Gerade schneidet Kurve

A line meets a curve

Mathematik Klasse 9 14 Aufgaben
FunktionenQuadratischGleichungen

Schnittpunkte einer Geraden mit einer Parabel oder Hyperbel findet man, indem man die Funktionsterme gleichsetzt, die entstehende quadratische Gleichung löst und jede Lösung in die Gerade einsetzt, denn ein Schnittpunkt hat zwei Koordinaten. Die Diskriminante sagt, ob die Gerade schneidet, berührt oder verfehlt. Bei der Hyperbel wird mit x multipliziert, wobei x ≠ 0 gilt. Der Abschnitt räumt aus, die x-Werte schon für die Schnittpunkte zu halten und die Gleichung nur gleich 0 zu setzen. Zielort: quadratische Ungleichungen und die Tangente in der Analysis.

Gleichsetzen

Wo schneidet die Gerade die Parabel ? In einem Schnittpunkt haben beide Graphen denselben y-Wert. Also setzt man die Terme gleich: , umgeformt mit den Lösungen x = 4 und x = −1. Das sind erst die x-Werte. Die y-Werte erhält man, indem man jedes x in die Gerade einsetzt: g(4) = 5 und g(−1) = 0. Die Schnittpunkte sind (4 | 5) und (−1 | 0). Wer die Gleichung nur gleich 0 setzt, findet die Nullstellen der Parabel, nicht die Stellen, an denen sie die Gerade trifft.

Verschiebe x₀. Wann ist der Abstand f(x₀) − g(x₀) gleich 0?

Wie viele Schnittpunkte?

Verschiebt man die Gerade zu , entsteht mit der Diskriminante . Bei D > 0 gibt es zwei Schnittpunkte, bei D = 0 berührt die Gerade die Parabel in genau einem Punkt, bei D < 0 verfehlt sie die Parabel. Die Zahl der Schnittpunkte ist die Zahl der Lösungen der quadratischen Gleichung. Für n = 1 ist D = 25, also gibt es zwei Schnittpunkte, die bekannten (4 | 5) und (−1 | 0). Der Fall D = 0 heißt Berührung, die Gerade ist dann Tangente: Für n = −5,25 berührt sie die Parabel im Punkt (1,5 | −3,75).

Verschiebe die Gerade mit n. Bei welchen Werten von D verschwinden die Schnittpunkte?

Gerade und Hyperbel

Die Hyperbel und die Gerade setzt man ebenfalls gleich: mit x ≠ 0. Es folgt eine Bruchgleichung, die quadratisch wird. Jeder Summand wird mit x multipliziert: , also mit x = 2 oder x = 3. Beide Zahlen sind erlaubt; die Schnittpunkte sind (2 | 3) und (3 | 2). Zur Probe setzt man beide Punkte in die Hyperbel ein: 6 : 2 = 3 und 6 : 3 = 2. Die Hyperbel hat zwei Äste, deshalb kann eine Gerade auch den Ast im dritten Quadranten schneiden.

Verändere n. Für welche n trifft die Gerade keinen der beiden Äste?

Voraussetzungen (1)

Bruchgleichungen mit x²
Klasse 9
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Leicht
Multiple Choice #1 30s ▶ Testen

Gezeichnet sind die Parabel y = x² − 4x + 3 und die Gerade y = x − 1. Welche Gleichung liefert die x-Werte der Schnittpunkte?

  • ● x² − 4x + 3 = x − 1
  • ○ x² − 4x + 3 = 0
  • ○ x² − 4x + 3 + x − 1 = 0
In einem Schnittpunkt haben beide Graphen denselben y-Wert, also werden die Terme gleichgesetzt. x² − 4x + 3 = 0 liefert die Nullstellen der Parabel, nicht die Schnittstellen mit der Geraden. Addieren der Terme beschreibt keinen Schnittpunkt.
Wahr / Falsch #2 30s ▶ Testen

Die Gleichung x² − 5x + 4 = 0 hat die Lösungen x = 1 und x = 4. Damit ist (1 | 4) ein Schnittpunkt von Parabel und Gerade.

✓ Falsch
Die Lösungen sind die x-Werte zweier verschiedener Schnittpunkte, nicht die beiden Koordinaten eines Punktes. Den y-Wert erhält man durch Einsetzen in die Gerade y = x − 1: für x = 1 ist y = 0, für x = 4 ist y = 3. Die Schnittpunkte sind (1 | 0) und (4 | 3).
Multiple Choice #3 30s ▶ Testen

Beim Gleichsetzen von Parabel und Gerade entsteht x² − 4x + 5 = 0. Wie viele Schnittpunkte haben die beiden Graphen?

  • ● keinen
  • ○ einen
  • ○ zwei
Die Diskriminante ist D = (−4)² − 4 · 1 · 5 = 16 − 20 = −4 und damit negativ: Die Gleichung hat keine Lösung, die Gerade verfehlt die Parabel. Bei D = 0 gäbe es einen, bei D > 0 zwei Schnittpunkte.
Multiple Choice #4 25s ▶ Testen

Die gezeichnete Gerade berührt die Parabel in genau einem Punkt. Was gilt für die Diskriminante D der Gleichung f(x) = g(x)?

  • ● D = 0
  • ○ D > 0
  • ○ D < 0
Ein einziger Berührpunkt bedeutet genau eine Lösung der Gleichung f(x) = g(x), und das ist der Fall D = 0. Bei zwei Schnittpunkten wäre D > 0, bei keinem D < 0.
Wahr / Falsch #5 40s ▶ Testen

Die Gerade y = x − 6 und die Parabel y = x² − 2x − 3 schneiden sich in zwei Punkten.

✓ Falsch
Gleichsetzen: x² − 2x − 3 = x − 6, also x² − 3x + 3 = 0. Die Diskriminante ist 9 − 12 = −3 < 0, es gibt keinen Schnittpunkt.
Multiple Choice #6 35s ▶ Testen

Gezeichnet sind die Hyperbel y = 4/x und die Gerade y = x + 3. Welche quadratische Gleichung entsteht beim Gleichsetzen und Multiplizieren mit x?

  • ● x² + 3x − 4 = 0
  • ○ x² + 3x + 4 = 0
  • ○ 4 = x + 3
Aus 4/x = x + 3 folgt mit x multipliziert 4 = x² + 3x, also x² + 3x − 4 = 0. Bei 4 = x + 3 wurde die rechte Seite nicht mit x multipliziert, bei x² + 3x + 4 = 0 ging beim Umstellen das Vorzeichen verloren.
Wahr / Falsch #7 30s ▶ Testen

Die Gerade y = x + 3 schneidet die Hyperbel y = 4/x nur im ersten Quadranten.

✓ Falsch
Die Gleichung x² + 3x − 4 = 0 hat die Lösungen x = 1 und x = −4. Zu x = −4 gehört der Punkt (−4 | −1) auf dem Ast im dritten Quadranten. Die Hyperbel hat zwei Äste, und beide werden geschnitten.
Mittel
Zahleneingabe #1 20s ▶ Testen

Parabel y = x² − 4x + 3 und Gerade y = x − 1 schneiden sich bei x = 4. Wie groß ist die y-Koordinate dieses Schnittpunkts?

✓ Antwort: 3
Man setzt x = 4 in eine der beiden Funktionen ein. Gerade: 4 − 1 = 3. Kontrolle mit der Parabel: 16 − 16 + 3 = 3.
Zahleneingabe #2 15s ▶ Testen

Beim Gleichsetzen von Parabel und Gerade entsteht x² − 6x + 9 = 0. Wie viele Schnittpunkte haben die beiden Graphen?

✓ Antwort: 1
Die Diskriminante ist D = 36 − 36 = 0, die Gleichung (x − 3)² = 0 hat genau eine Lösung x = 3. Es gibt einen Schnittpunkt, den Berührpunkt: Die Gerade ist Tangente an die Parabel.
Zahleneingabe #3 35s ▶ Testen

Die Gleichung 4/x = x + 3 führt auf x² + 3x − 4 = 0. Wie groß ist die kleinere Lösung?

✓ Antwort: -4
Die Lösungsformel ergibt x = (−3 ± 5) : 2, also x = 1 oder x = −4. Die kleinere Lösung ist −4. Probe: 4/(−4) = −1 und −4 + 3 = −1.
Schwer
Zahleneingabe #1 55s ▶ Testen

Ein Ball fliegt auf der Parabel y = −0,5x² + 2x. Ein Hang wird durch die Gerade y = 0,5x beschrieben (x und y in m). In welcher waagerechten Entfernung x > 0 trifft der Ball den Hang?

✓ Antwort: 3
Gleichsetzen: −0,5x² + 2x = 0,5x, also −0,5x² + 1,5x = 0 und x · (−0,5x + 1,5) = 0. Die Lösungen sind x = 0 (Startpunkt) und x = 3. Der Ball trifft den Hang bei x = 3 m, in der Höhe 0,5 · 3 = 1,5 m.
Zahleneingabe #2 50s ▶ Testen

Für welchen Wert von n berührt die Gerade y = 2x + n die Normalparabel y = x² in genau einem Punkt?

✓ Antwort: -1
Gleichsetzen: x² = 2x + n, also x² − 2x − n = 0 mit D = 4 + 4n. Für D = 0 ist n = −1. Probe: x² − 2x + 1 = (x − 1)² hat die einzige Lösung x = 1.
Zahleneingabe #3 60s ▶ Testen

Ein Rechteck hat den Flächeninhalt 12 cm² und den Umfang 14 cm. Wie lang ist die längere Seite (in cm)?

✓ Antwort: 4
Für die Seiten a und b gilt a · b = 12 und a + b = 7. Mit b = 12/a folgt a + 12/a = 7, mit a multipliziert a² − 7a + 12 = 0. Die Lösungen sind a = 3 und a = 4: Die Seiten sind 3 cm und 4 cm, die längere ist 4 cm.
KI-bewertete Rechnung #4 300s ▶ Testen

Bestimme rechnerisch alle Schnittpunkte der Hyperbel y = 6/x mit der Geraden y = x + 1. Setze gleich, gib an, welche Zahl für x nicht erlaubt ist, multipliziere jeden Summanden mit x, löse die quadratische Gleichung, berechne die zugehörigen y-Werte und mache die Probe in beiden Funktionsgleichungen. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Gleichsetzen: 6/x = x + 1 mit x ≠ 0. Mit x multiplizieren: 6 = x² + x, also x² + x − 6 = 0. Lösungen x = (−1 ± 5) : 2, also x = 2 oder x = −3. y-Werte mit der Geraden: y = 2 + 1 = 3 und y = −3 + 1 = −2. Schnittpunkte (2 | 3) und (−3 | −2). Probe mit der Hyperbel: 6/2 = 3 und 6/(−3) = −2.
Gleichsetzen und mit x multiplizieren ergibt x² + x − 6 = 0 mit x = 2 oder x = −3. Jedes x wird in die Gerade eingesetzt: (2 | 3) und (−3 | −2). Beide Punkte erfüllen auch y = 6/x.