Für f(x) = x/(x² + 1) ist f′(x) = (1 − x²)/(x² + 1)². An welchen Stellen hat f eine waagerechte Tangente?

Erklärung: f′ = 0 verlangt, dass der Zähler 1 − x² null ist: x = ±1. Der Nenner (x² + 1)² ist nie null, er stört nicht. x = 0 ist die Nullstelle von f (Zähler von f), nicht von f′.

Der Graph zeigt f(x) = x/(x² + 1). An welchen Stellen ist f′(x) = 0?

Erklärung: f′ = 0 heißt waagerechte Tangente: das ist am Tiefpunkt (x = −1) und am Hochpunkt (x = 1) der Fall. Bei x = 0 hat der Graph eine Nullstelle, aber seine größte Steigung.

Für h(x) = (x² + 4)/x ist h′(x) = (x² − 4)/x². Bestimme die positive Stelle, an der h′ null ist.

Erklärung: h′ = 0 ⇔ Zähler x² − 4 = 0 ⇔ x = ±2. Positiv: x = 2. (Bei x = 0 ist h′ nicht definiert.)

Der Graph zeigt k(x) = (x + 2)/(x² + x + 1) mit k′(x) = (−x² − 4x − 1)/(x² + x + 1)². Bestimme die größere der beiden Stellen mit waagerechter Tangente auf zwei Nachkommastellen.

Erklärung: Zähler: −x² − 4x − 1 = 0 ⇔ x² + 4x + 1 = 0 ⇔ x = −2 ± √3. Die größere Stelle ist −2 + √3 ≈ −0,27. Der Nenner hat keine reelle Nullstelle.

Für f(x) = x/(x² + 1) ist f′(x) = (1 − x²)/(x² + 1)². Für welche x steigt f?

Erklärung: Der Nenner ist positiv, also entscheidet der Zähler 1 − x²: er ist positiv genau für |x| < 1. Für |x| > 1 ist f′ negativ, und mit x > 0 wird das Vorzeichen von f mit dem von f′ verwechselt.

Der Graph zeigt die Ableitung f′ von f(x) = x/(x² + 1). Auf welchen Bereichen fällt f?

Erklärung: f fällt, wo f′ < 0 ist, also unterhalb der x-Achse: für x < −1 und für x > 1. Zwischen −1 und 1 liegt der Graph von f′ oben, dort steigt f.

Berechne f′(2) für f(x) = x/(x² + 1).

Erklärung: f′(2) = (1 − 4)/(4 + 1)² = −3/25 = −0,12. Negativ: f fällt bei x = 2.

Für g(x) = x²/(x − 1) ist g′(x) = x(x − 2)/(x − 1)². Für wie viele der Stellen −2; −0,5; 0,5; 3 ist g′(x) > 0?

Erklärung: Der Nenner ist positiv; x(x − 2) ist positiv für x < 0 und x > 2. Das trifft auf −2, −0,5 und 3 zu, nicht auf 0,5: das sind 3 Stellen.

Für f(x) = x/(x² + 1) ist f′ > 0 für −1 < x < 1 und f′ < 0 für x > 1. Welchen Punkt hat der Graph bei x = 1?

Erklärung: f′ wechselt bei x = 1 von + nach −: f steigt, dann fällt es, also ein Hochpunkt. Die y-Koordinate ist f(1) = 1/2 = 0,5; die 0 wäre der Wert von f′(1), nicht von f.

Der Graph zeigt h(x) = (x² + 4)/x. Welche Extrempunkte hat er?

Erklärung: h′ = (x² − 4)/x² wechselt bei x = −2 von + nach − (Hochpunkt, h(−2) = −4) und bei x = 2 von − nach + (Tiefpunkt, h(2) = 4). Ein Hochpunkt kann also unter dem Tiefpunkt liegen. Bei x = 0 hat h eine Polstelle.

Die Funktion f(x) = 4x/(x² + 1) hat bei x = 1 einen Hochpunkt. Berechne seine y-Koordinate.

Erklärung: Die y-Koordinate ist der Funktionswert: f(1) = 4/2 = 2. Der Hochpunkt ist (1 | 2).

Die Wirkstoffkonzentration c(t) = 8t/(t² + 4) (t in Stunden, c in mg/l) hat für t ≥ 0 nur eine Stelle mit c′ = 0. Welchen Höchstwert erreicht c (in mg/l)?

Erklärung: c′(t) = (32 − 8t²)/(t² + 4)² = 0 ⇔ t = 2. Dort wechselt c′ von + nach −. Höchstwert c(2) = 16/8 = 2 mg/l.

Der Graph zeigt g(x) = x²/(x − 1). Auf der rechten Seite von x = 1 läuft er nach oben. Was liegt bei x = 1 vor?

Erklärung: x = 1 ist eine Polstelle: dort gibt es keinen Funktionswert und deshalb keinen Extrempunkt. Ein Extrempunkt hat immer einen endlichen y-Wert; die Kurve läuft nur gegen ±∞.

Für f(x) = (x − 1)/x² wechselt f′(x) = (2 − x)/x³ bei x = 0 das Vorzeichen von − nach +. Also hat f bei x = 0 einen Tiefpunkt.

Erklärung: Bei x = 0 ist f nicht definiert (Polstelle). Ein Vorzeichenwechsel von f′ an einer Polstelle ergibt keinen Extrempunkt. Der einzige Extrempunkt liegt bei x = 2.

Der Graph zeigt g(x) = x²/(x − 1). Auf welchen Intervallen fällt g?

Erklärung: g′ = x(x − 2)/(x − 1)² ist negativ für 0 < x < 2, aber x = 1 gehört nicht zum Definitionsmenge. Die Monotonie wird an der Polstelle in zwei Intervalle geteilt; ‚0 < x < 2‘ hält das für ein einziges. Für x < 0 und x > 2 steigt g.

Für g(x) = x²/(x − 1) ist g′(x) = x(x − 2)/(x − 1)². Wie viele Extrempunkte hat der Graph von g?

Erklärung: g′ hat zwei Nullstellen mit Vorzeichenwechsel, x = 0 (Hochpunkt) und x = 2 (Tiefpunkt). Die Polstelle x = 1 zählt nicht.

Berechne die y-Koordinate des Tiefpunkts von g(x) = x²/(x − 1) bei x = 2.

Erklärung: g(2) = 4/(2 − 1) = 4. Der Tiefpunkt ist (2 | 4); der Hochpunkt (0 | 0) liegt darunter, weil zwischen ihnen die Polstelle liegt.

Untersuche f(x) = (x − 1)/x² auf Extrempunkte. Gib den Definitionsmenge an, leite mit der Quotientenregel ab, bestimme die Nullstelle von f′, lege eine Vorzeichentabelle für f′ an und gib die Art und die Koordinaten des Extrempunkts an. Begründe, warum bei x = 0 kein Extrempunkt liegt. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

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Erklärung: f′ = (2 − x)/x³ hat die Nullstelle x = 2 mit Vorzeichenwechsel von + nach −: Hochpunkt (2 | 0,25). Die Polstelle x = 0 liegt nicht im Definitionsmenge.

Aufgabe 1 von 18