Extremstellen bestimmen

Finding extrema

Mathematik Klasse 12 18 Aufgaben
AnalysisAbleitungenExtremaGebrochen-rationale Funktionen

Bei f′ = Z/v² bestimmt allein der Zähler Z, wo f′ null ist und welches Vorzeichen f′ hat, denn v² ist positiv. Der Abschnitt zeigt, wie aus den Nullstellen und dem Vorzeichenwechsel von Z Hoch- und Tiefpunkte folgen und warum eine Polstelle nie ein Extrempunkt ist, auch wenn der Graph dort gegen unendlich läuft. Er räumt die Verwechslung der Nullstellen von f mit denen von f′ aus und bereitet die Wendestellen und die numerische Suche nach Nullstellen von f′ vor.

Der Zähler entscheidet

Für ist mit . Der Nenner v² ist nie negativ und außerhalb der Polstellen nie null, also entscheidet allein der Zähler Z: f′ = 0 genau dort, wo Z = 0 ist, und f′ hat das Vorzeichen von Z. Beispiel : Es ist , also . Aus Z = 0 folgt x = ±2. Für −2 < x < 2 ist Z positiv, dort steigt f, sonst fällt f. Bei x = −2 wechselt f′ von − nach +: Tiefpunkt. Bei x = 2 wechselt f′ von + nach −: Hochpunkt. Die y-Koordinate liefert f, nicht f′: . Die Konzentration aus der Einleitung ist : Sie ist nach 2 Stunden am höchsten (2 mg/l) und wächst am Anfang mit mg/l pro Stunde.

Bewege x₀ durch H und T: Was passiert mit der Steigung und mit ihrem Vorzeichen?

Polstellen sind keine Extrema

Bei ist , und das ist überall positiv, wo p definiert ist. p steigt also auf jedem der beiden Äste, aber nicht als Ganzes: Es gilt p(−1) = 0 = p(1). Die Polstelle x = 0 gehört nicht zum Definitionsmenge, dort gibt es keinen Funktionswert. Die Monotonie wird deshalb an Polstellen in Intervalle zerlegt. Ein Extrempunkt hat immer einen endlichen y-Wert; ein Graph, der bei einem Pol nach ∞ läuft, hat dort keinen Hochpunkt. Ein Vorzeichenwechsel von f′ an einer Polstelle ändert daran nichts.

Ziehe x₀ von links und von rechts an die Polstelle: Wohin laufen der Graph und die Steigung?

Voraussetzungen (1)

Quotientenregel anwenden
Klasse 12
›

Ermöglicht (2)

Numerische Nullstellen von f′
Klasse 12
›
Verknüpfungen untersuchen
Klasse 12
›
Leicht
Multiple Choice #1 25s ▶ Testen

Für f(x) = x/(x² + 1) ist f′(x) = (1 − x²)/(x² + 1)². An welchen Stellen hat f eine waagerechte Tangente?

  • ● x = −1 und x = 1
  • ○ x = 0
  • ○ an keiner Stelle, weil der Nenner nie null wird
f′ = 0 verlangt, dass der Zähler 1 − x² null ist: x = ±1. Der Nenner (x² + 1)² ist nie null, er stört nicht. x = 0 ist die Nullstelle von f (Zähler von f), nicht von f′.
Multiple Choice #2 25s ▶ Testen

Der Graph zeigt f(x) = x/(x² + 1). An welchen Stellen ist f′(x) = 0?

  • ● x = −1 und x = 1
  • ○ x = 0
  • ○ x = −0,5 und x = 0,5
f′ = 0 heißt waagerechte Tangente: das ist am Tiefpunkt (x = −1) und am Hochpunkt (x = 1) der Fall. Bei x = 0 hat der Graph eine Nullstelle, aber seine größte Steigung.
Multiple Choice #3 25s ▶ Testen

Für f(x) = x/(x² + 1) ist f′(x) = (1 − x²)/(x² + 1)². Für welche x steigt f?

  • ● −1 < x < 1
  • ○ x < −1 oder x > 1
  • ○ x > 0
Der Nenner ist positiv, also entscheidet der Zähler 1 − x²: er ist positiv genau für |x| < 1. Für |x| > 1 ist f′ negativ, und mit x > 0 wird das Vorzeichen von f mit dem von f′ verwechselt.
Multiple Choice #4 25s ▶ Testen

Der Graph zeigt die Ableitung f′ von f(x) = x/(x² + 1). Auf welchen Bereichen fällt f?

  • ● x < −1 und x > 1
  • ○ −1 < x < 1
  • ○ x > 0
f fällt, wo f′ < 0 ist, also unterhalb der x-Achse: für x < −1 und für x > 1. Zwischen −1 und 1 liegt der Graph von f′ oben, dort steigt f.
Multiple Choice #5 25s ▶ Testen

Für f(x) = x/(x² + 1) ist f′ > 0 für −1 < x < 1 und f′ < 0 für x > 1. Welchen Punkt hat der Graph bei x = 1?

  • ● Hochpunkt (1 | 0,5)
  • ○ Tiefpunkt (1 | 0,5)
  • ○ Hochpunkt (1 | 0)
f′ wechselt bei x = 1 von + nach −: f steigt, dann fällt es, also ein Hochpunkt. Die y-Koordinate ist f(1) = 1/2 = 0,5; die 0 wäre der Wert von f′(1), nicht von f.
Multiple Choice #6 25s ▶ Testen

Der Graph zeigt h(x) = (x² + 4)/x. Welche Extrempunkte hat er?

  • ● Hochpunkt (−2 | −4) und Tiefpunkt (2 | 4)
  • ○ Tiefpunkt (−2 | −4) und Hochpunkt (2 | 4)
  • ○ Hochpunkt bei x = 0
h′ = (x² − 4)/x² wechselt bei x = −2 von + nach − (Hochpunkt, h(−2) = −4) und bei x = 2 von − nach + (Tiefpunkt, h(2) = 4). Ein Hochpunkt kann also unter dem Tiefpunkt liegen. Bei x = 0 hat h eine Polstelle.
Multiple Choice #7 25s ▶ Testen

Der Graph zeigt g(x) = x²/(x − 1). Auf der rechten Seite von x = 1 läuft er nach oben. Was liegt bei x = 1 vor?

  • ● kein Extrempunkt, g ist dort nicht definiert
  • ○ ein Hochpunkt
  • ○ ein Tiefpunkt
x = 1 ist eine Polstelle: dort gibt es keinen Funktionswert und deshalb keinen Extrempunkt. Ein Extrempunkt hat immer einen endlichen y-Wert; die Kurve läuft nur gegen ±∞.
Wahr / Falsch #8 20s ▶ Testen

Für f(x) = (x − 1)/x² wechselt f′(x) = (2 − x)/x³ bei x = 0 das Vorzeichen von − nach +. Also hat f bei x = 0 einen Tiefpunkt.

✓ Falsch
Bei x = 0 ist f nicht definiert (Polstelle). Ein Vorzeichenwechsel von f′ an einer Polstelle ergibt keinen Extrempunkt. Der einzige Extrempunkt liegt bei x = 2.
Multiple Choice #9 25s ▶ Testen

Der Graph zeigt g(x) = x²/(x − 1). Auf welchen Intervallen fällt g?

  • ● 0 < x < 1 und 1 < x < 2
  • ○ 0 < x < 2
  • ○ x < 0 und x > 2
g′ = x(x − 2)/(x − 1)² ist negativ für 0 < x < 2, aber x = 1 gehört nicht zum Definitionsmenge. Die Monotonie wird an der Polstelle in zwei Intervalle geteilt; ‚0 < x < 2‘ hält das für ein einziges. Für x < 0 und x > 2 steigt g.
Mittel
Zahleneingabe #1 40s ▶ Testen

Für h(x) = (x² + 4)/x ist h′(x) = (x² − 4)/x². Bestimme die positive Stelle, an der h′ null ist.

✓ Antwort: 2
h′ = 0 ⇔ Zähler x² − 4 = 0 ⇔ x = ±2. Positiv: x = 2. (Bei x = 0 ist h′ nicht definiert.)
Zahleneingabe #2 40s ▶ Testen

Berechne f′(2) für f(x) = x/(x² + 1).

✓ Antwort: -0.12
f′(2) = (1 − 4)/(4 + 1)² = −3/25 = −0,12. Negativ: f fällt bei x = 2.
Zahleneingabe #3 40s ▶ Testen

Die Funktion f(x) = 4x/(x² + 1) hat bei x = 1 einen Hochpunkt. Berechne seine y-Koordinate.

✓ Antwort: 2
Die y-Koordinate ist der Funktionswert: f(1) = 4/2 = 2. Der Hochpunkt ist (1 | 2).
Zahleneingabe #4 40s ▶ Testen

Für g(x) = x²/(x − 1) ist g′(x) = x(x − 2)/(x − 1)². Wie viele Extrempunkte hat der Graph von g?

✓ Antwort: 2
g′ hat zwei Nullstellen mit Vorzeichenwechsel, x = 0 (Hochpunkt) und x = 2 (Tiefpunkt). Die Polstelle x = 1 zählt nicht.
Schwer
Zahleneingabe #1 40s ▶ Testen

Der Graph zeigt k(x) = (x + 2)/(x² + x + 1) mit k′(x) = (−x² − 4x − 1)/(x² + x + 1)². Bestimme die größere der beiden Stellen mit waagerechter Tangente auf zwei Nachkommastellen.

✓ Antwort: -0.26794919
Zähler: −x² − 4x − 1 = 0 ⇔ x² + 4x + 1 = 0 ⇔ x = −2 ± √3. Die größere Stelle ist −2 + √3 ≈ −0,27. Der Nenner hat keine reelle Nullstelle.
Zahleneingabe #2 40s ▶ Testen

Für g(x) = x²/(x − 1) ist g′(x) = x(x − 2)/(x − 1)². Für wie viele der Stellen −2; −0,5; 0,5; 3 ist g′(x) > 0?

✓ Antwort: 3
Der Nenner ist positiv; x(x − 2) ist positiv für x < 0 und x > 2. Das trifft auf −2, −0,5 und 3 zu, nicht auf 0,5: das sind 3 Stellen.
Zahleneingabe #3 40s ▶ Testen

Die Wirkstoffkonzentration c(t) = 8t/(t² + 4) (t in Stunden, c in mg/l) hat für t ≥ 0 nur eine Stelle mit c′ = 0. Welchen Höchstwert erreicht c (in mg/l)?

✓ Antwort: 2
c′(t) = (32 − 8t²)/(t² + 4)² = 0 ⇔ t = 2. Dort wechselt c′ von + nach −. Höchstwert c(2) = 16/8 = 2 mg/l.
Zahleneingabe #4 40s ▶ Testen

Berechne die y-Koordinate des Tiefpunkts von g(x) = x²/(x − 1) bei x = 2.

✓ Antwort: 4
g(2) = 4/(2 − 1) = 4. Der Tiefpunkt ist (2 | 4); der Hochpunkt (0 | 0) liegt darunter, weil zwischen ihnen die Polstelle liegt.
KI-bewertete Rechnung #5 240s ▶ Testen

Untersuche f(x) = (x − 1)/x² auf Extrempunkte. Gib den Definitionsmenge an, leite mit der Quotientenregel ab, bestimme die Nullstelle von f′, lege eine Vorzeichentabelle für f′ an und gib die Art und die Koordinaten des Extrempunkts an. Begründe, warum bei x = 0 kein Extrempunkt liegt. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: D = ℝ∖{0}. u = x − 1, u′ = 1, v = x², v′ = 2x: f′(x) = (x² − (x − 1)·2x)/x⁴ = (−x² + 2x)/x⁴ = (2 − x)/x³. f′ = 0 ⇔ x = 2. Vorzeichen: x < 0: Zähler > 0, Nenner < 0, f′ < 0; 0 < x < 2: f′ > 0; x > 2: f′ < 0. Bei x = 2 wechselt f′ von + nach −: Hochpunkt (2 | f(2)) = (2 | 0,25). Bei x = 0 wechselt f′ zwar das Vorzeichen (− nach +), aber x = 0 ∉ D (Polstelle), also kein Extrempunkt.
f′ = (2 − x)/x³ hat die Nullstelle x = 2 mit Vorzeichenwechsel von + nach −: Hochpunkt (2 | 0,25). Die Polstelle x = 0 liegt nicht im Definitionsmenge.