Eine Schülerin löst h(t) = 0 und schreibt: t = −0,07 oder t = 3,07. Damit ist die Aufgabe im Modellierungskreislauf vollständig bearbeitet.
Erklärung: Die Lösungen der Gleichung sind erst der dritte Schritt. Es fehlt das Prüfen im Sachzusammenhang (eine negative Zeit passt nicht) und der Antwortsatz, zum Beispiel: Der Ball trifft nach etwa 3,07 s den Boden.
Die vier Schritte des Modellierens sind 1 Situation vereinfachen, 2 Modell aufstellen, 3 mathematisch lösen und 4 Ergebnis prüfen. Welche Nummer hat der Schritt, in dem eine negative Zeit als Lösung verworfen wird?
Erklärung: Das Verwerfen der negativen Zeit geschieht beim Prüfen im Sachzusammenhang, dem vierten Schritt. Die Gleichung selbst wurde schon im dritten Schritt gelöst.
Ein Wurf wird durch h(t) = at² + bt + c beschrieben (t in s, h in m). Gemessen wurden die eingezeichneten Werte. Wie groß ist a?
Erklärung: Aus (0 | 2) folgt c = 2. Aus (1 | 12) folgt a + b = 10 und aus (2 | 12) folgt 4a + 2b = 10, also 2a + b = 5. Die Differenz ergibt a = −5 (und b = 15): h(t) = −5t² + 15t + 2.
Der Wasserstrahl eines Springbrunnens wurde vermessen: Die Düse (x = 0 m) liegt 1 m über dem Boden,
bei x = 2 m hat der Strahl die Höhe 3 m, bei x = 6 m wieder die Höhe 1 m. Modelliere die Bahn durch
eine Parabel y = ax² + bx + c, bestimme die größte Höhe und die Stelle, an der der Strahl den Boden
trifft (auf 0,01 m genau), prüfe beide Lösungen im Sachzusammenhang und formuliere einen Antwortsatz.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Die drei Messpunkte geben a = −0,25, b = 1,5 und c = 1. Der Scheitel S(3 | 3,25) liefert die größte Höhe. Am Boden gilt x² − 6x − 4 = 0 mit x ≈ 6,61 oder x ≈ −0,61; die negative Lösung liegt hinter der Düse (x < 0) und wird verworfen.
Die Höhe eines Balls ist h(t) = −5t² + 15t + 1 (t in s nach dem Wurf, h in m). Die Gleichung h(t) = 0 hat die Lösungen t ≈ 3,07 und t ≈ −0,07. Welche Antwort ist richtig?
Erklärung: Eine negative Zeit liegt vor dem Wurf und passt nicht zur Situation. Die Lösung t ≈ −0,07 wird verworfen, es bleibt t ≈ 3,07 s. Der Ball trifft den Boden nur einmal.
Ein Rechteck hat die Seiten x und x − 3 (in m) und den Flächeninhalt 40 m². Aus x · (x − 3) = 40 folgt x = 8 oder x = −5. Beide Lösungen sind als Länge x sinnvoll.
Erklärung: Eine Länge kann nicht negativ sein, also wird x = −5 verworfen. Es bleibt x = 8 m; die Seiten sind 8 m und 5 m. Probe: 8 · 5 = 40.
Ein Stein fliegt mit der Höhe h(t) = −5t² + 20t (t in s, h in m). Nach wie vielen Sekunden (t > 0) landet er wieder auf dem Boden?
Erklärung: h(t) = 0 heißt −5t · (t − 4) = 0 mit t = 0 und t = 4. Die Zeit t = 0 ist der Abwurf, gefragt ist die Landung: nach 4 s.
Ein Stein wird von einer Brücke geworfen, seine Höhe über dem Boden ist h(t) = −5t² + 10t + 15 (t in s, h in m). Nach wie vielen Sekunden trifft er den Boden?
Erklärung: h(t) = 0: −5t² + 10t + 15 = 0, durch −5 geteilt t² − 2t − 3 = 0 mit t = 3 oder t = −1. Die negative Zeit t = −1 liegt vor dem Wurf und wird verworfen, der Stein landet nach 3 s. Probe: −45 + 30 + 15 = 0.
Das Modell h(t) = −5t² + 15t + 1 gibt für t = 5 s die Höhe −49 m. Was folgt daraus?
Erklärung: Der Ball ist schon nach etwa 3,07 s am Boden, danach beschreibt die Funktion den Flug nicht mehr. Die Rechnung h(5) = −125 + 75 + 1 = −49 ist richtig, das Ergebnis ist aber im Sachzusammenhang unbrauchbar.
Der Graph zeigt das Modell h(t) für −1 ≤ t ≤ 4. Für welchen Zeitraum beschreibt es den Flug des Balls, der zur Zeit t = 0 geworfen wird?
Erklärung: Der Flug beginnt beim Wurf (t = 0) und endet bei der Landung (t ≈ 3,07). Vor t = 0 gab es den Ball noch nicht, nach t ≈ 3,07 liegt er am Boden; dort ist der Graph nur noch Mathematik.
Ein Modell trifft die Messwerte zwischen 0 s und 3 s sehr gut. Deshalb liefert es auch für 30 s eine zuverlässige Höhe.
Erklärung: Ein Modell wird nur im gemessenen Bereich geprüft. Außerhalb davon ist es eine Vermutung (Extrapolation), die schon wegen Luftwiderstand oder Boden ganz falsch sein kann.
Welche Höhe (in m) sagt das Modell h(t) = −5t² + 15t + 1 für t = 10 s voraus?
Erklärung: h(10) = −5 · 100 + 15 · 10 + 1 = −500 + 150 + 1 = −349 m. Der Wert liegt weit außerhalb des Bereichs 0 ≤ t ≤ 3,07 und beschreibt den Ball nicht mehr.
Bei einem Preis von p € je Eis werden 200 − 10p Eis verkauft; das Modell gilt nur für 0 ≤ p ≤ 20, weil der Absatz sonst negativ wäre. Wie hoch ist der größtmögliche Erlös E(p) = p · (200 − 10p) in €?
Erklärung: E(p) = −10p² + 200p = −10(p − 10)² + 1000 hat den Scheitel S(10 | 1000). Der Preis p = 10 liegt im erlaubten Bereich, also ist 1000 € der größte Erlös. Bei p = 10 werden 100 Eis verkauft.