Gerade schneidet Kurve
Gezeichnet sind die Parabel y = x² − 4x + 3 und die Gerade y = x − 1. Welche Gleichung liefert die x-Werte der Schnittpunkte?
Erklärung: In einem Schnittpunkt haben beide Graphen denselben y-Wert, also werden die Terme gleichgesetzt. x² − 4x + 3 = 0 liefert die Nullstellen der Parabel, nicht die Schnittstellen mit der Geraden. Addieren der Terme beschreibt keinen Schnittpunkt.
Die Gleichung x² − 5x + 4 = 0 hat die Lösungen x = 1 und x = 4. Damit ist (1 | 4) ein Schnittpunkt von Parabel und Gerade.
Erklärung: Die Lösungen sind die x-Werte zweier verschiedener Schnittpunkte, nicht die beiden Koordinaten eines Punktes. Den y-Wert erhält man durch Einsetzen in die Gerade y = x − 1: für x = 1 ist y = 0, für x = 4 ist y = 3. Die Schnittpunkte sind (1 | 0) und (4 | 3).
Parabel y = x² − 4x + 3 und Gerade y = x − 1 schneiden sich bei x = 4. Wie groß ist die y-Koordinate dieses Schnittpunkts?
Erklärung: Man setzt x = 4 in eine der beiden Funktionen ein. Gerade: 4 − 1 = 3. Kontrolle mit der Parabel: 16 − 16 + 3 = 3.
Ein Ball fliegt auf der Parabel y = −0,5x² + 2x. Ein Hang wird durch die Gerade y = 0,5x beschrieben (x und y in m). In welcher waagerechten Entfernung x > 0 trifft der Ball den Hang?
Erklärung: Gleichsetzen: −0,5x² + 2x = 0,5x, also −0,5x² + 1,5x = 0 und x · (−0,5x + 1,5) = 0. Die Lösungen sind x = 0 (Startpunkt) und x = 3. Der Ball trifft den Hang bei x = 3 m, in der Höhe 0,5 · 3 = 1,5 m.
Beim Gleichsetzen von Parabel und Gerade entsteht x² − 4x + 5 = 0. Wie viele Schnittpunkte haben die beiden Graphen?
Erklärung: Die Diskriminante ist D = (−4)² − 4 · 1 · 5 = 16 − 20 = −4 und damit negativ: Die Gleichung hat keine Lösung, die Gerade verfehlt die Parabel. Bei D = 0 gäbe es einen, bei D > 0 zwei Schnittpunkte.
Die gezeichnete Gerade berührt die Parabel in genau einem Punkt. Was gilt für die Diskriminante D der Gleichung f(x) = g(x)?
Erklärung: Ein einziger Berührpunkt bedeutet genau eine Lösung der Gleichung f(x) = g(x), und das ist der Fall D = 0. Bei zwei Schnittpunkten wäre D > 0, bei keinem D < 0.
Die Gerade y = x − 6 und die Parabel y = x² − 2x − 3 schneiden sich in zwei Punkten.
Erklärung: Gleichsetzen: x² − 2x − 3 = x − 6, also x² − 3x + 3 = 0. Die Diskriminante ist 9 − 12 = −3 < 0, es gibt keinen Schnittpunkt.
Beim Gleichsetzen von Parabel und Gerade entsteht x² − 6x + 9 = 0. Wie viele Schnittpunkte haben die beiden Graphen?
Erklärung: Die Diskriminante ist D = 36 − 36 = 0, die Gleichung (x − 3)² = 0 hat genau eine Lösung x = 3. Es gibt einen Schnittpunkt, den Berührpunkt: Die Gerade ist Tangente an die Parabel.
Für welchen Wert von n berührt die Gerade y = 2x + n die Normalparabel y = x² in genau einem Punkt?
Erklärung: Gleichsetzen: x² = 2x + n, also x² − 2x − n = 0 mit D = 4 + 4n. Für D = 0 ist n = −1. Probe: x² − 2x + 1 = (x − 1)² hat die einzige Lösung x = 1.
Gezeichnet sind die Hyperbel y = 4/x und die Gerade y = x + 3. Welche quadratische Gleichung entsteht beim Gleichsetzen und Multiplizieren mit x?
Erklärung: Aus 4/x = x + 3 folgt mit x multipliziert 4 = x² + 3x, also x² + 3x − 4 = 0. Bei 4 = x + 3 wurde die rechte Seite nicht mit x multipliziert, bei x² + 3x + 4 = 0 ging beim Umstellen das Vorzeichen verloren.
Die Gerade y = x + 3 schneidet die Hyperbel y = 4/x nur im ersten Quadranten.
Erklärung: Die Gleichung x² + 3x − 4 = 0 hat die Lösungen x = 1 und x = −4. Zu x = −4 gehört der Punkt (−4 | −1) auf dem Ast im dritten Quadranten. Die Hyperbel hat zwei Äste, und beide werden geschnitten.
Die Gleichung 4/x = x + 3 führt auf x² + 3x − 4 = 0. Wie groß ist die kleinere Lösung?
Erklärung: Die Lösungsformel ergibt x = (−3 ± 5) : 2, also x = 1 oder x = −4. Die kleinere Lösung ist −4. Probe: 4/(−4) = −1 und −4 + 3 = −1.
Ein Rechteck hat den Flächeninhalt 12 cm² und den Umfang 14 cm. Wie lang ist die längere Seite (in cm)?
Erklärung: Für die Seiten a und b gilt a · b = 12 und a + b = 7. Mit b = 12/a folgt a + 12/a = 7, mit a multipliziert a² − 7a + 12 = 0. Die Lösungen sind a = 3 und a = 4: Die Seiten sind 3 cm und 4 cm, die längere ist 4 cm.
Bestimme rechnerisch alle Schnittpunkte der Hyperbel y = 6/x mit der Geraden y = x + 1.
Setze gleich, gib an, welche Zahl für x nicht erlaubt ist, multipliziere jeden Summanden mit x, löse die
quadratische Gleichung, berechne die zugehörigen y-Werte und mache die Probe in beiden Funktionsgleichungen.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Gleichsetzen und mit x multiplizieren ergibt x² + x − 6 = 0 mit x = 2 oder x = −3. Jedes x wird in die Gerade eingesetzt: (2 | 3) und (−3 | −2). Beide Punkte erfüllen auch y = 6/x.