Modellieren und prüfen

Modelling and checking

Mathematik Klasse 9 14 Aufgaben

ModellierenQuadratischAnwendungen

Ein Sachproblem wird in vier Schritten gelöst: die Situation vereinfachen, ein quadratisches Modell aufstellen (etwa aus drei Messpunkten), das Modell mathematisch lösen und das Ergebnis im Sachzusammenhang prüfen. Der Abschnitt räumt aus, beide Lösungen einer quadratischen Gleichung ungeprüft als Antwort zu nehmen, obwohl eine negative Zeit keinen Sinn hat (Verschaffel, Greer und De Corte 2000), und zeigt, dass ein Modell nur im gemessenen Bereich trägt (Blum und Leiß 2007). Optimierung kommt in Wirtschaft, Statistik, Klimaforschung und Versicherungen vor. Zielort: alle späteren Modelle, von Sinus bis Wachstum.

Der Modellierungskreislauf

Ein Ball wird geworfen, eine Kamera misst: Nach 0 s ist er 1 m hoch, nach 1 s 11 m, nach 3 s wieder 1 m. Wann trifft er den Boden? Vier Schritte führen zur Antwort. Zuerst wird die Situation vereinfacht: kein Luftwiderstand, die Höhe h(t) als Parabel. Dann entsteht das Modell: Aus den drei Messpunkten folgt, wie im Abschnitt über die Parabel durch drei Punkte, $h (t) = - 5 t^{2} + 15 t + 1$ (t in s, h in m). Drittens wird mathematisch gelöst, hier $h (t) = 0$ . Viertens wird das Ergebnis im Sachzusammenhang geprüft und in einem Antwortsatz formuliert. Passt es nicht, beginnt der Kreislauf von vorn. Modellieren heißt bewusst vereinfachen: Jede Vereinfachung, hier der fehlende Luftwiderstand, macht die Rechnung möglich und begrenzt zugleich, wofür das Ergebnis gilt.

Vier Schritte, dann beginnt bei Bedarf der Kreislauf von vorn.

Ergebnis im Sachzusammenhang prüfen

Am Boden gilt $- 5 t^{2} + 15 t + 1 = 0$ , also $t^{2} - 3 t - 0, 2 = 0$ . Die Lösungsformel gibt t ≈ 3,07 und t ≈ −0,07. Die Mathematik liefert zwei Zahlen, die Sachlage lässt nur eine zu: Eine negative Zeit liegt vor dem Wurf und wird verworfen. Antwort: Der Ball trifft nach etwa 3,07 s den Boden.

Auch das Modell hat Grenzen. Es gilt nur, solange der Ball fliegt, für 0 ≤ t ≤ 3,07. Bei t = 5 liefert es h = −49 m, einen Ball unter der Erde: Die Rechnung stimmt, das Ergebnis ist trotzdem unbrauchbar. Solche Optimierungs- und Modellfragen gibt es in Wirtschaft, Statistik, Klimaforschung und Versicherungswesen. Überall wird ein Modell gebaut, gelöst und im Sachzusammenhang geprüft.

Schiebe t₀ über den Graphen. Für welche t₀ beschreibt das Modell den Flug sinnvoll?

Voraussetzungen (2)

Die Parabel durch drei Punkte

Leicht

Multiple Choice #1 25s ▶ Testen

Aus den Messwerten eines Wurfs wird die Funktion h(t) = −5t² + 15t + 1 bestimmt. Welcher Schritt des Modellierungskreislaufs ist das?

● das Modell aufstellen
○ die Situation vereinfachen
○ das Ergebnis prüfen

Die Funktion ist das mathematische Modell des Wurfs. Sie entsteht aus den Messpunkten nach dem Vereinfachen der Situation (Luftwiderstand ignorieren) und vor dem Lösen, etwa von h(t) = 0.

Wahr / Falsch #2 25s ▶ Testen

Eine Schülerin löst h(t) = 0 und schreibt: t = −0,07 oder t = 3,07. Damit ist die Aufgabe im Modellierungskreislauf vollständig bearbeitet.

✓ Falsch

Die Lösungen der Gleichung sind erst der dritte Schritt. Es fehlt das Prüfen im Sachzusammenhang (eine negative Zeit passt nicht) und der Antwortsatz, zum Beispiel: Der Ball trifft nach etwa 3,07 s den Boden.

Multiple Choice #3 30s ▶ Testen

Die Höhe eines Balls ist h(t) = −5t² + 15t + 1 (t in s nach dem Wurf, h in m). Die Gleichung h(t) = 0 hat die Lösungen t ≈ 3,07 und t ≈ −0,07. Welche Antwort ist richtig?

● Der Ball trifft nach etwa 3,07 s den Boden.
○ Der Ball trifft nach etwa −0,07 s den Boden.
○ Der Ball trifft nach −0,07 s und nach 3,07 s den Boden.

Eine negative Zeit liegt vor dem Wurf und passt nicht zur Situation. Die Lösung t ≈ −0,07 wird verworfen, es bleibt t ≈ 3,07 s. Der Ball trifft den Boden nur einmal.

Wahr / Falsch #4 30s ▶ Testen

Ein Rechteck hat die Seiten x und x − 3 (in m) und den Flächeninhalt 40 m². Aus x · (x − 3) = 40 folgt x = 8 oder x = −5. Beide Lösungen sind als Länge x sinnvoll.

✓ Falsch

Eine Länge kann nicht negativ sein, also wird x = −5 verworfen. Es bleibt x = 8 m; die Seiten sind 8 m und 5 m. Probe: 8 · 5 = 40.

Multiple Choice #5 30s ▶ Testen

Das Modell h(t) = −5t² + 15t + 1 gibt für t = 5 s die Höhe −49 m. Was folgt daraus?

● Für t = 5 gilt das Modell nicht mehr, der Ball ist schon gelandet.
○ Der Ball ist nach 5 s in 49 m Tiefe.
○ Die Rechnung ist falsch und muss wiederholt werden.

Der Ball ist schon nach etwa 3,07 s am Boden, danach beschreibt die Funktion den Flug nicht mehr. Die Rechnung h(5) = −125 + 75 + 1 = −49 ist richtig, das Ergebnis ist aber im Sachzusammenhang unbrauchbar.

Multiple Choice #6 30s ▶ Testen

Der Graph zeigt das Modell h(t) für −1 ≤ t ≤ 4. Für welchen Zeitraum beschreibt es den Flug des Balls, der zur Zeit t = 0 geworfen wird?

● 0 ≤ t ≤ 3,07
○ −0,07 ≤ t ≤ 3,07
○ 0 ≤ t ≤ 4

Der Flug beginnt beim Wurf (t = 0) und endet bei der Landung (t ≈ 3,07). Vor t = 0 gab es den Ball noch nicht, nach t ≈ 3,07 liegt er am Boden; dort ist der Graph nur noch Mathematik.

Wahr / Falsch #7 20s ▶ Testen

Ein Modell trifft die Messwerte zwischen 0 s und 3 s sehr gut. Deshalb liefert es auch für 30 s eine zuverlässige Höhe.

✓ Falsch

Ein Modell wird nur im gemessenen Bereich geprüft. Außerhalb davon ist es eine Vermutung (Extrapolation), die schon wegen Luftwiderstand oder Boden ganz falsch sein kann.

Mittel

Zahleneingabe #1 20s ▶ Testen

Die vier Schritte des Modellierens sind 1 Situation vereinfachen, 2 Modell aufstellen, 3 mathematisch lösen und 4 Ergebnis prüfen. Welche Nummer hat der Schritt, in dem eine negative Zeit als Lösung verworfen wird?

✓ Antwort: 4

Das Verwerfen der negativen Zeit geschieht beim Prüfen im Sachzusammenhang, dem vierten Schritt. Die Gleichung selbst wurde schon im dritten Schritt gelöst.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Ein Stein fliegt mit der Höhe h(t) = −5t² + 20t (t in s, h in m). Nach wie vielen Sekunden (t > 0) landet er wieder auf dem Boden?

✓ Antwort: 4

h(t) = 0 heißt −5t · (t − 4) = 0 mit t = 0 und t = 4. Die Zeit t = 0 ist der Abwurf, gefragt ist die Landung: nach 4 s.

Zahleneingabe #3 25s ▶ Testen

Welche Höhe (in m) sagt das Modell h(t) = −5t² + 15t + 1 für t = 10 s voraus?

✓ Antwort: -349

h(10) = −5 · 100 + 15 · 10 + 1 = −500 + 150 + 1 = −349 m. Der Wert liegt weit außerhalb des Bereichs 0 ≤ t ≤ 3,07 und beschreibt den Ball nicht mehr.

Schwer

Zahleneingabe #1 55s ▶ Testen

Ein Wurf wird durch h(t) = at² + bt + c beschrieben (t in s, h in m). Gemessen wurden die eingezeichneten Werte. Wie groß ist a?

✓ Antwort: -5

Aus (0 | 2) folgt c = 2. Aus (1 | 12) folgt a + b = 10 und aus (2 | 12) folgt 4a + 2b = 10, also 2a + b = 5. Die Differenz ergibt a = −5 (und b = 15): h(t) = −5t² + 15t + 2.

KI-bewertete Rechnung #2 360s ▶ Testen

Der Wasserstrahl eines Springbrunnens wurde vermessen: Die Düse (x = 0 m) liegt 1 m über dem Boden, bei x = 2 m hat der Strahl die Höhe 3 m, bei x = 6 m wieder die Höhe 1 m. Modelliere die Bahn durch eine Parabel y = ax² + bx + c, bestimme die größte Höhe und die Stelle, an der der Strahl den Boden trifft (auf 0,01 m genau), prüfe beide Lösungen im Sachzusammenhang und formuliere einen Antwortsatz. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: c = 1. (2 | 3): 4a + 2b + 1 = 3, also 2a + b = 1. (6 | 1): 36a + 6b + 1 = 1, also 6a + b = 0. Die Differenz ergibt 4a = −1, a = −0,25, dann b = 1,5. Modell y = −0,25x² + 1,5x + 1 = −0,25(x − 3)² + 3,25: größte Höhe 3,25 m bei x = 3 m. Boden: −0,25x² + 1,5x + 1 = 0, also x² − 6x − 4 = 0 mit x = 3 ± √13, das heißt x ≈ 6,61 oder x ≈ −0,61. Die negative Stelle liegt hinter der Düse (x < 0) und wird verworfen. Antwort: Der Strahl ist am höchsten 3,25 m hoch und trifft nach etwa 6,61 m den Boden.

Die drei Messpunkte geben a = −0,25, b = 1,5 und c = 1. Der Scheitel S(3 | 3,25) liefert die größte Höhe. Am Boden gilt x² − 6x − 4 = 0 mit x ≈ 6,61 oder x ≈ −0,61; die negative Lösung liegt hinter der Düse (x < 0) und wird verworfen.

Zahleneingabe #3 50s ▶ Testen

Ein Stein wird von einer Brücke geworfen, seine Höhe über dem Boden ist h(t) = −5t² + 10t + 15 (t in s, h in m). Nach wie vielen Sekunden trifft er den Boden?

✓ Antwort: 3

h(t) = 0: −5t² + 10t + 15 = 0, durch −5 geteilt t² − 2t − 3 = 0 mit t = 3 oder t = −1. Die negative Zeit t = −1 liegt vor dem Wurf und wird verworfen, der Stein landet nach 3 s. Probe: −45 + 30 + 15 = 0.

Zahleneingabe #4 50s ▶ Testen

Bei einem Preis von p € je Eis werden 200 − 10p Eis verkauft; das Modell gilt nur für 0 ≤ p ≤ 20, weil der Absatz sonst negativ wäre. Wie hoch ist der größtmögliche Erlös E(p) = p · (200 − 10p) in €?

✓ Antwort: 1000

E(p) = −10p² + 200p = −10(p − 10)² + 1000 hat den Scheitel S(10 | 1000). Der Preis p = 10 liegt im erlaubten Bereich, also ist 1000 € der größte Erlös. Bei p = 10 werden 100 Eis verkauft.