Die Parabel durch drei Punkte

The parabola through three points

Mathematik Klasse 9 18 Aufgaben
FunktionenQuadratischParabel

Jeder Punkt einer Parabel y = ax² + bx + c liefert beim Einsetzen eine Gleichung für a, b und c. Drei Punkte ergeben ein System mit drei Unbekannten, das man mit dem Gauß-Verfahren löst; ein Punkt auf der y-Achse verrät c sofort. Der Abschnitt räumt aus, x und y beim Einsetzen zu vertauschen, und zeigt, wann drei Punkte gar keine Parabel festlegen: liegen sie auf einer Geraden, wird a = 0, und Punkte übereinander gehören zu keiner Funktion. Zielort: die Modellbildung aus Messpunkten im letzten Abschnitt.

Ein Punkt, eine Gleichung

Eine Parabel hat die Gleichung mit den drei Koeffizienten a, b und c. Liegt der Punkt P(1 | 2) auf der Parabel, müssen seine Koordinaten die Gleichung erfüllen: Man setzt x = 1 und y = 2 ein und erhält , also . Der x-Wert wird quadriert, der y-Wert steht rechts. So liefert jeder Punkt eine Gleichung für a, b und c. Liegt ein Punkt auf der y-Achse, etwa (0 | c), verrät er c sofort, denn für x = 0 fallen ax² und bx weg.

Verändere a, b und c, bis die Parabel durch P geht. Was zeigt der Chip a + b + c dann?

Drei Punkte, drei Gleichungen

Für die Parabel durch A(1 | 2), B(2 | 5) und C(4 | 5) entstehen drei Gleichungen: , und . Das ist ein System mit drei Unbekannten, also ein Fall für das Gauß-Verfahren. Die zweite minus die erste Gleichung ergibt , die dritte minus die erste ergibt , gekürzt . Beide zusammen liefern 2a = −2, also a = −1, dann b = 6 und c = −3. Die Parabel ist . Die Probe gilt für alle drei Punkte: A: −1 + 6 − 3 = 2, B: −4 + 12 − 3 = 5, C: −16 + 24 − 3 = 5.

Ziehe die Punkte oder nutze die Regler. Wie verändern sich a, b und c?

Wann klappt es?

Drei Punkte mit verschiedenen x-Werten liegen auf genau einer Parabel oder auf einer Geraden. Liegen sie auf einer Geraden, kommt a = 0 heraus: Es gibt keine Parabel, nur die Gerade. Zwei Punkte über derselben x-Stelle gehören zu keiner Funktion, das System hat dann keine Lösung. Ein Beispiel: A(1 | 2), B(2 | 3) und C(4 | 5) liefern a = 0, b = 1 und c = 1, also die Gerade y = x + 1. Bei A(2 | 1) und B(2 | 5) widersprechen sich die Gleichungen 4a + 2b + c = 1 und 4a + 2b + c = 5. Die Probe gehört in alle drei Punktgleichungen.

Verschiebe B senkrecht. Bei welchem Wert von y_B wird a gleich 0?

Voraussetzungen (1)

Das Gauß-Verfahren
Klasse 9
›

Ermöglicht (1)

Modellieren und prüfen
Klasse 9
›
Leicht
Multiple Choice #1 25s ▶ Testen

Der Punkt P liegt auf der Parabel y = ax² + bx + c. Welche Gleichung für a, b und c folgt daraus?

  • ● 9a + 3b + c = 7
  • ○ 3a + 7b + c = 9
  • ○ 6a + 3b + c = 7
Für P(3 | 7) wird x = 3 quadriert und y = 7 steht rechts: a · 3² + b · 3 + c = 7, also 9a + 3b + c = 7. Bei 3a + 7b + c = 9 sind x und y vertauscht, bei 6a würde 3 verdoppelt statt quadriert.
Wahr / Falsch #2 25s ▶ Testen

Der Punkt Q(−2 | 5) liegt auf y = ax² + bx + c. Dann gilt 4a − 2b + c = 5.

✓ Wahr
x = −2 ergibt (−2)² = 4 und b · (−2) = −2b. Das Quadrat einer negativen Zahl ist positiv, das Vorzeichen bei b bleibt erhalten: 4a − 2b + c = 5.
Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Die Parabel y = ax² + bx + c geht durch den eingezeichneten Punkt P. Was folgt daraus sofort?

  • ● c = 4
  • ○ a = 4
  • ○ b = 4
Für x = 0 fallen ax² und bx weg, es bleibt y = c. Der y-Wert 4 des Punktes (0 | 4) ist also c. Die Koeffizienten a und b bleiben offen.
Wahr / Falsch #4 25s ▶ Testen

Geht die Parabel y = ax² + bx + c durch den Punkt (3 | 0), dann ist c = 0.

✓ Falsch
Der Punkt (3 | 0) liegt auf der x-Achse, nicht auf der y-Achse. Einsetzen ergibt 9a + 3b + c = 0. Nur ein Punkt mit x = 0 liefert c direkt.
Multiple Choice #5 40s ▶ Testen

Die Parabel y = ax² + bx + c soll durch die drei eingezeichneten Punkte gehen. Welches Gleichungssystem gehört dazu?

  • ● a − b + c = 6 | a + b + c = 2 | 4a + 2b + c = 3
  • ○ a + b + c = 6 | a + b + c = 2 | 4a + 2b + c = 3
  • ○ a − b + c = 6 | a + b + c = 2 | 2a + 2b + c = 3
A(−1 | 6): a · (−1)² + b · (−1) + c = a − b + c = 6. B(1 | 2): a + b + c = 2. C(2 | 3): 4a + 2b + c = 3. Im zweiten System ging das Minus bei b verloren, im dritten wurde 2² als 2 gerechnet.
Wahr / Falsch #6 30s ▶ Testen

Die Parabel y = x² − 2x + 3 geht durch A(−1 | 6), B(1 | 2) und C(2 | 3).

✓ Wahr
Die Probe gehört mit allen drei Punkten: A: 1 + 2 + 3 = 6, B: 1 − 2 + 3 = 2, C: 4 − 4 + 3 = 3. Alle drei Gleichungen stimmen.
Multiple Choice #7 35s ▶ Testen

Welche drei Punkte liegen auf genau einer Parabel y = ax² + bx + c mit a ≠ 0?

  • ● A(0 | 1), B(1 | 3), C(2 | 7)
  • ○ A(0 | 1), B(1 | 2), C(2 | 3)
  • ○ A(1 | 1), B(1 | 3), C(2 | 5)
Die y-Werte 1, 3, 7 wachsen um 2 und dann um 4, die Punkte liegen also nicht auf einer Geraden (y = x² + x + 1). Bei 1, 2, 3 ist der Zuwachs immer 1: eine Gerade, a = 0. Bei der dritten Wahl liegen A und B senkrecht übereinander.
Multiple Choice #8 30s ▶ Testen

Die drei eingezeichneten Punkte sollen auf einer Parabel y = ax² + bx + c liegen. Was ergibt die Rechnung für a?

  • ● a = 0
  • ○ a = 1
  • ○ Es gibt keine Lösung.
Die drei Punkte liegen auf der Geraden y = x + 1. Das System hat die Lösung a = 0, b = 1, c = 1: Es entsteht keine echte Parabel, sondern die Gerade selbst.
Wahr / Falsch #9 25s ▶ Testen

Zu den drei eingezeichneten Punkten gibt es eine Parabel y = ax² + bx + c.

✓ Falsch
A und B haben denselben x-Wert 2, aber verschiedene y-Werte. Eine Funktion ordnet jedem x nur einen y-Wert zu, deshalb geht keine Parabel durch beide Punkte.
Mittel
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Die Parabel y = x² + bx + 1 geht durch P(2 | 9). Wie groß ist b?

✓ Antwort: 2
Einsetzen von x = 2 und y = 9: 2² + b · 2 + 1 = 9, also 4 + 2b + 1 = 9 und 2b = 4. Es folgt b = 2.
Zahleneingabe #2 20s ▶ Testen

Die Parabel y = ax² + bx + c geht durch A(0 | −5), B(1 | 0) und C(2 | 11). Wie groß ist c?

✓ Antwort: -5
Nur A liegt auf der y-Achse: für x = 0 ist y = c, also c = −5. Mit B und C bleiben zwei Gleichungen für a und b.
Zahleneingabe #3 45s ▶ Testen

Eine Parabel y = ax² + bx + c geht durch A(−1 | 0), B(1 | −4) und C(3 | 0). Berechne b.

✓ Antwort: -2
A: a − b + c = 0, B: a + b + c = −4. Die zweite minus die erste Gleichung ergibt 2b = −4, also b = −2. (Daraus folgen a = 1 und c = −3.)
Zahleneingabe #4 20s ▶ Testen

Die Punkte A(−1 | 2), B(0 | 1) und C(2 | 5) haben verschiedene x-Werte und liegen nicht auf einer Geraden. Wie viele verschiedene Parabeln y = ax² + bx + c gehen durch alle drei?

✓ Antwort: 1
Die Steigung von A nach B ist −1, von B nach C dagegen 2: keine Gerade. Das System für a, b und c hat genau eine Lösung (a = 1, b = 0, c = 1) mit a ≠ 0. Drei Bedingungen bestimmen drei Koeffizienten eindeutig.
Schwer
Zahleneingabe #1 40s ▶ Testen

Ein Wasserstrahl folgt der Parabel y = ax² + 2x + 1 (x und y in m). Bei x = 2 m ist er wieder 1 m hoch. Bestimme a.

✓ Antwort: -1
Einsetzen von (2 | 1): a · 2² + 2 · 2 + 1 = 1, also 4a + 5 = 1 und 4a = −4. Es folgt a = −1: Die Parabel öffnet nach unten, wie es zu einem Strahl passt, der wieder fällt.
Zahleneingabe #2 50s ▶ Testen

Die Parabel y = ax² + bx + c geht durch A(0 | 1), B(1 | 4) und C(2 | 11). Berechne a.

✓ Antwort: 2
Aus A folgt c = 1. B: a + b + 1 = 4, also a + b = 3. C: 4a + 2b + 1 = 11, also 2a + b = 5. Die Differenz der beiden Gleichungen ergibt a = 2 (und b = 1).
Zahleneingabe #3 55s ▶ Testen

Ein Brückenbogen hat die Form einer Parabel y = ax² + bx + c (in m) und geht durch die drei eingezeichneten Punkte. Berechne a.

✓ Antwort: -1
Der Punkt (0 | 4) gibt c = 4. Dann gilt 4a − 2b + 4 = 0 und 4a + 2b + 4 = 0. Die Summe ergibt 8a + 8 = 0, also a = −1 (und b = 0): y = −x² + 4.
KI-bewertete Rechnung #4 300s ▶ Testen

Bestimme die Gleichung der Parabel y = ax² + bx + c, die durch A(1 | 0), B(2 | 3) und C(3 | 10) geht. Setze die Punkte ein, stelle das Gleichungssystem auf, löse es mit dem Gauß-Verfahren und mache die Probe mit allen drei Punkten. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: (I) a + b + c = 0, (II) 4a + 2b + c = 3, (III) 9a + 3b + c = 10. II − I: 3a + b = 3, III − II: 5a + b = 7. Die Differenz ergibt 2a = 4, also a = 2. Dann b = 3 − 6 = −3 und c = −a − b = −2 + 3 = 1. Die Parabel ist y = 2x² − 3x + 1. Probe: A: 2 − 3 + 1 = 0, B: 8 − 6 + 1 = 3, C: 18 − 9 + 1 = 10.
Jeder Punkt liefert eine Gleichung für a, b und c. Die Differenzen II − I und III − II eliminieren c, danach folgt a = 2, b = −3, c = 1. Die Probe steht mit allen drei Punkten.
Zahleneingabe #5 40s ▶ Testen

Gegeben sind A(0 | 2), B(2 | y_B) und C(4 | 8). Für welchen Wert von y_B ergibt sich a = 0?

✓ Antwort: 5
a = 0 bedeutet: B liegt auf der Geraden durch A und C. Deren Steigung ist (8 − 2) : 4 = 1,5, bei x = 2 ist die Höhe 2 + 1,5 · 2 = 5. Also y_B = 5.