Die Parabel durch drei Punkte
Der Punkt P liegt auf der Parabel y = ax² + bx + c. Welche Gleichung für a, b und c folgt daraus?
Erklärung: Für P(3 | 7) wird x = 3 quadriert und y = 7 steht rechts: a · 3² + b · 3 + c = 7, also 9a + 3b + c = 7. Bei 3a + 7b + c = 9 sind x und y vertauscht, bei 6a würde 3 verdoppelt statt quadriert.
Der Punkt Q(−2 | 5) liegt auf y = ax² + bx + c. Dann gilt 4a − 2b + c = 5.
Erklärung: x = −2 ergibt (−2)² = 4 und b · (−2) = −2b. Das Quadrat einer negativen Zahl ist positiv, das Vorzeichen bei b bleibt erhalten: 4a − 2b + c = 5.
Die Parabel y = x² + bx + 1 geht durch P(2 | 9). Wie groß ist b?
Erklärung: Einsetzen von x = 2 und y = 9: 2² + b · 2 + 1 = 9, also 4 + 2b + 1 = 9 und 2b = 4. Es folgt b = 2.
Ein Wasserstrahl folgt der Parabel y = ax² + 2x + 1 (x und y in m). Bei x = 2 m ist er wieder 1 m hoch. Bestimme a.
Erklärung: Einsetzen von (2 | 1): a · 2² + 2 · 2 + 1 = 1, also 4a + 5 = 1 und 4a = −4. Es folgt a = −1: Die Parabel öffnet nach unten, wie es zu einem Strahl passt, der wieder fällt.
Die Parabel y = ax² + bx + c geht durch den eingezeichneten Punkt P. Was folgt daraus sofort?
Erklärung: Für x = 0 fallen ax² und bx weg, es bleibt y = c. Der y-Wert 4 des Punktes (0 | 4) ist also c. Die Koeffizienten a und b bleiben offen.
Geht die Parabel y = ax² + bx + c durch den Punkt (3 | 0), dann ist c = 0.
Erklärung: Der Punkt (3 | 0) liegt auf der x-Achse, nicht auf der y-Achse. Einsetzen ergibt 9a + 3b + c = 0. Nur ein Punkt mit x = 0 liefert c direkt.
Die Parabel y = ax² + bx + c geht durch A(0 | −5), B(1 | 0) und C(2 | 11). Wie groß ist c?
Erklärung: Nur A liegt auf der y-Achse: für x = 0 ist y = c, also c = −5. Mit B und C bleiben zwei Gleichungen für a und b.
Die Parabel y = ax² + bx + c geht durch A(0 | 1), B(1 | 4) und C(2 | 11). Berechne a.
Erklärung: Aus A folgt c = 1. B: a + b + 1 = 4, also a + b = 3. C: 4a + 2b + 1 = 11, also 2a + b = 5. Die Differenz der beiden Gleichungen ergibt a = 2 (und b = 1).
Die Parabel y = ax² + bx + c soll durch die drei eingezeichneten Punkte gehen. Welches Gleichungssystem gehört dazu?
Erklärung: A(−1 | 6): a · (−1)² + b · (−1) + c = a − b + c = 6. B(1 | 2): a + b + c = 2. C(2 | 3): 4a + 2b + c = 3. Im zweiten System ging das Minus bei b verloren, im dritten wurde 2² als 2 gerechnet.
Die Parabel y = x² − 2x + 3 geht durch A(−1 | 6), B(1 | 2) und C(2 | 3).
Erklärung: Die Probe gehört mit allen drei Punkten: A: 1 + 2 + 3 = 6, B: 1 − 2 + 3 = 2, C: 4 − 4 + 3 = 3. Alle drei Gleichungen stimmen.
Eine Parabel y = ax² + bx + c geht durch A(−1 | 0), B(1 | −4) und C(3 | 0). Berechne b.
Erklärung: A: a − b + c = 0, B: a + b + c = −4. Die zweite minus die erste Gleichung ergibt 2b = −4, also b = −2. (Daraus folgen a = 1 und c = −3.)
Ein Brückenbogen hat die Form einer Parabel y = ax² + bx + c (in m) und geht durch die drei eingezeichneten Punkte. Berechne a.
Erklärung: Der Punkt (0 | 4) gibt c = 4. Dann gilt 4a − 2b + 4 = 0 und 4a + 2b + 4 = 0. Die Summe ergibt 8a + 8 = 0, also a = −1 (und b = 0): y = −x² + 4.
Bestimme die Gleichung der Parabel y = ax² + bx + c, die durch A(1 | 0), B(2 | 3) und C(3 | 10) geht.
Setze die Punkte ein, stelle das Gleichungssystem auf, löse es mit dem Gauß-Verfahren und mache die
Probe mit allen drei Punkten.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Jeder Punkt liefert eine Gleichung für a, b und c. Die Differenzen II − I und III − II eliminieren c, danach folgt a = 2, b = −3, c = 1. Die Probe steht mit allen drei Punkten.
Welche drei Punkte liegen auf genau einer Parabel y = ax² + bx + c mit a ≠0?
Erklärung: Die y-Werte 1, 3, 7 wachsen um 2 und dann um 4, die Punkte liegen also nicht auf einer Geraden (y = x² + x + 1). Bei 1, 2, 3 ist der Zuwachs immer 1: eine Gerade, a = 0. Bei der dritten Wahl liegen A und B senkrecht übereinander.
Die drei eingezeichneten Punkte sollen auf einer Parabel y = ax² + bx + c liegen. Was ergibt die Rechnung für a?
Erklärung: Die drei Punkte liegen auf der Geraden y = x + 1. Das System hat die Lösung a = 0, b = 1, c = 1: Es entsteht keine echte Parabel, sondern die Gerade selbst.
Zu den drei eingezeichneten Punkten gibt es eine Parabel y = ax² + bx + c.
Erklärung: A und B haben denselben x-Wert 2, aber verschiedene y-Werte. Eine Funktion ordnet jedem x nur einen y-Wert zu, deshalb geht keine Parabel durch beide Punkte.
Die Punkte A(−1 | 2), B(0 | 1) und C(2 | 5) haben verschiedene x-Werte und liegen nicht auf einer Geraden. Wie viele verschiedene Parabeln y = ax² + bx + c gehen durch alle drei?
Erklärung: Die Steigung von A nach B ist −1, von B nach C dagegen 2: keine Gerade. Das System für a, b und c hat genau eine Lösung (a = 1, b = 0, c = 1) mit a ≠0. Drei Bedingungen bestimmen drei Koeffizienten eindeutig.
Gegeben sind A(0 | 2), B(2 | y_B) und C(4 | 8). Für welchen Wert von y_B ergibt sich a = 0?
Erklärung: a = 0 bedeutet: B liegt auf der Geraden durch A und C. Deren Steigung ist (8 − 2) : 4 = 1,5, bei x = 2 ist die Höhe 2 + 1,5 · 2 = 5. Also y_B = 5.